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第一章常用逻辑用语时间120分钟;满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填在题中横线上1.给出命题若函数y=fx是幂函数,则函数y=fx的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________.解析易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题有一个.答案12.下列命题中,真命题是________.
①∃x0∈R,ex0≤0;
②∀x∈R2xx2;
③a+b=0的充要条件是=-1;
④a1,b1是ab1的充分条件.解析因为∀x∈R,ex0,故排除
①;取x=2,则22=22,故排除
②;a+b=0,取a=b=0,则不能推出=-1,故排除
③;应填
④.答案
④3.命题“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”的逆否命题是________.解析命题的条件为“x2≥1”,结论为“x≥1或x≤-1”,否定结论作条件,否定条件作结论,即为其逆否命题.答案若-1x1,则x214.下列命题
①G=G≠0是a,G,b成等比数列的充分不必要条件;
②若角α,β满足cosαcosβ=1,则sinα+β=0;
③若不等式|x-4|a的解集非空,则必有a0;
④函数y=sinx+sin|x|的值域是[-22].其中正确命题的序号是________把你认为正确的命题序号都填上.解析当G=G≠0时,有G2=ab,所以a,G,b成等比数列,但当a,G,b成等比数列时,还可以有G=-,所以G=G≠0是a,G,b成等比数列的充分不必要条件,故
①正确;当cosαcosβ=1时,有cosα=cosβ=-1或cosα=cosβ=1,即α=2k1π+πk1∈Z,β=2k2π+πk2∈Z或α=2k3πk3∈Z,β=2k4πk4∈Z,这时α+β=2k1+k2π+2πk1,k2∈Z或α+β=2k3+k4πk3,k4∈Z,必有sinα+β=0,故
②正确;由于|x-4|的最小值等于0,所以当a≤0时,不等式|x-4|a的解集是空集,如果不等式|x-4|a的解集非空,必有a0,故
③正确;函数y=sinx+sin|x|=,所以该函数的值域为[-22],故
④正确.答案
①②③④5.给出命题
①∀x∈-∞,1,使x31;
②∃x∈Q,使x2=2;
③∀x∈N,有x3x2;
④∀x∈R,有x2+
40.其中的真命题是________填序号.解析方程x2=2的解只有无理数x=±,所以不存在有理数x使得方程x2=2成立,故
②为假命题;比如存在x=0,使得03=02,故
③为假命题,
①④显然正确.答案
①④6.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则“x∈C”是“x∈A”的________条件.解析x∈A⇒x∈C,但是x∈C不能推出x∈A.答案必要不充分7.“a=”是“对任意的正数x2x+≥1”的________条件.解析a=⇒2x+=2x+≥2=1,另一方面对任意正数x2x+≥1只要2x+≥2=2≥1⇒a≥.答案充分不必要8.已知命题p关于x的不等式x2+2ax+40对∀x∈R恒成立;命题q函数y=-4-2ax是R上的减函数.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数a的取值范围是________.解析由x2+2ax+40对∀x∈R恒成立,得Δ=2a2-4×40,解得-2a
2.所以p-2a
2.由y=-4-2ax是R上的减函数,得4-2a1,解得a.所以q a.由“p∨q”为真,“p∧q”为假知,p与q中必有一真一假,即p真q假或p假q真.所以或从而得≤a2或a≤-
2.答案[,2∪-∞,-2]9.已知函数fx、gx定义在R上,hx=fx·gx,则“fx、gx均为奇函数”是“hx为偶函数”的________条件.解析由fx、gx均为奇函数可得hx=fx·gx为偶函数,反之则不成立,如hx=x2是偶函数,而fx=,gx=x-1都不是奇函数.答案充分不必要10.a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的________条件.解析若|a·b|=|a||b|,若a,b中有零向量,显然a∥b;若a,b均不为零向量,则|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,∴|cos〈a,b〉|=1,∴〈a,b〉=π或0,∴a∥b,即|a·b|=|a||b|⇒a∥b.若a∥b,则〈a,b〉=0或π,∴|a·b|=||a||b|cos〈a,b〉|=|a||b|,其中,若a,b有零向量也成立,即a∥b⇒|a·b|=|a||b|.综上知,“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.答案充分必要11.设p方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q方程x2+2m-2x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是________.解析p x2+2mx+1=0有两个不相等的正根,即m<-
1.q x2+2m-2x-3m+10=0无实根,Δ=[2m-2]2-4-3m+10=4m2-m-6<0,即-2<m<
3.分两种情况
①p真q假,m≤-2;
②p假q真,-1≤m<
3.综上可知使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是-∞,-2]∪[-13.答案-∞,-2]∪[-1312.给出下列四个命题
