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文本内容:
1.
1.1 不等式的基本性质
1.了解不等关系与不等式.
2.掌握不等式的性质.
3.会用不等式的性质解决一些简单问题.自学导引
1.对于任何两个实数a，b，ab⇔a－b0；ab⇔a－b0；a＝b⇔a－b＝
0.
2.不等式有如下8条性质1对称性ab⇔ba；2传递性ab，bc⇒ac；3加减ab⇒a＋cb＋c；4乘除ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；5乘方ab0⇒anbn，n∈N*且n≥2；6开方ab0⇒，n∈N*且n≥2；7ab，cd⇒a＋cb＋d；8ab0，cd0⇒acbd.基础自测
1.如果a∈R，且a2＋a0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是 A.a2a－a2－aB.－aa2－a2aC.－aa2a－a2D.a2－aa－a2解析 由a2＋a0知a≠0，故有a－a20，0a2－a.故选B.答案 B
2.若ab0，cd0，则一定有 A.B.C.D.解析 思路一根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证.思路二根据不等式的性质直接推导.方法一令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则＝－1，＝－1，排除选项C，D；又＝－，＝－，所以，所以选项A错误，选项B正确.故选B.方法二因为cd0，所以－c－d0，所以
0.又ab0，所以，所以，故选B.答案 B
3.设x∈R，则与的大小关系是________.解析 当x＝0时，＝0，当x≠0时，＝，∴＋x2≥2，∴≤当x＝±1时取等号，综上所述≤.答案 ≤知识点1 不等式的性质及应用【例1】判断下列各题的对错1且c0⇒ab 2ab且cd⇒acbd 3ab0且cd0⇒ 4⇒ab 解析 1⇒，当a0，b0时，此式成立，推不出ab，∴1错.2当a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3时，命题显然不成立.∴2错.3⇒0⇒成立.∴3对.4显然c20，∴两边同乘以c2得ab.∴4对.答案 1× 2× 3√ 4√●反思感悟解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.
1.有以下四个条件
①b0a；
②0ab；
③a0b；
④ab
0.其中能使成立的有________个条件.解析
①b0a，∴0，结论成立；
②0ab，∴，结论成立；
③a0b，∴，结论不成立；
④ab0，∴，结论成立.答案 3知识点2 实数大小的比较【例2】实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试比较x，y，z的大小.解 x2－2x＋y＝z－1⇒z－y＝x－12≥0⇒z≥y；x＋y2＋1＝0⇒y－x＝y2＋y＋1＝＋0⇒yx，故z≥yx.●反思感悟两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是1作差.2变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法.3定号，即确定差的符号.4下结论.
2.已知－a0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，试比较A，B，C，D的大小.解 ∵－a0，∴1＋a21－a2，即AB，，即CD，又∵A－C＝1＋a2－＝0，∴AC，∵B－D＝1－a2－＝0，∴CABD.知识点3 不等式的证明【例3】如果ab0，cd0，f0，证明.证明 ∵cd0，∴－c－d0，又∵ab0，∴a－cb－d
0.不等式的两边同乘0，得0，又∵f0，∴，即.●反思感悟利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.
3.已知abc，xyz，则ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx＋ay＋cz，cx＋by＋az中哪一个最大？请予以证明.解 最大的一个是ax＋by＋cz∵ax＋by＋cz－ax＋cy＋bz＝b－cy－z0⇒ax＋by＋czax＋cy＋bz同理ax＋by＋czbx＋ay＋czax＋by＋czcx＋by＋az故结论成立.课堂小结
1.不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“”、“”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“ab”、“ab”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的.
2.不等式的性质是不等式变形的依据.每一步变形，都应有根有据.记准适用条件是关键.
