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第三章数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标
1.巩固复数的概念和几何意义.
2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义．1．复数的有关概念1复数的概念形如a＋bia，b∈R的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．2复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝da，b，c，d∈R．3共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＋d＝0a，b，c，d∈R．4复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．5复数的模向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义1复数z＝a＋bi复平面内的点Za，ba，b∈R．2复数z＝a＋bia，b∈R平面向量.3．复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋dia，b，c，d∈R，则
①加法z1＋z2＝a＋bi＋c＋di＝a＋c＋b＋di；
②减法z1－z2＝a＋bi－c＋di＝a－c＋b－di；
③乘法z1z2＝a＋bic＋di＝ac－bd＋ad＋bci；
④除法＝＝＝＋ic＋di≠0．2复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，z1＋z2＋z3＝z1＋z2＋z3．4．共轭复数的性质1z·∈R.2＝z.3任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z＝，则z是实数．4共轭复数对应的点关于实轴对称．1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． × 2．原点是实轴与虚轴的交点． √ 3．方程x2＋x＋1＝0没有解． × 类型一 复数的概念例1 已知复数z＝a2－a－6＋ia∈R，分别求出满足下列条件的实数a的值1z是实数；2z是虚数；3z是
0.解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝
3.由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝
3.由a2－4≠0，解得a≠±
2.1由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，得a＝－5或a＝3，∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．2由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，得a≠－5且a≠3且a≠±2，∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．3由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，得a＝3，∴当a＝3时，z＝
0.引申探究 本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由．解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，得a无解，∴不存在实数a，使z为纯虚数．反思与感悟 1正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模的前提．2两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 复数z＝log3x2－3x－3＋ilog2x－3，当x为何实数时，1z∈R；2z为虚数．解 1因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.2因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以解得x且x≠
4.所以当x且x≠4时，z为虚数．类型二 复数的四则运算例2 1计算＋2012＋；2已知z＝1＋i，求的模．解 1原式＝＋1006＋＝i＋－i1006＋0＝－1＋i.2＝＝＝1－i，∴的模为.反思与感悟 1复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到a＋bi÷c＋di的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．2虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1n∈N＋．
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0n∈N＋．跟踪训练2 计算＋i5＋4＋
7.解 ＋i5＋4＋7＝－i·5·[1＋i2]2·1＋i＋2＋i7＝16－1＋i－－i＝－＋16－1i.类型三 复数问题实数化思想例3 已知复数z1＝2，＝i，并且|z|＝2，|z－z1|＝|z－z2|，求z.解 设z＝a＋bia，b∈R，∵z1＝2，＝i，∴z2＝2i.∵|z|＝2，则＝
2.
①∵|z－z1|＝|z－z2|，即|a－2＋bi|＝|a＋b－2i|，∴＝
②由
①②得或∴z＝2＋2i或z＝－2－2i.反思与感悟 设出复数z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路．跟踪训练3 已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数i为虚数单位．1求复数z；2求的模．解 1设z＝a＋bia，b∈R，∴z－3i＝a＋b－3i为实数，可得b＝
3.又＝为纯虚数，∴a＝－1，即z＝－1＋3i.2＝＝＝＝－2＋i，∴＝＝.类型四 复数的几何意义例4 设复数z满足|z|＝1，求|z－3＋4i|的最值．解 由复数的几何意义知，|z|＝1表示复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z－3＋4i|的几何意义是求此圆上的点到点C34的距离的最大值与最小值．如图，易知|z－3＋4i|max＝|AC|＝|OC|＋1＝＋1＝6，|z－3＋4i|min＝|BC|＝|OC|－1＝
4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．跟踪训练4 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈0，π，设对应的复数为z.1求复数z；2若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．解 1由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋cos2θ－1i＝－1－2sin2θ·i.2由1知，点P的坐标为－1，－2sin2θ．由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，∴sin2θ＝，又θ∈0，π，∴sinθ0，因此sinθ＝，∴θ＝或θ＝.1．复数z＝a∈R在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于 A．2B．－1C．1D．－2答案 D解析 z＝＝＝在复平面内对应的点在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－
2.2．已知fx＝x3－1，设i是虚数单位，则复数的虚部是 A．－1B．1C．iD．0答案 B解析 fi＝i3－1＝－i－1，＝＝＝＝－1＋i，虚部是
1.3．已知2＋ai，b＋ia，b∈R是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为 A．p＝－4，q＝5B．p＝4，q＝5C．p＝4，q＝－5D．p＝－4，q＝－5答案 A解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[2＋i＋2－i]＝－4，q＝2＋i2－i＝
5.4．若|z－1|＝2，则|z－3i－1|的最小值为________．答案 1解析 因为|z－1|＝2，所以复数z在复平面内对应的点在以10为圆心，2为半径的圆上．|z－3i－1|表示复数z在复平面内对应的点到点13的距离，因此，距离的最小值为
1.5．设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.解 设z＝a＋bia，b∈R．因为4z＋2＝3＋i，所以2z＋2z＋2＝3＋i.又2z＋2＝2a＋bi＋2a－bi＝4a，整体代入上式，得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋i.根据复数相等的充要条件，得解得所以z＝＋i.1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bia，b∈R的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.
