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文本内容:
3.
1.1 数学归纳法原理
1.理解归纳法和数学归纳法原理.
2.会用数学归纳法证明有关问题.自学导引
1.由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常称为归纳法.
2.一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤1证明当n取初始值n0时命题成立;2假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于从初始值n0开始的所有自然数都正确.这种证明方法称为数学归纳法.基础自测
1.设fn=+++…+n∈N+,那么fn+1-fn等于 A.B.C.+D.-解析 fn=+++…+fn+1=++…+++∴fn+1-fn=+-=-,选D.答案 D
2.用数学归纳法证明n+1n+2…·n+n=2n×1×3…2n-1时,从“k到k+1”左边需增乘的代数式是 A.2k+1B.C.22k+1D.解析 n=k时,k+1k+2…k+k=2k×1×3×…×2n-
1.n=k+1时,k+2…k+k·k+1+kk+1+k+
1.∴增乘的代数式是=22k+1,选C.答案 C
3.数列{an}中,已知a1=1,当n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是________.解析 a1=1,a2=a1+3=4,a3=4+5=9,a4=9+7=16,猜想an=n
2.答案 an=n2知识点1 利用数学归纳法证明等式【例1】通过计算下面的式子,猜想出-1+3-5+…+-1n2n-1的结果,并加以证明.-1+3=________;-1+3-5=________;-1+3-5+7=________;-1+3-5+7-9=________.解 上面四个式子的结果分别是2,-3,4,-5,由此猜想-1+3-5+…+-1n2n-1=-1nn下面用数学归纳法证明1当n=1时,式子左右两边都等于-1,即这时等式成立.2假设当n=kk≥1时等式成立,即-1+3-5+…+-1k2k-1=-1kk当n=k+1时,-1+3-5+…+-1k2k-1+-1k+12k+1=-1kk+-1k+12k+1=-1k+1-k+2k+1=-1k+1k+
1.即n=k+1时,命题成立.由12知,命题对于n∈N*都成立.●反思感悟用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.
1.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+.证明 1当n=1时,左边=1-=,右边=,命题成立.2假设当n=kk≥1时命题成立,即1-+-+…+-=++…+,那么当n=k+1时,左边=1-+-+…+-+-=++…++-=++…++.上式表明当n=k+1时命题也成立.由1和2知,命题对一切自然数均成立.【例2】证明+++…++=1-其中n∈N*成立的过程如下,请判断证明是否正确?为什么?证明1当n=1时,左边=,右边=1-=.∴当n=1时,等式成立.2假设当n=kk≥1时,等式成立,即+++…++=1-,那么当n=k+1时,左边=+++…+++==1-=右边.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据1和2,可知等式对任何n∈N*都成立.解 不正确,错误的原因在第2步,它是直接利用等比数列的求和公式求出了当n=k+1时,式子+++…+++的和,而没有利用“归纳假设”.正确的证明如下1当n=1时,左边=,右边=1-=,等式成立.2假设当n=kk∈N*,k≥2时,等式成立,就是+++…++=1-,那么当n=k+1时,左边=+++…+++=1-+=1-=1-=右边.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.根据1和2,可知等式对任意n∈N*都成立.●反思感悟在推证“n=k+1”命题也成立时,必须把“归纳假设”n=k时的命题,作为必备条件使用上,否则不是数学归纳法.对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错是常见错误.
2.用数学归纳法证明…=n≥
2.证明 1当n=2时,左边=1-=,右边==,等式成立.2假设当n=kk∈N*,k≥2时,等式成立,即…=则当n=k+1时,…==·=,即n=k+1时,等式成立.由12知,对于任意正整数nn≥2,原等式成立.知识点2 用数学归纳法证明不等式【例3】用数学归纳法证明1+++…+2-n≥
2.证明 1当n=2时,1+=2-=,命题成立.2假设n=kk∈N*,k≥2时命题成立,即1+++…+2-,当n=k+1时,1+++…++2-+2-+=2-+-=2-,命题成立.由
1、2知原不等式在n≥2时均成立.●反思感悟1由n=k到n=k+1时的推证过程中应用了“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.2数学归纳法的应用通常与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等.
3.求证1+++…+≥n∈N*.证明 1当n=1时,左边=1,右边=1,∴左边≥右边,即命题成立.2假设当n=k时,命题成立,即1+++…+≥.那么当n=k+1时,1+++…++≥+=+≥+====.由12知原不等式在n∈N*时均成立.课堂小结
1.数学归纳法的两个步骤缺一不可,只完成步骤1而缺少步骤2就可能得出不正确的结论,因为单靠1无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确无法判断.同样只有步骤2而没有步骤1也可能得出不正确的结论.因为缺少1,假设就失去了成立的前提,步骤2也就没有意义了.
