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第三章数系的扩充与复数的引入章末检测试卷三时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.i是虚数单位,若集合S={-101},则 A.i∈SB.i2∈SC.i3∈SD.∈S答案 B2.设z1,z2为复数,则下列结论中正确的是 A.若z+z>0,则z>-zB.|z1-z2|=C.z+z=0⇔z1=z2=0D.z1-是纯虚数或零答案 D解析 举例说明若z1=4+i,z2=2-2i,则z=15+8i,z=-8i,z+z>0,但z与-z都是虚数,不能比较大小,故A错;因为|z1-z2|2不一定等于z1-z22,故|z1-z2|与不一定相等,B错;若z1=2+i,z2=1-2i,则z=3+4i,z=-3-4i,z+z=0,但z1=z2=0不成立,故C错;设z1=a+bia,b∈R,则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时是零,当b≠0时,是纯虚数.3.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是 A.AB.BC.CD.D答案 B解析 由共轭复数的定义可得.4.复数等于 A.iB.-iC.2-iD.-2+i答案 A解析 ====i.
5.是z的共轭复数.若z+=2,z-i=2i是虚数单位,则z等于 A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案 D解析 设z=a+bia,b∈R,则z+=2a=2,得a=
1.z-i=2bi2=2,得b=-1,∴z=1-i.6.设复数z满足=i,则|1+z|的值为 A.0B.1C.D.2答案 C解析 由=i,得z==-i,∴|1+z|=|1-i|=.7.已知fn=in-i-nn∈N+,则集合{fn}的元素个数是 A.2B.3C.4D.无数个答案 B解析 fn有三个值02i,-2i.8.已知关于复数z=的四个命题p1|z|=2,p2z2=2i,p3z的共轭复数为1+i,p4z在复平面内对应的点位于第四象限.其中的真命题为 A.p2,p3B.p1,p4C.p2,p4D.p3,p4答案 D解析 z===1-i,p1|z|==.p2z2=1-i2=-2i.p3z的共轭复数为1+i,真命题.p4z在复平面内对应点的坐标为1,-1,位于第四象限,真命题.故选D.9.已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A01,B-13,则等于 A.3+iB.3-iC.-1+3iD.-3-i答案 A解析 z1=i,z2=-1+3i,==3+i.10.已知是复数z的共轭复数,z++z·=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹是 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案 A解析 设z=x+yix,y∈R,则z+=2x,z·=x2+y2,所以由z++z·=0,得x2+y2+2x=0,即x+12+y2=1,故选A.11.已知a为实数,若复数z=a2-1+a+1i为纯虚数,则的值为 A.1B.0C.1+iD.1-i考点 题点 答案 D解析 复数z=a2-1+a+1i为纯虚数,可得a=1,===1-i.12.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解析 设复数z=a+bia,b∈R,由题意可得定义运算=ad-bc,所以=z1+i-1+2i1-i=0,代入整理可得a-b+a+bi=3+i,解得a=2,b=-1,所以z=2-i,所以=2+i,所以复数z的共轭复数对应的点在第一象限.故选A.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.在复平面内,若z=m21+i-m4+i-6i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是________.答案 34解析 ∵z=m2-4m+m2-m-6i所对应的点在第二象限,∴解得3m
4.14.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.答案 解析 ====+i,∵为纯虚数,∴∴a=.15.已知复数z1=a+bi,z2=1+aia,b∈R,若|z1|z2,则b的取值范围为________.答案 -11解析 由题意知,a=0,故z1=bi,z2=
1.∵|z1|z2,∴|bi|1,∴-1b
1.16.下列说法中正确的是________.填序号
①若2x-1+i=y-3-yi,其中x∈R,y∈∁CR,则必有
②2+i1+i;
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数;
④若一个数是实数,则其虚部不存在;
⑤若z=,则z3+1对应的点在复平面内的第一象限.答案
⑤解析 由y∈∁CR知y是虚数,则不成立,故
①错误;两个不全为实数的复数不能比较大小,故
②错误;原点也在虚轴上,表示实数0,故
③错误;实数的虚部为0,故
④错误;
⑤中z3+1=+1=i+1,对应点在第一象限,故
⑤正确.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分设复数z=lgm2-2m-2+m2+3m+2i,当m为何值时1z是实数;2z是纯虚数.解 1要使复数z为实数,需满足解得m=-2或m=-
1.即当m=-2或m=-1时,z是实数.2要使复数z为纯虚数,需满足解得m=
3.即当m=3时,z是纯虚数.18.12分已知复数z1=2-3i,z2=.求1z1z2;
2.解 z2=====1-3i,则1z1z2=2-3i1-3i=-7-9i.2====+i.19.12分已知复数z满足|z|=1+3i-z.1求z并求其在复平面上对应的点的坐标;2求的共轭复数.解 1设z=x+yix,y∈R,由已知,得=1+3i-x+yi=1-x+3-yi.由得所以z=-4+3i.其在复平面上对应的点的坐标为-43.2由1知z=-4+3i,所以=====3+4i,共轭复数为3-4i.20.12分已知复数z满足|z|=,z2的虚部是
2.1求复数z;2设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.解 1设z=a+bia,b∈R,则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.2当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A11,B02,C1,-1,所以S△ABC=
1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A-1,-1,B02,C-1,-3,所以S△ABC=
1.21.12分已知复数z=,ω=z+aia∈R,当≤时,求a的取值范围.解 因为z===1-i,所以|z|=.又≤,所以|ω|≤
2.而ω=z+ai=1-i+ai=1+a-1ia∈R,则≤2⇒a-12≤3,所以-≤a-1≤,1-≤a≤1+.22.12分求同时满足下列条件的所有的复数z.1z+∈R,且1z+≤6;2z的实部和虚部都是整数.解 设z=x+yix,y∈Z,则z+=x+yi.因为z+∈R,所以y=
0.所以y=0或x2+y2=
10.又1z+≤6,所以1x≤
6.
①当y=0时,可以化为1x+≤6,当x0时,x+0,当x0时,x+≥26,故当y=0时,无解.
②当x2+y2=10时,可化为12x≤6,即x≤
3.因为x,y∈Z,故可得z=1+3i或z=1-3i或z=3+i或z=3-i.。