还剩10页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第三章数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标
1.巩固复数的概念和几何意义.
2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义.1.复数的有关概念1复数的概念形如a+bia,b∈R的数叫做复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.2复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=da,b,c,d∈R.3共轭复数a+bi与c+di共轭⇔a=c且b+d=0a,b,c,d∈R.4复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.在复平面内x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数.5复数的模向量的长度叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=.2.复数的几何意义1复数z=a+bi复平面内的点Za,ba,b∈R.2复数z=a+bia,b∈R平面向量.3.复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R,则
①加法z1+z2=a+bi+c+di=a+c+b+di;
②减法z1-z2=a+bi-c+di=a-c+b-di;
③乘法z1z2=a+bic+di=ac-bd+ad+bci;
④除法===+ic+di≠0.2复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1+z2=z2+z1,z1+z2+z3=z1+z2+z3.4.共轭复数的性质1z·∈R.2=z.3任一实数的共轭复数仍是它本身;反之,若z=,则z是实数.4共轭复数对应的点关于实轴对称.1.复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小. × 2.原点是实轴与虚轴的交点. √ 3.方程x2+x+1=0没有解. × 类型一 复数的概念例1 已知复数z=a2-a-6+ia∈R,分别求出满足下列条件的实数a的值1z是实数;2z是虚数;3z是
0.解 由a2-a-6=0,解得a=-2或a=
3.由a2+2a-15=0,解得a=-5或a=
3.由a2-4≠0,解得a≠±
2.1由a2+2a-15=0且a2-4≠0,得a=-5或a=3,∴当a=-5或a=3时,z为实数.2由a2+2a-15≠0且a2-4≠0,得a≠-5且a≠3且a≠±2,∴当a≠-5且a≠3且a≠±2时,z是虚数.3由a2-a-6=0,且a2+2a-15=0,且a2-4≠0,得a=3,∴当a=3时,z=
0.引申探究 本例中条件不变,若z为纯虚数,是否存在这样的实数a,若存在,求出a,若不存在,说明理由.解 由a2-a-6=0,且a2+2a-15≠0,且a2-4≠0,得a无解,∴不存在实数a,使z为纯虚数.反思与感悟 1正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模的前提.2两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.跟踪训练1 复数z=log3x2-3x-3+ilog2x-3,当x为何实数时,1z∈R;2z为虚数.解 1因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0,所以解得x=4,所以当x=4时,z∈R.2因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0,所以解得x且x≠
4.所以当x且x≠4时,z为虚数.类型二 复数的四则运算例2 1计算+2012+;2已知z=1+i,求的模.解 1原式=+1006+=i+-i1006+0=-1+i.2===1-i,∴的模为.反思与感悟 1复数的除法运算是复数运算中的难点,如果遇到a+bi÷c+di的形式,首先应该写成分式的形式,然后再分母实数化.2虚数单位i的周期性
①i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1n∈N+.
②in+in+1+in+2+in+3=0n∈N+.跟踪训练2 计算+i5+4+
7.解 +i5+4+7=-i·5·[1+i2]2·1+i+2+i7=16-1+i--i=-+16-1i.类型三 复数问题实数化思想例3 已知复数z1=2,=i,并且|z|=2,|z-z1|=|z-z2|,求z.解 设z=a+bia,b∈R,∵z1=2,=i,∴z2=2i.∵|z|=2,则=
2.
①∵|z-z1|=|z-z2|,即|a-2+bi|=|a+b-2i|,∴=
②由
①②得或∴z=2+2i或z=-2-2i.反思与感悟 设出复数z的代数形式,利用复数的分类及运算,列出方程,求得复数的实部和虚部,这是求解复数的常用思路.跟踪训练3 已知z是复数,z-3i为实数,为纯虚数i为虚数单位.1求复数z;2求的模.解 1设z=a+bia,b∈R,∴z-3i=a+b-3i为实数,可得b=
3.又=为纯虚数,∴a=-1,即z=-1+3i.2====-2+i,∴==.类型四 复数的几何意义例4 设复数z满足|z|=1,求|z-3+4i|的最值.解 由复数的几何意义知,|z|=1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,1为半径的圆上,因而|z-3+4i|的几何意义是求此圆上的点到点C34的距离的最大值与最小值.如图,易知|z-3+4i|max=|AC|=|OC|+1=+1=6,|z-3+4i|min=|BC|=|OC|-1=
4.反思与感悟 复数和复平面内的点,以原点为起点的向量一一对应;复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则|z1-z2|表示复数z1,z2对应的两点Z1,Z2之间的距离.跟踪训练4 已知复平面内点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中θ∈0,π,设对应的复数为z.1求复数z;2若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.解 1由题意得z=z2-z1=-cos2θ-sin2θ+cos2θ-1i=-1-2sin2θ·i.2由1知,点P的坐标为-1,-2sin2θ.由点P在直线y=x上,得-2sin2θ=-,∴sin2θ=,又θ∈0,π,∴sinθ0,因此sinθ=,∴θ=或θ=.1.复数z=a∈R在复平面内对应的点在虚轴上,则a等于 A.2B.-1C.1D.-2答案 D解析 z===在复平面内对应的点在虚轴上,所以2+a=0,即a=-
2.2.已知fx=x3-1,设i是虚数单位,则复数的虚部是 A.-1B.1C.iD.0答案 B解析 fi=i3-1=-i-1,====-1+i,虚部是
1.3.已知2+ai,b+ia,b∈R是实系数一元二次方程x2+px+q=0的两根,则p,q的值为 A.p=-4,q=5B.p=4,q=5C.p=4,q=-5D.p=-4,q=-5答案 A解析 由条件知2+ai,b+i是共轭复数,则a=-1,b=2,即实系数一元二次方程x2+px+q=0的两个根是2±i,所以p=-[2+i+2-i]=-4,q=2+i2-i=
5.4.若|z-1|=2,则|z-3i-1|的最小值为________.答案 1解析 因为|z-1|=2,所以复数z在复平面内对应的点在以10为圆心,2为半径的圆上.|z-3i-1|表示复数z在复平面内对应的点到点13的距离,因此,距离的最小值为
1.5.设复数z和它的共轭复数满足4z+2=3+i,求复数z.解 设z=a+bia,b∈R.因为4z+2=3+i,所以2z+2z+2=3+i.又2z+2=2a+bi+2a-bi=4a,整体代入上式,得2z+4a=3+i.所以z=+i.根据复数相等的充要条件,得解得所以z=+i.1.对复数的概念的考查是考查复数的基础,要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.2.对复数四则运算的考查可能性较大,要加以重视,其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似;对于复数的除法运算,将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a+bia,b∈R的结构形式.3.对复数几何意义的考查.在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.求解复数,往往设出复数的代数形式,将复数问题实数化.