2.数学归纳法证明的关键是第二步,此处要搞清两点1当n=k+1时,证明什么,即待证式子的两端发生了哪些变化.2由n=k推证n=k+1时,可以综合应用以前学过的定义、定理、公式、方法等来进行证明,只不过必须得把n=k时的结论作为条件应用上.随堂演练
1.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证 A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立解析 因为多边形边数最少的是三角形,故应选C.答案 C
2.设fn=1+++…+n∈N+,则fn+1-fn等于 A.B.+C.+D.++解析 fn=1+++…+.fn+1=1+++…++++.∴fn+1-fn=++,应选D.答案 D
3.已知a1=,an+1=,n∈N*,求证an
2.证明 1n=1时,∵a1=,∴a
12.2设n=kk≥1时,ak2,当n=k+1时,ak+1==
2.故n=k+1时,命题成立.由12知,n∈N*时,an2都成立.基础达标
1.满足1×2+2×3+3×4+…+n×n+1=3n2-3n+2的自然数n= A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4解析 经验证当n=1,2,3时均正确,但当n=4时,左边=1×2+2×3+3×4+4×5=40,而右边=3×42-3×4+2=38,故选C.答案 C
2.一个与自然数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立推得n=k+2时命题也成立则 A.该命题对于n2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值无关D.以上答案都不对解析 由题意n=2时成立可推得n=4,6,8…都成立,因此所有正偶数都成立,故选B.答案 B
3.某个与正整数n有关的命题,如果当n=kk∈N*且k≥1时该命题成立,则一定可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时该命题不成立,那么应有 A.当n=4时该命题成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=6时该命题不成立答案 C
4.在数列{an}中,a1=,且Sn=n2n-1an.通过求a2,a3,a4猜想an的表达式是________.解析 +a2=22×2-1a2,a2=,++a3=32×3-1a3,a3=,+++a4=42×4-1a4,a4=,猜想an=.答案 an=
5.观察下列等式1=1,3+5=8,7+9+11=27,13+15+17+19=64,…,请猜想第n个等式是________________________.答案 n2-n+1+n2-n+3+…+[n2-n+2n-1]=n
36.求证++…+n≥2,n∈N*.证明 1当n=2时,左边=+++,不等式成立.2假设n=kk≥2,k∈N*时命题成立,即++…+,则当n=k+1时,++…++++=++…++++=,所以当n=k+1时不等式也成立.由12可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.综合提高
7.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=a≠1”在验证n=1时,左端计算所得的项为 A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3解析 当n=1时,an+1=a2,∴左边应为1+a+a2,故选C.答案 C
8.已知fx是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若fk≥k2成立,则fk+1≥k+12成立,下列命题成立的是 A.若f3≥9成立,则对于任意的k≥1,均有fk≥k2成立B.若f4≥16成立,则对于任意的k≥4,均有fkk2成立C.若f7≥49成立,则对于任意的k7,均有fkk2成立D.若f4≥16成立,则对于任意的k≥4,均有fk≥k2成立答案 D
9.用数学归纳法证明“n3+5n能被6整除”的过程中,当n=k+1时,对式子k+13+5k+1应变形为__________.答案 k3+5k+3kk+1+
610.用数学归纳法证明设fm=1+++…+,则n+f1+f2+…+fn-1=nfnn∈N+且n≥2,第一步要证的等式是________.答案 2+f1=2f
211.求证++…+=++…+.证明 1当n=1时,左边==,右边=,等式成立.2假设当n=k时,等式成立,即++…+=++…+.则当n=k+1时,++…++=++…++=++…+++=++…+++=++…++,即当n=k+1时,等式成立.根据12可知,对一切n∈N*,等式成立.
12.用数学归纳法证明当n∈N*时,1+2+3+…+n≥n
2.证明 1当n=1时,左边=1,右边=12=1,左边≥右边,不等式成立.2假设n=kk≥1,k∈N*时不等式成立,即1+2+3+…+k≥k2,则当n=k+1时,左边=[1+2+…+k+k+1]·=1+2+3+…+k+1+2+3+…+k+k+1+1≥k2+·+k+1+1=k2++1+k+1,∵当k≥2时,1+++…+≥1+=,∴左边≥k2++1+k+1×=k2+2k+1+≥k+
12.这就是说,当n=k+1时,不等式成立.由12知,当n∈N*时,不等式成立.。