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2.直线的极坐标方程1.直线的极坐标方程1若直线经过点Mρ0,θ0,且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程为ρsinθ-α=ρ0sinθ0-α.2当直线l过极点,即ρ0=0时,l的方程为θ=α.3当直线l过点Ma0且垂直于极轴时,l的方程为ρcos_θ=a.4当直线l过点M且平行于极轴时,l的方程为.2.图形的对称性1若ρθ=ρ-θ,则相应图形关于极轴对称.2若ρθ=ρπ-θ,则图形关于射线θ=所在直线对称.3若ρθ=ρπ+θ,则图形关于极点对称.求直线的极坐标方程[例1] 求过点A10且倾斜角为的直线的极坐标方程.[思路点拨] 思路一通过运用正弦定理解三角形建立动点M所满足的等式,从而集中条件建立以ρ,θ为未知数的极坐标方程;思路二先求出直线的直角坐标方程,然后运用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解.[解] 法一设Mρ,θ为直线上除点A以外的任意一点,易知∠xAM=,则∠OAM=,∠OMA=-θ.在△OAM中,由正弦定理得=,即=,∴ρsin=,∴ρ=,化简得ρcosθ-sinθ=1,经检验,点A10的极坐标适合此方程,∴满足条件的直线的极坐标方程为ρcosθ-sinθ=
1.法二以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴非负半轴,建立平面直角坐标系xOy,∵直线的斜率k=tan=1,∴直线方程为y=x-1,将y=ρsinθ,x=ρcosθ代入上式,得ρsinθ=ρcosθ-1,∴满足条件的直线的极坐标方程为ρcosθ-sinθ=
1.求直线的极坐标方程,首先应明确过点Mρ0,θ0,且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法.另外,还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程.1.求过A且垂直于极轴的直线l的方程.解如图所示,在直线l上任意取点Mρ,θ,∵A,∴|OH|=2sin=.在Rt△OMH中,|OH|=|OM|cosθ,∴=ρcosθ,即ρcosθ=,∴过A且垂直于极轴的直线l的方程为ρcosθ=.2.设点A的极坐标为,直线l过点A且与极轴所成的角为,求直线l的极坐标方程.解设Pρ,θ为直线l上任意一点如图.则α=-=,β=π-=+θ,在△OPA中,有=,即ρsin=
1.直线的极坐标方程的应用[例2] 在极坐标系中,直线l的方程是ρsin=1,求点P到直线l的距离.[思路点拨] 将极坐标问题转化为直角坐标问题.[解] 点P的直角坐标为,-1.直线lρsin=1可化为ρsinθcos-ρcosθsin=1,即直线l的直角坐标方程为x-y+2=
0.∴点P,-1到直线x-y+2=0的距离为d==+
1.故点P到直线l的距离为+
1.对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题,通常是将它们化为直角坐标方程,在直角坐标系下研究.3.在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=
1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2的交点的直角坐标为________.解析由ρsin2θ=cosθ⇒ρ2sin2θ=ρcosθ⇒y2=x,又由ρsinθ=1⇒y=1,联立⇒故曲线C1和C2交点的直角坐标为11.答案114.已知直线的极坐标方程为ρsin=,则点A到这条直线的距离是________.解析点A的直角坐标为,-.直线ρsin=,即ρsinθcos+ρcosθsin=,其直角坐标方程为x+y=,即x+y=
1.∴点A,-到直线x+y-1=0的距离为d==,故点A到直线ρsin=的距离为.答案
一、选择题1.极坐标方程cosθ=ρ≥0表示的曲线是 A.余弦曲线 B.两条相交直线C.一条射线D.两条射线解析选D ∵cosθ=,∴θ=±+2kπk∈Z.又∵ρ≥0,∴cosθ=表示两条射线.2.已知点P的坐标为2,π,则过点P且垂直于极轴的直线方程是 A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρ=-D.ρ=解析选C 由点P的坐标可知,过点P且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x=-2,即ρcosθ=-
2.故选C.3.如果直线ρ=与直线l关于极轴对称,那么直线l的极坐标方程是 A.ρ=B.ρ=C.ρ=D.ρ=解析选A 由ρ=知ρcosθ-2ρsinθ=1,故ρcosθ+2ρsinθ=1,即ρ=为所求.4.在极坐标系中,点到曲线ρcosθ-ρsinθ-1=0上的点的最小距离等于 A.B.C.D.2解析选A 将极坐标化为直角坐标即为点11到直线x-y-1=0的距离最小,即=,故选A.
二、填空题5.极坐标方程ρcos=1的直角坐标方程是____________.解析将极坐标方程变为ρcosθ-ρsinθ=1,化为直角坐标方程为x-y=1,即x-y-2=
0.答案x-y-2=06.若直线ρsin=与直线3x+ky=1垂直,则常数k=________.解析直线的极坐标方程可化为ρsinθ-ρcosθ=,即x-y+1=0,由题意知=1,解得k=
3.答案37.在极坐标系中,点到直线ρsinθ=2的距离为________.解析点对应的直角坐标为,1,直线ρsinθ=2对应的直角坐标方程为y=2,所以点到直线的距离为
1.答案1
三、解答题8.设M,N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin=上的动点,求M,N的最小距离.解因为M,N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin=上的动点,即M,N分别是圆x2+y2+2y=0和直线x+y-1=0上的动点,要求M,N两点间的最小距离,即在直线x+y-1=0上找一点到圆x2+y2+2y=0的距离最小,即圆心0,-1到直线x+y-1=0的距离减去半径,故最小值为-1=-
1.故M,N的最小距离为-
1.9.求过点-23且斜率为2的直线的极坐标方程.解由题意知,直线的直角坐标方程为y-3=2x+2,即2x-y+7=
0.设Mρ,θ为直线上任意一点,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入直角坐标方程2x-y+7=0,得2ρcosθ-ρsinθ+7=0,这就是所求的极坐标方程.10.已知双曲线的极坐标方程为ρ=,过极点作直线与它交于A,B两点,且|AB|=6,求直线AB的极坐标方程.解设直线AB的极坐标方程为θ=θ
1.Aρ1,θ1,Bρ2,θ1+π,ρ1=,ρ2==.|AB|=|ρ1+ρ2|==,∴=±1,∴cosθ1=0或cosθ1=±故直线AB的极坐标方程为θ=,θ=或θ=.。