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第三章数学归纳法与贝努利不等式本章复习课
1.理解数学归纳法原理,会用数学归纳法证明与正整数有关的等式、不等式、整除性问题和几何问题.
2.会用数学归纳法证明绝对值不等式、均值不等式、柯西不等式和贝努利不等式,会用贝努利不等式证明有关的简单问题.知识结构—知识梳理
1.数学归纳法及其原理数学归纳法是证明一些与正整数有关的数学命题的一种方法.即先证明当n取第一个值n0例如n0=1时命题成立,然后假设当n=kk∈N*,k≥n0时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,那么就证明了这个命题成立.这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步归纳奠基n=n0时结论成立.第二步归纳递推假设n=k时,结论成立,推得n=k+1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上,它可用有限的步骤两步证明出无限的命题成立.
3.运用数学归纳法时易犯的错误1对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错.2没有利用归纳假设.3关键步骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性.典例剖析知识点1 归纳、猜想、证明问题【例1】已知x+=2cosθ,1计算x2+及x3+的值;2归纳出xn+n∈N*的值,再用数学归纳法证明.解 1x2+=-2=22cos2θ-2=22cos2θ-1=2cos2θx3+=-3,=8cos3θ-3×2cosθ=2cos3θ.2由1猜想xn+=2cosnθn∈N*证明
①当n=1,2时,由1已证
②假设n=k及n=k-1时,命题成立,即xk+=2coskθ,xk-1+=2cosk-1θk≥2,k∈N*则n=k+1时,xk+1+=-=4coskθcosθ-2cosk-1θ=2[cosk+1θ+cosk-1θ]-2cosk-1θ=2cosk+1θ∴当n=k+1时,命题也成立,由
①、
②知,对一切n∈N*都有xn+=2cosnθ.知识点2 探索性问题【例2】是否存在常数a,b,c使得等式1·22+2·32+…+nn+12=an2+bn+c对一切n∈N*都成立?并证明你的结论.解 假设存在符合题意的常数a,b,c,在等式1·22+2·32+…+nn+12=an2+bn+c中,令n=1,得4=a+b+c
①令n=2,得22=4a+2b+c
②令n=3,得70=9a+3b+c
③由
①②③解得a=3,b=11,c=10,于是,对于n=1,2,3,都有1·22+2·32+…+nn+12=3n2+11n+10*成立.下面用数学归纳法证明对于一切正整数n,*式都成立.假设n=k时,*成立,即1·22+2·32+…+kk+12=3k2+11k+10,那么1·22+2·32+…+kk+12+k+1k+22=3k2+11k+10+k+1k+22=3k2+5k+12k+24=[3k+12+11k+1+10],由此可知,当n=k+1时,*式也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切n∈N*都成立.知识点3 与数列通项有关的归纳、猜想、证明【例3】设数列{an}满足an+1=a-nan+1,n∈N*.1当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想an的一个通项公式;2当a13时,证明对所有n≥1有
①an≥n+2;
②++…+≤.1解 由a1=2,an+1=a-nan+1得a2=a-a1+1=3,a3=a-2a2+1=4a4=a-3a3+1=5由此可推测数列{an}的一个通项公式是an=n+
1.2证明
①当n=1时,a13=1+2,不等式成立.假设n=k时,不等式成立,即ak≥k+2当n=k+1时,ak+1=a-kak+1=akak-k+1≥k+2k+2-k+1=2k+5≥k+3即ak+1≥k+1+2,因此不等式成立.∴an≥n+2对于n∈N*都成立.
