还剩8页未读，继续阅读
本资源只提供10页预览，全部文档请下载后查看！喜欢就下载吧，查找使用更方便
文本内容:
第1课时 圆的极坐标方程学习目标
1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握圆的极坐标方程.
3.能根据极坐标方程研究曲线的有关性质．知识点一 曲线的极坐标方程1在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程fρ，θ＝0，并且坐标适合方程fρ，θ＝0的点都在曲线C上，那么方程fρ，θ＝0叫做曲线C的极坐标方程．2建立曲线的极坐标方程的方法步骤
①建立适当的极坐标系，设Pρ，θ是曲线上任意一点；
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式；
③将列出的关系式整理、化简；
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．知识点二 圆的极坐标方程思考1 在极坐标系中，点Mρ，θ的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案 不一定．思考2 圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是什么？答案 ρ＝
2.梳理 圆的极坐标方程类型一 求圆的极坐标方程例1 求圆心在ρ0，θ0，半径为r的圆的方程．解 在圆周上任取一点P如图，设其极坐标为ρ，θ，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cosθ－θ0．引申探究若圆心在30，半径r＝2，求圆的极坐标方程．解 设Pρ，θ为圆上任意一点，则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos∠COP，∴22＝ρ2＋9－6ρcosθ，即ρ2＝6ρcosθ－
5.当O，P，C共线时此方程也成立．反思与感悟 求圆的极坐标方程的步骤1设圆上任意一点的极坐标为Mρ，θ．2在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程fρ，θ＝0并化简．3验证极点、圆心与M三点共线时，点Mρ，θ的极坐标也适合上述极坐标方程．跟踪训练1 在极坐标系中，已知圆C的圆心为C，半径为r＝
3.求圆C的极坐标方程．解 设Mρ，θ为圆C上任一点，易知极点O在圆C上，设OM的中点为N，∴△OCM为等腰三角形，则|ON|＝|OC|cos，∴|OM|＝2×3cos，则ρ＝6cos即为圆C的极坐标方程．类型二 极坐标方程与直角坐标方程的互化命题角度1 直角坐标方程化极坐标方程例2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．1x2＋y2＝1；2x2＋y2－4x＋4＝0；3x2＋y2－2x－2y－2＝
0.解 把代入方程化简，1∵ρcosθ2＋ρsinθ2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝
1.2∵ρcosθ2＋ρsinθ2－4ρcosθ＋4＝0，∴ρ2－4ρcosθ＋4＝
0.3∵ρcosθ2＋ρsinθ2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝
0.∴ρ2－2ρcosθ＋sinθ－2＝0，∴ρ2－2ρsin－2＝
0.反思与感悟 在进行两种坐标方程间的互化时，要注意1互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．2由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ2π范围内求值．跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程．1y2＝4x；2x2＋y2－2x－1＝
0.解 1将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得ρsinθ2＝4ρcosθ，化简，得ρsin2θ＝4cosθ.2将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－2x－1＝0，得ρcosθ2＋ρsinθ2－2ρcosθ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcosθ－1＝
0.命题角度2 极坐标方程化直角坐标方程例3 把下列极坐标方程化为直角坐标方程．1ρ2cos2θ＝1；2ρ＝2cos；3ρcos＝；4ρ＝.解 1∵ρ2cos2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，∴化为直角坐标方程为x2－y2＝
1.2∵ρ＝2cosθcos＋2sinθsin＝cosθ＋sinθ，∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∴化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝
0.3∵ρcos＝，∴ρ＝，∴ρcosθ－ρsinθ－1＝
0.又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴x－y－1＝
0.4∵ρ＝，∴2ρ－ρcosθ＝1，∴2－x＝
1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝
0.反思与感悟 由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．跟踪训练3 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．1x2＋y2－2x＝0；2ρ＝cosθ－2sinθ；3ρ2＝cos2θ.解 1∵x2＋y2－2x＝0，∴ρ2－2ρcosθ＝
0.∴ρ＝2cosθ.2∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝
0.3∵ρ2＝cos2θ，∴ρ4＝ρ2cos2θ＝ρcosθ
2.∴x2＋y22＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.类型三 直角坐标与极坐标方程互化的应用例4 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．1求曲线C的直角坐标方程；2若曲线ρsin＝0与曲线C相交于A，B，求|AB|的值．解 1∵∴ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2－4x－2y＝0，即x－22＋y－12＝
5.2由ρsin＝0，得ρ＝0，即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝
0.由于圆x－22＋y－12＝5的半径为r＝，圆心21到直线x－y＝0的距离为d＝＝，∴|AB|＝2＝
