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1.
4.2空间图形的公理
(二)[A.基础达标]1.下列命题中,真命题的个数是
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行.A.1 B.2C.3D.4解析选B.
①这两个角也可能互补,故
①是错误的;
②是正确的,它是等角定理的推广和延伸.
③空间两条直线的垂直包括异面垂直,此时两个角有可能不相等且不互补,故
③是错误的.
④是公理4,是正确的.所以结论正确的个数为
2.2.已知直线a,b,c,下列说法正确的是 A.a∥b,b∥c,则a∥cB.a与b异面,b与c异面,则a与c异面C.a与b相交,b与c相交,则a与c相交D.a与b所成的角与b与c所成的角相等,则a∥c解析选A.A是公理4的内容.如图正方体中,AB,A1B1都与CC1异面,但AB与A1B1不异面,B错,AB,A1B1都与BB1相交,但AB与A1B1不相交,C错;AB,BC都与DD1成90°角,但AB与BC不平行,D错.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为边B1C1,C1C,A1A,AD的中点,则EF与GH A.平行B.相交C.异面D.不能确定解析选A.连接A1D,B1C,由三角形的中位线性质可得GH∥A1D,EF∥B1C,又因为在正方体中A1D∥B1C,所以GH∥EF.4.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条 A.相交B.异面C.相交或异面D.平行解析选C.如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1是异面直线,与B1C1平行的直线有A1D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1相交,与BC异面.5.已知空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断正确的是 A.MN≥AC+BDB.MN≤AC+BDC.MN=AC+BDD.MN<AC+BD解析选D.如图,取BC的中点H,连接MH,HN,MN,据题意有MH=AC,MH∥AC,HN=BD,HN∥BD.在△MNH中,由两边之和大于第三边知,MN<MH+HN=AC+BD.6.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,1∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相同;2∠DBC的两边与∠________的两边分别平行且方向相反.答案1D1B1C1 2A1D1B17.如图所示是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,
①BM与ED是异面直线;
②CN与BE是异面直线.以上两个结论中,正确的是________填序号.解析在正方体中,直线间的关系比较清楚,所以可以把原图还原为正方体,找出相应直线间的关系.答案
①8.如图,在正方体AC1中,AA1与B1D所成角的余弦值是________.解析因为B1B∥A1A,所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角,连接BD.在Rt△B1BD中,设棱长为1,则B1D=.cos∠BB1D===.所以AA1与B1D所成的角的余弦值为.答案9.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证1D1E∥BF;2∠B1BF=∠D1EA
1.证明1取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM=A1B1,EM∥A1B
1.因为A1B1=C1D1,且A1B1∥C1D1,所以EM=C1D1,且EM∥C1D
1.所以四边形EMC1D1为平行四边形.所以D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中,易得MB=C1F,且MB∥C1F.所以四边形BFC1M为平行四边形,所以BF∥C1M,所以D1E∥BF.2由1知,ED1∥BF,BB1∥EA1,又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同,所以∠B1BF=∠D1EA
1.10.如图,ABEDFC为多面体,点O在棱AD上,OA=1,OD=2,在侧面ACFD中,△OAC和△ODF为正三角形,在底面ABED中,△OAB和△ODE也都是正三角形,求证直线BC∥EF.证明设G是线段DA与线段EB延长线的交点,由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以OB∥DE,OB=DE,所以OG=OD=
2.同理,设G′是线段DA与线段FC延长线的交点,有OG′=OD=2,又由于G与G′都在线段DA的延长线上,所以G与G′重合,在△GED和△GFD中,由OB∥DE,OB=DE和OC∥DF,OC=DF,可知B,C分别是GE,GF的中点,所以BC是△GFE的中位线,故BC∥EF.[B.能力提升]1.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF和CD所成的角是 A.90°B.45°C.60°D.30°解析选D.如图,作FG∥CD交BC于G,连接EG,则EG∥AB,故∠EFG或其补角为EF和CD所成的角.因为EF⊥AB,所以EF⊥EG.又因为AB=2,CD=4,所以EG=1,FG=
2.所以sin∠EFG=.所以∠EFG=30°.2.正方体的一条体对角线与正方体的棱可组成n对异面直线,则n等于 A.2B.3C.6D.12解析选C.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,与AC1异面的棱有BC,CD,A1D1,A1B1,BB1和DD
1.故选C.3.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下结论
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________把你认为正确的结论的序号都填上.解析直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,直线BN与MB1是异面直线,直线AM与DD1是异面直线,故
①②错误,
③④正确.答案
③④4.下列命题中正确的是________.
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;
③如果两条异面直线中一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;
⑤若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.解析
①是公理1,所以
①是正确的;
②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以
②是错误的;
③中,异面直线中的另一条和该平面的关系不能具体确定,它们可以相交,可以平行,还可以在该平面内,所以
③是错误的;
④中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线平行或异面,所以
④是正确的;
⑤中,分别在两个平行平面内的直线可以平行,也可以异面,所以
⑤是错误的.答案
①④5.如图所示,设E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ,求证1当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形;2当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形.证明在△ABD中,==λ.所以EH∥BD,且EH=λBD.在△CBD中,==μ,所以FG∥BD,且FG=μBD,所以EH∥FG,所以顶点E,F,G,H在由EH和FG确定的平面内.1当λ=μ时,EH=FG,故四边形EFGH为平行四边形;2当λ≠μ时,EH≠FG,故四边形EFGH是梯形.6.选做题如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点.1求证四边形BCHG是平行四边形;2C,D,F,E四点是否共面?为什么?解1证明因为G,F分别为FA,FD的中点,所以GH綊AD.又BC綊AD,所以GH綊BC,所以四边形BCHG为平行四边形.2由BE綊AF,G为FA的中点知,BE綊FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由1知BG綊CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.。