3.关于传递性要正确处理带等号的情况由ab，b≥c或a≥b，bc均可推得ac；而a≥b，b≥c不一定可以推得ac，可能是ac，也可能是a＝c.随堂演练
1.已知下列四个条件
①b0a，
②0ab，
③a0b，
④ab0，能推出成立的有 A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质，由ab，ab0可得，
②、
④正确.又正数大于负数，
①正确，
③错误，故选C.答案 C
2.已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“a－cb－d”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由⇒ab；而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足，但a－cb－d不成立，所以“ab”是“a－cb－d”的必要而不充分条件，选B.答案 B
3.已知不等式
①x2＋32x；
②a5＋b5a3b2＋a2b3；
③a2＋b2≥2a－b－1，其中正确的不等式有__________.填上正确的序号答案
①③
4.实数a，b，c，d满足下列三个条件
①dc；
②a＋b＝c＋d；
③a＋db＋c，则将a，b，c，d按照从小到大的次序排列为________.解析 ∵dc，a＋db＋c，∴ab，∵a＋db＋c，∴a－cb－d，∵a＋b＝c＋d，∴a－c＝d－b，即db，ac，∴acdb.答案 acdb基础达标
1.若0，则下列不等式中正确的有
①a＋bab；
②|a||b|；
③ab；
④acbc.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案 A
2.若a，b，c∈R，ab，则下列不等式成立的是 A.B.a2b2C.D.a|c|b|c|解析 本题只提供了“a，b，c∈R，ab”这个条件，而不等式的基本性质中，几乎都有类似的前提条件，但结论会根据不同的要求有所不同，因而这需要根据本题的四个选择项来进行判断.选项A，还需有ab0这个前提条件；选项B，当a，b都为负数或一正一负时都有可能不成立，如2－3，但22－32不正确；选项C，0，因而正确；选项D，当c＝0时不正确.答案 C
3.设a，b∈R，若a－|b|0，则下列不等式中正确的是 A.b－a0B.a3＋b30C.a2－b20D.b＋a0解析 ∵a－|b|0，∴a|b|
0.∴不论b正或b负均有a＋b
0.答案 D
4.已知60x84，28y33，则x－y的取值范围为________，的取值范围为________.解析 x－y＝x＋－y，所以需先求出－y的范围；＝x×，所以需先求出的范围.∵28y33，∴－33－y－28，.又60x84，∴27x－y56，，即
3.答案 27x－y56
35.设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若xy，则实数a、b满足的条件是________________.答案 ab≠1或a≠－
26.已知a、b∈{正实数}且a≠b，比较＋与a＋b的大小.解 ∵－a＋b＝－b＋－a＝＋＝a2－b2＝，∴当ab0时，a2b2，∴
0.当0ab时，a2b2，∴
0.∴只要a≠b，总有＋a＋b.综合提高
7.已知实数x，y满足axay0a1，则下列关系式恒成立的是 A.B.lnx2＋1lny2＋1C.sinxsinyD.x3y3解析 先依据指数函数的性质确定出x，y的大小，再逐一对选项进行判断.因为0a1，axay，所以xy.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，1，A不成立.B中，当x＝0，y＝－1时，ln1ln2，B不成立.C中，当x＝0，y＝－π时，sinx＝siny＝0，C不成立.D中，因为函数y＝x3在R上是增函数，故选D.答案 D
8.若a，b，x，y∈R，则是成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由可得即有由可得或即有所以应选C.答案 C
9.设角α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的范围是________.解析 ∵－＜α＜β＜，∴－＜－β＜－α＜.∴－π＜α－β＜β－α＜π，且α－β＜0，∴－π＜α－β＜
0.答案 －π＜α＜－β＜
010.有以下四个条件
①b＞0＞a；
②0＞a＞b；
③a＞0＞b；
④a＞b＞
0.其中能使＜成立的有________个条件.解析
①∵b＞0，∴＞
0.∵a＜0，∴＜
0.∴＜.
②∵b＜a＜0，∴＞.
③∵a＞0＞b，∴＞0，＜
0.∴＞.
④∵a＞b＞0，∴＜.综上知，
①②④均能使＜成立.答案
311.若a0，b0，求证＋≥a＋b.证明 ∵＋－a－b＝a－b＝，a－b2≥0恒成立，且已知a0，b0，∴a＋b0，ab
0.∴≥
0.∴＋≥a＋b.
12.已知α、β满足试求α＋3β的取值范围.解 设α＋3β＝λα＋β＋vα＋2β＝λ＋vα＋λ＋2vβ.比较α、β的系数，得从而解出λ＝－1，v＝
2.分别由
①、
②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤
7.另解 由
①，∴－1≤－α＋β≤1
③由
③②可得，0≤β≤4
④由
④②可得，1≤α＋2β＋β≤4＋3，即1≤α＋3β≤
7.。
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