一、选择题1.复数z对应的点在第二象限,它的模为3,实部是-,则是 A.-+2iB.--2iC.+2iD.-2i答案 B解析 设复数z的虚部为b,则z=-+bi,b0,∵3=,∴b=2,∴z=-+2i,则z的共轭复数是--2i,故选B.2.复数+的虚部是 A.iB.C.-iD.-答案 B解析 +=+=-+i.故选B.3.若z=1+2i,则等于 A.1B.-1C.iD.-i答案 C解析 z=1+2i,则===i.4.若复数z=cos+isini是虚数单位,复数z2的实部、虚部分别为a,b,则下列结论正确的是 A.ab0B.a2+b2≠1C.=D.=答案 C解析 ∵z=cos+isin,∴z2=2=cos2-sin2+2cossini=cos+isin=+i,则a=,b=,则=,故选C.5.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则向量对应的复数是 A.-10+8iB.10-8iC.-8+10iD.8+-10i答案 A解析 向量对应的复数是5-4i,可得Z15,-4;向量对应的复数是-5+4i,可得Z2-54;向量对应的点是-108,即向量对应的复数是-10+8i.故选A.6.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为 A.1B.2C.D.3答案 D解析 ∵|z|=2,则复数z对应的点的轨迹是以圆心为原点,半径为2的圆,而|z-i|表示的是圆上一点到点01的距离,∴其最大值为圆上的点0,-2到点01的距离,最大的距离为
3.7.复数z满足z-32-i=5i为虚数单位,则z的共轭复数为 A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 D解析 由z-32-i=5,得z-3==2+i,∴z=5+i,∴=5-i.
二、填空题8.若复数z满足1+iz=2,则z的实部为__________________________________________.答案 1解析 因为1+iz=2,所以z==1-i,所以其实部为
1.9.若复数+bb∈R所对应的点在直线x+y=1上,则b的值为________.答案 0解析 复数+b=+b=+b=b+i.∵所对应的点b1在直线x+y=1上,∴b+1=1,解得b=
0.10.如图,在复平面内,点A对应的复数为z1,若=ii为虚数单位,则z2=________.答案 -2-i解析 由图可知,z1=-1+2i,∴由=i,得z2=z1i=-1+2ii=-2-i.11.使z+∈R,且|z-3|=3成立的虚数z=________.答案 ±i解析 设z=a+bia,b∈R且b≠0,则z+=a+bi+=+i.由z+∈R,得b-=0,又b≠0,故a2+b2=
9.
①又由|z-3|=3,得=
3.
②由
①②,得即z=+i或z=-i.
三、解答题12.已知复数z1=1+bi2+i,z2=3+1-aia,b∈R,i为虚数单位.1若z1=z2,求实数a,b的值;2若b=1,a=0,求.解 1复数z1=1+bi2+i=2-b+2b+1i,z2=3+1-ai,由z1=z2,可得解得所以实数a=2,b=-
1.2若b=1,a=0,则z1=1+3i,z2=3+i.===
2.13.若fz=2z+-3i,f+i=6-3i,求复数z.解 fz=2z+-3i,∴f+i=2+i++i-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.又f+i=6-3i,∴2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i.设z=x+yix,y∈R,则=x-yi.∴2x-yi+x+yi=3x-yi=6-i,∴∴∴z=2+i.
四、探究与拓展14.若z=-,则z2012+z102=________.答案 -1+i解析 z2012+z102=z4503+z251=-1503+-i51=-1-i48+3=-1+i.15.是否存在复数z,使其满足·z+2i=3+ai?如果存在,求实数a的取值范围;如果不存在,请说明理由.解 设z=x+yix,y∈R,则原条件等式可化为x2+y2+2ix-yi=3+ai.由复数相等的充要条件,得消去x,得y2+2y+-3=
0.所以当Δ=4-4=16-a2≥0,即-4≤a≤4时,复数z存在.故存在满足条件的复数z,且实数a的取值范围为[-44].。