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全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式学案板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 绝对值不等式的解法1.形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方转化为二次不等式求解.2.形如|ax+b|≤cc0和|ax+b|≥cc0型不等式1绝对值不等式|x|a与|x|a的解集2|ax+b|≤cc0和|ax+b|≥cc0型不等式的解法|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤cc0,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-cc0.考点2 绝对值不等式的应用1.定理如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.2.如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当a-bb-c≥0时,等号成立.3.由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式1|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.2||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.3||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.[考点自测]1.判断下列结论的正误.正确的打“√”,错误的打“×”1|ax+b|≤cc≥0的解等价于-c≤ax+b≤c. 2若|x|c的解集为R,则c≤
0. 3不等式|x-1|+|x+2|2的解集为∅. 4|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和. 5不等式|a-b|≤|a|+|b|等号成立的条件是ab≤
0. 答案 1√ 2× 3√ 4√ 5√2.[课本改编]不等式3≤|5-2x|9的解集为 A.[-21∪[47B.-21]∪47]C.-2,-1]∪[47D.-21]∪[47答案 D解析 由题得⇒⇒得解集为-21]∪[47.3.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为 A.-∞,-1]∪[4,+∞B.-∞,-2]∪[5,+∞C.
[12]D.-∞,1]∪[2,+∞答案 A解析 ∵|x+3|-|x-1|≤|x+3-x-1|=4,∴a2-3a≥4恒成立,∴a∈-∞,-1]∪[4,+∞.4.[课本改编]不等式|x-1|4-|x+2|的解集是________.答案 解析 由|x-1|4-|x+2|,得或或解得1≤x或-2x1或-x≤-
2.所以原不等式的解集为.5.[xx·南宁模拟]若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.答案 [-24]解析 ∵|x-a|+|x-1|≥|x-a-x-1|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤
4.6.[课本改编]不等式|x+3|-|2x-1|+1的解集为________.答案 解析
①当x-3时,原不等式化为-x+3-1-2x+1,解得x10,所以x-
3.
②当-3≤x<时,原不等式化为x+3-1-2x+1,解得x-,所以-3≤x-.
③当x≥时,原不等式化为x+3+1-2x+1,解得x2,所以x
2.综上可知,原不等式的解集为.板块二 典例探究·考向突破考向 绝对值不等式的解法例 1 [xx·全国卷Ⅲ]已知函数fx=|x+1|-|x-2|.1求不等式fx≥1的解集;2若不等式fx≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解 1fx=当x<-1时,fx≥1无解;当-1≤x≤2时,由fx≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由fx≥1,解得x>
2.所以fx≥1的解集为{x|x≥1}.2由fx≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-2+≤,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=,故m的取值范围为.触类旁通绝对值不等式的常用解法1基本性质法对a0,|x|a⇔-axa,|x|a⇔x-a或xa.2平方法两边平方去掉绝对值符号.3零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式组求解.4几何法利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解.5数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.【变式训练1】 [xx·全国卷Ⅰ]已知函数fx=-x2+ax+4,gx=|x+1|+|x-1|.1当a=1时,求不等式fx≥gx的解集;2若不等式fx≥gx的解集包含[-11],求a的取值范围.解 1当a=1时,不等式fx≥gx等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤
0.
①当x<-1时,
①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,
①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,
①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤.所以fx≥gx的解集为2当x∈[-11]时,gx=2,所以fx≥gx的解集包含[-11]等价于当x∈[-11]时,fx≥
2.又fx在[-11]的最小值必为f-1与f1之一,所以f-1≥2且f1≥2,得-1≤a≤
1.所以a的取值范围为[-11].考向 绝对值三角不等式的应用例 2 1[xx·江西模拟]已知函数fx=|2x-1|.
①求不等式fx4的解集;
②若函数gx=fx+fx-1的最小值为a,且m+n=am0,n0,求+的取值范围.解
①不等式fx4,即|2x-1|4,即-42x-14,求得-x,故不等式的解集为{x.
②若函数gx=fx+fx-1=|2x-1|+|2x-1-1|=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x-3|=2,故gx的最小值为a=2,∵m+n=a=2m0,n0,则+=+=1+++=++≥+2=+,当且仅当m=4-2,n=2-2时等号成立,故+的取值范围为.2[xx·太原模拟]已知函数fx=|2x-a|+|2x+3|,gx=|x-1|+
2.
①解不等式|gx|5;
②若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得fx1=gx2成立,求实数a的取值范围.解
①由||x-1|+2|5,得-5|x-1|+25,所以-7|x-1|3,解不等式得-2x4,所以原不等式的解集是{x|-2x4}.