3.反思与感悟 在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程．跟踪训练4 在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为．答案 111．极坐标方程分别为ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是 A．3B.C．1D.答案 D2．将极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0化为直角坐标方程为 A．x2＋y2＝0或y＝1B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1D．y＝1答案 C3．在极坐标系中，圆ρ＝2sinθ的圆心的极坐标是 A．1，πB.C.D．10答案 C解析 由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋y－12＝1，圆心坐标为01，化为极坐标为.4．4ρsin2＝5表示的曲线是 A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线答案 D解析 4ρsin2＝5⇒4ρ＝5⇒2ρ＝2ρcosθ＋
5.∵ρ＝，ρcosθ＝x，代入上式得2＝2x＋5，两边平方并整理，得y2＝5x＋，∴它表示的曲线为抛物线．5．在极坐标系中，已知圆C的圆心为C，半径为1，求圆C的极坐标方程．解 在圆C上任取一点Pρ，θ，在△POC中，由余弦定理可得CP2＝OC2＋OP2－2OC·OP·cos∠POC，即1＝4＋ρ2－2×2×ρcos，化简可得ρ2－4ρcos＋3＝
0.当O，P，C共线时，此方程也成立，故圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝
0.1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即ρ，θ，ρ，2π＋θ，－ρ，π＋θ，－ρ，－π＋θ都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M可以表示为或或等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程ρ＝θ.2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点Mρ，θ，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解．
一、选择题1．在极坐标系中，方程ρ＝6cosθ表示的曲线是 A．以点－30为圆心，3为半径的圆B．以点3，π为圆心，3为半径的圆C．以点30为圆心，3为半径的圆D．以点为圆心，3为半径的圆答案 C2．以极坐标系中的点11为圆心，1为半径的圆的方程是 A．ρ＝2cosB．ρ＝2sinC．ρ＝2cosθ－1D．ρ＝2sinθ－1答案 C3．极坐标方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲线为 A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆答案 C4．极坐标系内，点到直线ρcosθ＝2的距离是 A．1B．2C．3D．4答案 B5．下列点不在曲线ρ＝cosθ上的是 A.B.C.D.答案 D
二、填空题6．把圆的直角坐标方程x2＋y－22＝4化为极坐标方程为．答案 ρ＝4sinθ解析 将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.7．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．答案 x2＋y2－3y＝0解析 由ρ＝3sinθ，得ρ2＝3ρsinθ，故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝
0.8．在极坐标系中，若过点A30且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A，B两点，则|AB|＝.答案 2解析 由题意知，直线方程为x＝3，曲线方程为x－22＋y2＝4，将x＝3代入圆的方程，得y＝±，则|AB|＝
2.9．在极坐标系中，曲线C1ρcosθ＋sinθ＝1与曲线C2ρ＝aa0的一个交点在极轴上，则a＝.答案 解析 曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
三、解答题10．从极点O引定圆ρ＝2cosθ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？解 设Qρ，θ，Pρ0，θ0，则θ＝θ0，＝，∴ρ0＝ρ.∵ρ0＝2cosθ0，∴ρ＝2cosθ，即ρ＝5cosθ，它表示一个圆．11．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，求圆C的直角坐标方程．解 将圆C的极坐标方程ρ＝4sin变形可得ρ2＝4ρ，可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，即x＋12＋y－2＝
4.12．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．1ρ＝4cosθ＋2sinθ；2ρ2＝.解 1方程ρ＝4cosθ＋2sinθ两边同时乘以ρ，并把ρ＝，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，化简可得x－22＋y－12＝
5.2ρ2＝可化为4ρcosθ2＋5ρsinθ2＝20，把ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入，化简可得＋＝
1.
四、探究与拓展13．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径及圆心坐标分别为．答案 ，解析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy，圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝
0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即x－12＋y＋12＝6，所以圆C的半径为.圆心C的直角坐标为1，－1，∴ρ＝＝，tanθ＝－1，且C在第四象限．∴θ＝，∴C的极坐标为.14．判断两圆ρ＝cosθ＋sinθ和ρ＝2cosθ的位置关系．解 圆C1ρ＝cosθ＋sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝
1.∴C1，r1＝
1.同理，圆C2ρ＝2cosθ的直角坐标为x－12＋y2＝1，∴C210，r2＝1，∴|C1C2|＝1，∴r1－r2|C1C2|r1＋r2＝2，∴两圆相交．圆心位置极坐标方程图形圆心在极点00ρ＝r0≤θ2π圆心在点r0ρ＝2rcosθ圆心在点ρ＝2rsinθ0≤θπ圆心在点r，πρ＝－2rcosθ圆心在点ρ＝－2rsinθ－πθ≤0。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
