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3.
4.1曲线与方程 [学生用书单独成册][A.基础达标]已知曲线C的方程为x2-xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线C上的点是 A.-1,2 B.1,-2C.2,-3D.3,6解析选A.代入检验知只有-1,2使方程成立.方程xy2-x2y=2x所表示的曲线 A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x-y=0对称解析选C.同时以-x代替x,以-y代替y,方程不变,所以方程xy2-x2y=2x所表示的曲线关于原点对称.3.方程x-y2+xy-12=0表示的是 A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆解析选C.由题意得即得或4.已知定点A1,0和定直线l x=-1,在l上有两动点E,F,且满足⊥,另有动点P,满足∥,∥O为坐标原点,则动点P的轨迹方程为 A.y2=4xB.y2=4xx≠0C.y2=-4xD.y2=-4xx≠0解析选B.设Px,y,E-1,y1,F-1,y2y1,y2均不为零,由∥,得y1=y,即E-1,y.由∥,得y2=-,即F-1,-.由⊥,得y2=4xx≠0.故选B.已知两定点A-2,0,B1,0,如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于 A.9πB.8πC.4πD.π解析选C.设Px,y,由题意=2,化简整理得x-22+y2=4,动点P的轨迹是半径为2的圆,其面积为4π.已知方程x2+y2+2x-4=0的曲线经过点Pm,1,那么m的值为________.解析把Pm,1代入方程得m2+1+2m-4=0,即m2+2m-3=0,所以m=-3或m=
1.答案-3或1已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A0,-1与点P连线的中点Mx,y的轨迹方程是________.解析设Px′,y′,则即,由于Px′,y′在曲线2x2-y=0上,所以22x2-2y+1=0,所以y=4x2-.答案y=4x2-如图,已知点P-3,0,点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=
2.当点A在y轴上移动时,动点M的轨迹方程是________.解析设动点Mx,y,A0,b,Qa,0,因为P-3,0,所以=3,b,=a,-b,=x-a,y.因为·=0,所以3,b·a,-b=0,即3a-b2=
0.
①因为=2,所以x-a,y=2a,-b,即x=3a,y=-2b.
②由
①②,得y2=4x.所以动点M的轨迹方程为y2=4x.答案y2=4x在平面直角坐标系xOy中,已知点A0,-1,B点在直线y=-3上,M点满足∥,·=·,M点的轨迹为曲线C.求C的方程.解设Mx,y,由已知得Bx,-3,所以=-x,-1-y,=0,-3-y,=x,-2.由·=·,得+·=0,即-x,-4-2y·x,-2=
0.所以曲线C的方程为y=x2-
2.如图所示,已知P4,0是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上的两动点,且∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解设AB的中点为Dx0,y0,Qx,y,在△ABP中,因为|AD|=|BD|,又D是弦AB的中点,根据垂径定理,有|AD|2=|AO|2-|OD|2=36-x+y.所以|DP|2=|AD|2=36-x+y.所以x0-42+y=36-x+y,即x+y-4x0-10=
0.因为代入上式,得+-2x+4-10=
0.即x2+y2=
56.所以矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=
56.[B.能力提升]已知两点M-2,0,N2,0,点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点Px,y的轨迹方程为 A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x解析选B.=4,0,=x+2,y,=x-2,y,由||·||+·=0得4+4x-2=0,即y2=-8x.2.在平面直角坐标系中,已知A3,1,B-1,3,若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,O为坐标原点,则点C的轨迹为 A.射线B.直线C.圆D.线段解析选B.=3,1,=-1,3,设Cx,y,即=x,y,因为=α+β,所以x,y=α3,1+β-1,3,所以所以由α+β=1消去α,β得x+2y-5=
0.动点P与平面上两定点A-,0,B,0连线的斜率的积为定值-,则动点P的轨迹方程为________.解析设动点P的坐标为x,y,kAP==,kBP==,kAP·kBP==-,得x2+2y2-2=0,当x=时,kBP不存在;当x=-时,kAP不存在,故动点P的轨迹为x2+2y2-2=0x≠±.即+y2=1x≠±.答案+y2=1x≠±
4.如图,动点M和两定点A-1,0,B2,0构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为________.解析设M的坐标为x,y,M在x轴上的投影为点Nx,0,则|MN|=|y|,|AN|=x+1,|BN|=2-x,因为∠MBA=2∠MAB,所以tan∠MBA=,即=,整理得x2-=1,因为∠MBA=2∠MAB∠MAB,所以点M应在x2-=1的右支上,故x1,故轨迹C的方程为x2-=
1.答案x2-=1x15.在边长为1的正方形ABCD中,边AB,BC上分别有一个动点Q,R,且|BQ|=|CR|.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程.解分别以AB,AD边所在的直线为x轴,y轴建立直角坐标系.如图所示,则点A0,0,B1,0,C1,1,D0,1,设动点Px,y.设|AQ|=t0≤t≤1,则Qt,0,由|BQ|=|CR|知|AQ|=|BR|,所以R1,t.当t≠0时,直线AR方程y=tx,
①直线DQ方程为+y=1,
②由
②式得1-y=,
③①×
③得y1-y=tx·,化简得x2+y2-y=
0.当t=0时,点P与原点重合,坐标0,0也满足上述方程.故点P的轨迹方程为x2+y2-y=00≤x≤,0≤y≤.6.选做题如图所示,已知椭圆+=1,直线l x=12,P是l上任意一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在线段OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上运动时,求点Q的轨迹方程.解设P12,yP,RxR,yR,Qx,y,∠POx=α.因为|OR|2=|OQ|·|OP|,所以=·.由题意知xR>0,x>0,所以x=x·
12.
①又因为O,Q,R三点共线,所以kOQ=kOR,即=.
②由
①②得y=.
③因为点RxR,yR在椭圆+=1上,所以eq\fx24+eq\fy16=
1.
④由
①③④得2x-12+3y2=2x>0,所以点Q的轨迹方程是2x-12+3y2=2x>0.。