②因为对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得fx1=gx2成立,所以{y|y=fx}⊆{y|y=gx},又fx=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-2x+3|=|a+3|,gx=|x-1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,所以实数a的取值范围是{a|a≥-1或a≤-5}.触类旁通绝对值三角不等式的应用利用不等式|a+b|≤|a|+|b|a,b∈R和|a-b|≤|a-c|+|c-b|a,b∈R,通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以1求最值.2证明不等式.【变式训练2】 1[xx·江西模拟]设fx=|x-1|+|x+1|x∈R,
①求证fx≥2;
②若不等式fx≥对任意非零实数b恒成立,求x的取值范围.解
①证明fx=|x-1|+|x+1|=|1-x|+|x+1|≥|1-x+x+1|=
2.
②令gb=,gb=≤=3,∴fx≥3,即|x-1|+|x+1|≥3,x≤-1时,-2x≥3,∴x≤-
1.5;-1x≤1时,2≥3不成立;x1时,2x≥3,∴x≥
1.
5.综上所述x≤-
1.5或x≥
1.
5.2已知函数fx=|2x-a|+|x-1|,a∈R.
①若不等式fx≤2-|x-1|有解,求实数a的取值范围;
②当a2时,函数fx的最小值为3,求实数a的值.解
①由题fx≤2-|x-1|,可得+|x-1|≤
1.而由绝对值的几何意义知+|x-1|≥,由不等式fx≤2-|x-1|有解,得≤1,即0≤a≤
4.故实数a的取值范围是
[04].
②函数fx=|2x-a|+|x-1|,当a2,即1时,fx=所以fxmin=f=-+1=3,得a=-42符合题意,故a=-
4.考向 与绝对值不等式有关的求参问题例 3 [xx·安徽模拟]已知函数fx=|x-4|,gx=a|x|,a∈R.1当a=2时,解关于x的不等式fx2gx+1;2若不等式fx≥gx-4对任意x∈R恒成立,求a的取值范围.解 1当a=2时,不等式fx2gx+1为|x-4|4|x|+1,x0,不等式化为4-x-4x+1,解得x-1,∴-1x0;0≤x≤4,不等式化为4-x4x+1,解得x,∴0≤x;x4,不等式化为x-44x+1,解得x-,无解;综上所述,不等式的解集为{x.2若不等式fx≥gx-4对任意x∈R恒成立,即|x-4|≥a|x|-4对任意x∈R恒成立,当x=0时,不等式|x-4|≥a|x|-4恒成立;当x≠0时,问题等价于a≤对任意非零实数恒成立.∵≥=1,∴a≤1,即a的取值范围是-∞,1].触类旁通1当a=2时,不等式fx2gx+1为|x-4|4|x|+1,分类讨论求得x的范围.2由题意可得|x-4|≥a|x|-4对任意x∈R恒成立.当x=0时,不等式显然成立;当x≠0时,采用分离参数法,问题等价于a≤对任意非零实数恒成立,再利用绝对值三角不等式求得a的范围.含绝对值不等式的应用中的数学思想1利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想.2利用函数的图象求解,体现了数形结合的思想.【变式训练3】 1已知函数fx=|1-2x|-|1+x|.
①若不等式fx4的解集为{x|axb},求a,b的值;
②求使不等式fx≤k-f-2x有解的实数k的取值范围.解
①∵fx=当x-1时,-x+24,∴-2x-1;当-1≤x≤时,-3x4,∴-1≤x≤;当x时,x-24,∴x
6.故由fx4得-2x6,∴a=-2,b=
6.
②不等式fx≤k-f-2x有解,即|1-2x|-|1+x|≤k-|1+4x|+|1-2x|,即k≥|1+4x|-|1+x|有解,∵|1+4x|-|1+x|=∴|1+4x|-|1+x|的最小值为-,∴实数k的取值范围为.2[xx·凉山州模拟]已知函数fx=|x+1|-|x|+a.
①若不等式fx≥0的解集为空集,求实数a的取值范围;
②若方程fx=x有三个不同的解,求实数a的取值范围.解
①令gx=|x+1|-|x|,则由题意可得fx≥0的解集为∅,即gx≥-a的解集为∅,即gx-a恒成立.∵gx=|x+1|-|x|=作出函数gx的图象,如图由图可知,函数gxmin=-1;gxmax=
1.∴-a1,即a-
1.综上,实数a的取值范围为-∞,-1.
