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文本内容:
1.
4.2空间图形的公理
(二)[学业水平训练]已知空间两个角∠AOB和∠A′O′B′,且两角的两边分别对应平行,∠AOB=60°,则∠A′O′B′为 A.60° B.120°C.30°D.60°或120°解析选D.利用等角定理可知两角相等或互补.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面解析选D.分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面,如图12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA
1、AB、BB
1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于 A.45°B.60°C.90°D.120°解析选B.连接A1B、C1B、A1C1,易证∠A1BC1为异面直线EF与GH所成的角,又因为△BC1A1为等边三角形,所以∠A1BC1=60°.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为边B1C1,C1C,A1A,AD的中点,则EF与GH A.平行B.相交C.异面D.不能确定解析选A.连接A1D,B1C,由三角形的中位线性质可得GH∥A1D,EF∥B1C,又因为在正方体中A1D∥B1C,所以GH∥EF.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1 A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定解析选B.因为E、F、G分别是棱A1C1,B1C1,B1B的中点,由三角形中位线性质得EF∥A1B1,GF∥BC1,又在三棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1,所以EF∥AB.所以∠EFG和∠ABC1的角的两边分别平行,利用平移可知两边互补.设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在直线,则a与b的位置关系是________.解析如图,在平面ABB′A′和平面BB′C′C内,两条对角线有两种位置关系,可能相交,也可能是异面直线.答案相交或异面空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若AC=BD,则四边形EFGH是________.解析利用三角形的中位线可得,EF=GH=AC,FG=EH=BD.因为AC=BD,所以EF=FG=GH=EH.又利用平行公理,可知,EH∥FG,EF∥GH,所以四边形EFGH是菱形.答案菱形下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的是________.解析利用三角形中位线的性质和平行公理4可知,
①、
②、
③中的四个点共面,而
④中的四个点不共面.答案
④如图,三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别为棱A1B1,AB的中点,求证C1M∥CN.证明连接MN,因为M,N为棱A1B1与AB的中点,所以MN綊A1A,由三棱柱性质知A1A綊C1C,所以MN綊C1C,所以四边形MNCC1为平行四边形,所以C1M∥CN.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,ED⊥CD,CD=1,AD=2,求异面直线CE与AF所成角的余弦值.解因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED.因为ED⊥CD,故∠CED为锐角,即为异面直线CE与AF所成的角.在Rt△CDE中,CD=1,ED=2,CE==3,故cos∠CED==,所以所求异面直线CE与AF所成角的余弦值为.[高考水平训练]如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为 A.相交B.平行C.异面而且垂直D.异面但不垂直解析选D.将展开图还原为正方体,如图所示.AB与CD所成的角为60°,故选D.在空间四边形ABCD中,已知E,F分别为边AB和CD的中点,且EF=5,AD=6,BC=8,则AD与BC所成的角的大小为________.解析如图,连接BD,取BD的中点G,连接EG,GF,由三角形的中位线定理可知EG綊AD,GF綊BC.∵AD=6,BC=8,∴EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以EG2+GF2=EF2,所以∠EGF=90°,∠EGF就是AD与BC所成的角.答案90°如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D、E分别是△PAB、△PBC的重心.求证DE∥AC,DE=AC.证明连接PD并延长交AB于M,连接PE并延长交BC于N,则M为AB的中点,N为BC的中点,∴MN∥AC,又==,∴DE∥MN,∴DE∥AC.又==,∴DE=MN,又因MN=AC,∴DE=AC.4.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊AD,BE綊FA,G,H分别为FA,FD的中点.1证明四边形BCHG是平行四边形;2C,D,F,E四点是否共面?为什么?解1证明由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC,∴四边形BCHG为平行四边形.2由BE綊AF,G为FA中点知,BE綊FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.由1知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面.。