一、选择题1．复数z对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则是 A．－＋2iB．－－2iC.＋2iD.－2i答案 B解析 设复数z的虚部为b，则z＝－＋bi，b0，∵3＝，∴b＝2，∴z＝－＋2i，则z的共轭复数是－－2i，故选B.2．复数＋的虚部是 A.iB.C．－iD．－答案 B解析 ＋＝＋＝－＋i.故选B.3．若z＝1＋2i，则等于 A．1B．－1C．iD．－i答案 C解析 z＝1＋2i，则＝＝＝i.4．若复数z＝cos＋isini是虚数单位，复数z2的实部、虚部分别为a，b，则下列结论正确的是 A．ab0B．a2＋b2≠1C.＝D.＝答案 C解析 ∵z＝cos＋isin，∴z2＝2＝cos2－sin2＋2cossini＝cos＋isin＝＋i，则a＝，b＝，则＝，故选C.5．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则向量对应的复数是 A．－10＋8iB．10－8iC．－8＋10iD．8＋－10i答案 A解析 向量对应的复数是5－4i，可得Z15，－4；向量对应的复数是－5＋4i，可得Z2－54；向量对应的点是－108，即向量对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为 A．1B．2C.D．3答案 D解析 ∵|z|＝2，则复数z对应的点的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z－i|表示的是圆上一点到点01的距离，∴其最大值为圆上的点0，－2到点01的距离，最大的距离为
3.7．复数z满足z－32－i＝5i为虚数单位，则z的共轭复数为 A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 D解析 由z－32－i＝5，得z－3＝＝2＋i，∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题8．若复数z满足1＋iz＝2，则z的实部为__________________________________________．答案 1解析 因为1＋iz＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为
1.9．若复数＋bb∈R所对应的点在直线x＋y＝1上，则b的值为________．答案 0解析 复数＋b＝＋b＝＋b＝b＋i.∵所对应的点b1在直线x＋y＝1上，∴b＋1＝1，解得b＝
0.10．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝ii为虚数单位，则z2＝________.答案 －2－i解析 由图可知，z1＝－1＋2i，∴由＝i，得z2＝z1i＝－1＋2ii＝－2－i.11．使z＋∈R，且|z－3|＝3成立的虚数z＝________.答案 ±i解析 设z＝a＋bia，b∈R且b≠0，则z＋＝a＋bi＋＝＋i.由z＋∈R，得b－＝0，又b≠0，故a2＋b2＝
9.
①又由|z－3|＝3，得＝
3.
②由
①②，得即z＝＋i或z＝－i.
三、解答题12．已知复数z1＝1＋bi2＋i，z2＝3＋1－aia，b∈R，i为虚数单位．1若z1＝z2，求实数a，b的值；2若b＝1，a＝0，求.解 1复数z1＝1＋bi2＋i＝2－b＋2b＋1i，z2＝3＋1－ai，由z1＝z2，可得解得所以实数a＝2，b＝－
1.2若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.＝＝＝
2.13．若fz＝2z＋－3i，f＋i＝6－3i，求复数z.解 fz＝2z＋－3i，∴f＋i＝2＋i＋＋i－3i＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i.又f＋i＝6－3i，∴2＋z－2i＝6－3i，即2＋z＝6－i.设z＝x＋yix，y∈R，则＝x－yi.∴2x－yi＋x＋yi＝3x－yi＝6－i，∴∴∴z＝2＋i.
四、探究与拓展14．若z＝－，则z2012＋z102＝________.答案 －1＋i解析 z2012＋z102＝z4503＋z251＝－1503＋－i51＝－1－i48＋3＝－1＋i.15．是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z＝x＋yix，y∈R，则原条件等式可化为x2＋y2＋2ix－yi＝3＋ai.由复数相等的充要条件，得消去x，得y2＋2y＋－3＝
0.所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，即－4≤a≤4时，复数z存在．故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为[－44]．。
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