②在同一坐标系内作出函数gx=|x+1|-|x|图象和y=x的图象如图所示,由题意可知,把函数y=gx的图象向下平移1个单位以内不包括1个单位与y=x的图象始终有3个交点,从而-1a
0.核心规律含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法1分离参数法运用“fx≤a⇔fxmax≤a,fx≥a⇔fxmin≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.2更换主元法不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.3数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观解决问题.满分策略1.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题,能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.2.绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程,从右到左是缩小过程,证明不等式可以直接用,也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具,但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1.[xx·宜春模拟]设函数fx=|x-4|,gx=|2x+1|.1解不等式fxgx;2若2fx+gxax对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.解 1fxgx等价于x-422x+12,∴x2+4x-50,∴x-5或x1,∴不等式的解集为{x|x-5或x1}.2令Hx=2fx+gx=Gx=ax,2fx+gxax对任意的实数x恒成立,即Hx的图象恒在直线Gx=ax的上方,故直线Gx=ax的斜率a满足-4≤a,即a的范围为.2.[xx·深圳模拟]已知函数fx=|x-5|-|x-2|.1若∃x∈R,使得fx≤m成立,求m的取值范围;2求不等式x2-8x+15+fx≤0的解集.解 1fx=|x-5|-|x-2|=当2x5时,-37-2x3,所以-3≤fx≤
3.所以m的取值范围是[-3,+∞.2原不等式等价于-fx≥x2-8x+15,由1可知,当x≤2时,-fx≥x2-8x+15的解集为空集;当2x5时,-fx≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x5};当x≥5时,-fx≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.3.[xx·福州模拟]已知函数fx=|x+a|+|x-2|的定义域为实数集R.1当a=5时,解关于x的不等式fx9;2设关于x的不等式fx≤|x-4|的解集为A,B={x∈R||2x-1|≤3},如果A∪B=A,求实数a的取值范围.解 1当a=5时,fx=|x+5|+|x-2|.
①当x≥2时,由fx9,得2x+39,解得x3;
②当-5≤x2时,由fx9,得79,此时不等式无解;
③当x-5时,由fx9,得-2x-39,解得x-
6.综上所述,当a=5时,关于x的不等式fx9的解集为{x∈R|x-6或x3}.2∵A∪B=A,∴B⊆A.又B={x∈R||2x-1|≤3}={x∈R|-1≤x≤2},关于x的不等式fx≤|x-4|的解集为A,∴当-1≤x≤2时,fx≤|x-4|恒成立.由fx≤|x-4|得|x+a|≤
2.∴当-1≤x≤2时,|x+a|≤2恒成立,即-2-x≤a≤2-x恒成立.∴实数a的取值范围为[-10].4.[xx·泉州模拟]已知函数fx=|x+1|+|2x-4|.1解关于x的不等式fx9;2若直线y=m与曲线y=fx围成一个三角形,求实数m的取值范围,并求所围成的三角形面积的最大值.解 1x≤-1,不等式可化为-x-1-2x+49,∴x-2,∴-2x≤-1;-1x2,不等式可化为x+1-2x+49,∴x-4,∴-1x2;x≥2,不等式可化为x+1+2x-49,∴x4,∴2≤x<4;综上所述,不等式的解集为{x|-2x4}.2fx=|x+1|+2|x-2|=由题意作图如下,结合图象可知,A36,B-16,C23;故3m≤6,且m=6时面积最大为×3+1×3=
6.5.[xx·长春模拟]已知函数fx=|2x+4|+|x-a|.1当a-2时,fx的最小值为1,求实数a的值;2当fx=|x+a+4|时,求x的取值范围.解 1fx=|2x+4|+|x-a|=可知,当x=-2时,fx取得最小值,最小值为f-2=-a-2=1,解得a=-
3.2fx=|2x+4|+|x-a|≥|2x+4-x-a|=|x+a+4|,当且仅当2x+4x-a≤0时,等号成立,所以若fx=|x+a+4|,则当a-2时,x的取值范围是{x|a≤x≤-2};当a=-2时,x的取值范围是{x|x=-2};当a-2时,x的取值范围是{x|-2≤x≤a}.6.[xx·辽宁大连双基考试]设函数fx=|x-1|+|x-3|.1求不等式fx2的解集;2若不等式fx≤a的解集非空,求实数a的取值范围.解 1原不等式等价于或或∴不等式的解集为∪3,+∞.2fx=|x-1|+|x-3|=fx的图象如图所示,其中A11,B32,直线y=a绕点旋转,由图可得不等式fx≤a的解集非空时,a的取值范围为∪.。