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题;
③“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实数根”的逆否命题;
④若sinα+cosα1,则α必定是锐角.其中真命题的序号是________请把所有真命题的序号都填上.解析
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;
②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似,则周长不相等”,显然是假命题;
③∵b≤-1,∴Δ=4b2-4b2+b=-4b≥40,∴“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实数根”为真命题,∴其逆否命题也是真命题;
④∵当α=时,sinα+cosα1成立,∴此命题是假命题.答案
①③13.已知命题p x2-x≥6,q x∈Z,则使得x∈M时,“p且q”与“綈q”同时为假命题的x组成的集合M=________.解析x∈M时,“p且q”与“綈q”同时为假命题,即x∈M时,p假且q真.故令x2-x6,x∈Z,解得x=-1012,从而所求的集合M={-1012}.答案{-1012}14.已知“关于x的不等式3对于∀x∈R恒成立”的充要条件是“a∈a1,a2”,则a1+a2=________.解析∵x2-x+10,∴原不等式化为x2-ax+23x2-3x+3,即2x2+a-3x+
10.∵∀x∈R时,2x2+a-3x+10恒成立,∴Δ=a-32-
80.∴3-2a3+2,∴a1+a2=
6.答案6
二、解答题本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分14分将命题“ab=0,则a,b中至少有一个为0”改写为“若p则q”的形式,写出其逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假.解原命题若ab=0,则a,b中至少有一个为
0.是真命题;逆命题若a,b中至少有一个为0,则ab=
0.是真命题;否命题若ab≠0,则a,b都不为
0.是真命题;逆否命题若a,b都不为0,则ab≠
0.是真命题.16.本小题满分14分写出下列命题的否定,并判断真假.1p∀x∈R,都有|x|=x;2p∀x∈R,x3>x2;3p至少有一个二次函数没有零点;4p存在一个角α∈R,使得sin2α+cos2α≠
1.解1綈p∃x∈R,有|x|≠x.如x=-1,|-1|=1≠-1,所以綈p是真命题.2綈p∃x∈R,x3≤x
2.如x0=-1时,-13=-1×-12=-1,即-13≤-12,所以綈p是真命题.3綈p所有二次函数都有零点.如二次函数y=x2+2x+3=x+12+2>
0.∀x∈R,y=x2+2x+3≠
0.因为p是真命题,所以綈p是假命题.4綈p∀α∈R,sin2α+cos2α=
1.设任意角α终边与单位圆的交点为Px,y.则sinα=y,cosα=x,显然有sin2α+cos2α=y2+x2=1,所以綈p是真命题.17.本小题满分14分已知两个命题rx sinx+cosxm,sx x2+mx+
10.如果对∀x∈R,rx与sx有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围.解∵sinx+cosx=sin≥-,∴当rx是真命题时,m-.又∵对∀x∈R,sx为真命题,即x2+mx+10恒成立,有Δ=m2-40,∴-2m
2.∴当rx为真,sx为假时,m-,同时m≤-2或m≥2,即m≤-2;当rx为假,sx为真时,m≥-且-2m2,即-≤m
2.综上,实数m的取值范围是m≤-2或-≤m
2.18.本小题满分16分已知不等式|x-m|1成立的充分不必要条件是x,求实数m的取值范围.解由不等式|x-m|1得m-1xm+1;因为不等式|x-m|1成立的充分不必要条件是x,所以⇒-≤m≤;经检验知,等号可以取得;所以-≤m≤.19.本小题满分16分已知x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|的成立的充要条件是xy≥
0.证明充分性如果xy=0,那么x=0,y≠0或x≠0,y=0或x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|;如果xy0,即x0,y0或x0,y0,当x0,y0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,当x0,y0时,|x+y|=-x-y=-x+-y=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.必要性由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R得x+y2=|x|+|y|2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立;综上,原命题成立.20.本小题满分16分1设集合M={x|x2},P={x|x3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件?2求使不等式4mx2-2mx-10恒成立的充要条件.解1x∈M或x∈P⇒x∈R,x∈M∩P⇔x∈23,因为x∈M或x∈P x∈M∩P,但x∈M∩P⇒x∈M或x∈P.故“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件.2当m≠0时,不等式4mx2-2mx-10恒成立⇒⇔-4m
0.又当m=0时,不等式4mx2-2mx-10,对x∈R恒成立.故使不等式4mx2-2mx-10恒成立的充要条件是-4m≤
0.。