②由an+1=a-nan+1及1知当k≥2时,ak=a-k-1ak-1+1=ak-1ak-1-k+1+1≥ak-1k-1+2-k+1+1=2ak-1+1ak+1≥2ak-1+1,即≥2∴ak+1≥2k-1a1+1,≤·k≥2++…+≤=≤≤.知识点4 用数学归纳法证明三角等式【例4】用数学归纳法证明tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tann-1α·tannα=-nn≥2,n∈N*.证明 1当n=2时,左边=tanα·=右边=-2=-2=,等式成立.2假设当n=k时k≥2,k∈N*等式成立,即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tank-1α·tankα=-k则当n=k+1时,tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tank-1α·tankα+tankα·tank+1α=-k+tankα·tank+1α*由tanα=tan[k+1α-kα]=得tankαtank+1α=-
1.代入*式,得右边=-k+-1=-k+1,即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tank-1α·tankα+tankα·tank+1α=-k+
1.这就是说,当n=k+1时等式成立.根据12可知,对任意n≥2,n∈N*,等式成立基础达标
1.如果命题Pn对n=k成立,则它对n=k+2亦成立,又若Pn对n=2成立,则下列结论正确的是 A.Pn对所有的正整数n成立B.Pn对所有的正偶整数n成立C.Pn对所有正奇整数n成立D.Pn对所有比1大的自然数n成立答案 B
2.利用数学归纳法证明++…+n≥2,n∈N+的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式的左边 A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了一项,并减少了D.增加了两项和,并减少了答案 D
3.用数学归纳法证明+cosα+cos3α+…+cos2n-1α=k∈Z*,α≠kπ,n∈N+,在验证n=1时,左边计算所得的项是 A.B.+cosαC.+cosα+cos3αD.cosα答案 B
4.平面上有n条直线,其中任意三条不平行,任意两条不共线,则这n条直线把平面分成________个部分.答案 +
15.已知fn=1+++…+n∈N+,用数学归纳法证明f2n时,f2k+1-f2k=________.答案 ++…+
6.n∈N,求证4·6n+5n+1-9能被20整除.证明 1当n=1时,4·6n+5n+1-9=40,能被20整除,即n=1时命题成立.2设n=k时命题成立,即4·6k+5k+1-9能被20整除.设4·6k+5k+1-9=20mm为整数.∴-9=20m-4·6k-5k+
1.∴4·6k+1+5k+2-9=4·6k+1+5k+2+20m-4·6k-5k+1=206k+5k+m,∴4·6k+1+5k+2-9能被20整除.∴当n=k+1时,命题成立.由
1、2,知对n∈N,命题成立.综合提高
7.对于不等式≤n+1n∈N+,某学生用数学归纳法证明过程如下1当n=1时,≤1+1,不等式成立;2假设n=kk∈N+时不等式成立,即k+1,则当n=k+1时,左边====k+1+1,∴当n=k+1时,不等式成立.上述证明中 A.过程全部正确B.n=1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案 D
8.设平面内有几条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为fx,则fx+1与fk的关系为 A.fk+1=fk+k-1B.fk+1=fk+k+2C.fk+1=fk+kD.fk+1=fk+k+2答案 C
9.用数学归纳法证明命题当n是非负整数时,11n+2+122n+1能被133整除,假设n=k时命题成立,推证n=k+1时命题也成立,应添加的辅助项为________.答案 11×122k+1-11×122k+
110.用数学归纳法证明“n∈N+,nn+12n+1能被6整除”时,某同学证法如下1n=1时,1×2×3=6能被6整除,∴n=1时命题成立.2假设n=k时成立,即kk+12k+1能被6整除,那么n=k+1时,k+1k+22k+3=k+1k+2[k+k+3]=kk+1k+2+k+1k+2k+
3.∵k,k+1,k+2和k+1,k+2,k+3分别是三个连续自然数的积,∴能被6整除,故n=k+1时命题成立.综合
1、2,对一切n∈N+,nn+12n+1能被6整除.这种证明情况________.答案 未用上归纳假设,不是数学归纳法
11.求证cosx+cos3x+…+cos2n-1x=n∈N*.证明 1当n=1时,左边=cosx,右边==cosx,等式成立.2假设n=kk≥1时,cosx+cos3x+…+cos2k-1x=成立.当n=k+1时,cosx+cos3x+…+cos2k-1x+cos2k+1x=+cos2k+1x=sin2kx+2sinxcos2k+1x=sin2kx+sin2k+2x-sin2kx=,∴对n=k+1时,等式成立.由1,2知,对一切自然数n∈N*,等式均成立.
12.已知数列{an}的各项均为正数,bn=nann∈N+,e为自然对数的底数.1求函数fx=1+x-ex的单调区间,并比较与e的大小;2计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;3令cn=a1a2…an,数列{an},{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证明TneSn.1解 fx的定义域为-∞,+∞,f′x=1-ex.当f′x0,即x0时,fx单调递增;当f′x0,即x0时,fx单调递减;故fx的单调递增区间为-∞,0,单调递减区间为0,+∞.当x0时,fxf0=0,即1+xex.令x=,得1+e,即e.
①2解 =1·=1+1=2;=·=2·2=2+12=32;=·=32·3=3+13=
43.由此推测=n+1n.
②下面用数学归纳法证明
②.ⅰ当n=1时,左边=右边=2,
②成立.ⅱ假设当n=kk≥1,k∈N+时,
②成立,即=k+1k.当n=k+1时,bk+1=k+1ak+1,由归纳假设可得=·=k+1kk+1=k+2k+
1.所以当n=k+1时,
②也成立.根据ⅰⅱ,可知
②对一切正整数n都成立.3证明 由cn的定义,
②,均值不等式推广,bn的定义及
①得Tn=c1+c2+c3+…+cn=a1+a1a2+a1a2a3+…+a1a2…an=+++…+≤+++…+=b1+b2+…+bn·=b1+b2+…+bn++…+=a1+a2+…+anea1+ea2+…+ean=eSn.即TneSn.。