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全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角如图
①.考点2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α如图
②.考点3 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角,如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向,东北方向等.1北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向如图
③;2北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;3南偏西等其他方向角类似.考点4 坡角与坡度1.坡角坡面与水平面所成的二面角的度数如图
④,角θ为坡角.2.坡度坡面的铅直高度与水平长度之比如图
④,i为坡度.坡度又称为坡比.[必会结论]1.仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.2.“方位角”与“方向角”的区别方位角大小的范围是[02π,方向角大小的范围是.[考点自测]1.判断下列结论的正误.正确的打“√”,错误的打“×”1方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系. 2从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°. 3若点P在Q的北偏东44°,则Q在P的东偏北46°. 4如果在测量中,某渠道斜坡坡比为,设α为坡角,那么cosα=. 答案 1√ 2× 3× 4×2.[课本改编]两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案 B解析 由题可知∠ABC=50°,A,B,C位置如图.故选B.
3.[xx·沈阳模拟]如图,设A,B两点在河的两岸,测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为 A.50mB.50mC.25mD.m答案 A解析 由正弦定理得AB===50m.
4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB等于 A.B.C.aD.答案 B解析 因为∠D=30°,∠ACB=60°,所以∠CAD=30°,故CA=CD=a.所以AB=asin60°=.5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是________m.答案 50解析 设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得h2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即h-50h+100=0,即h=50,故水柱的高度是50m.板块二 典例探究·考向突破考向 测量距离问题例 1 如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在岸边定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB的长.解 在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,∠ADC=60°,所以AC=a.
①在△BCD中,由正弦定理可得BC==a.
②在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为∠ACB=30°,所以利用余弦定理可以求得A,B两点之间的距离为AB==a.触类旁通求距离问题的注意事项1选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.2确定用正弦定理还是余弦定理,如都可用,就选便于计算的定理.【变式训练1】 [xx·四川高考]如图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m.用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据sin67°≈
0.92,cos37°≈
0.39,sin37°≈
0.60,cos37°≈
0.80,≈
1.73答案 60解析 根据已知的图形可得AB=.在△ABC中,∠BCA=30°,∠BAC=37°,由正弦定理,得=.所以BC≈2××
0.60=60m.考向 测量高度问题例 2 [xx·湖北高考]如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.答案 100解析 如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由=,得BC===300m.在Rt△BCD中,CD=BC·tan∠CBD=300×=100m.触类旁通处理高度问题的注意事项1在处理有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是一个关键.2在实际问题中,可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.3注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.【变式训练2】 某人在C点测得塔底O在南偏西80°,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D处,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为 A.15米B.5米C.10米D.12米答案 C解析 如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h.在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,OD2=OC2+CD2-2OC×CD×cos∠OCD,即h2=h2+102-2h×10×cos120°,所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5舍去,故选C.考向 测量角度问题例 3 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12nmile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14nmile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解 如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.根据余弦定理得14x2=122+10x2-240xcos120°,解得x=
2.故AC=28,BC=
20.根据正弦定理,得=,解得sinα==.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.触类旁通解决测量角度问题的注意事项1首先应明确方位角或方向角的含义.2分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.3将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.【变式训练3】 如图,位于A处的信息中心获悉在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cosθ的值.解 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800⇒BC=
20.由正弦定理,得=⇒sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos∠ACB+30°=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.核心规律利用解三角形解决实际问题时,1要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型;2要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;3三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义.满分策略
1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.
2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列5——函数思想在解三角形中的应用[xx·永州模拟]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.1若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?2假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案即确定航行方向和航行速度的大小,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.解题视点 1利用三角形中的余弦定理,将航行距离表示为时间t的函数,将原题转化为函数最值问题;2注意t的取值范围.解 1设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s===.故当t=时,smin=10,v==30海里/小时.即小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.2设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos90°-30°,故v2=900-+.∵0v≤30,∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.又t=时,v=30,故v=30时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=
20.故可设计航行方案如下航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/小时.答题启示 解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题,这需要建立有关量的函数关系式,通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用,经常与正弦定理、余弦定理相结合,此类问题综合性较强,能力要求较高,要有一定的分析问题、解决问题的能力.跟踪训练[xx·郑州模拟]如图所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50km/h的速度匀速行驶图中的箭头方向为汽车的行驶方向.汽车开动的同时,在距汽车出发点O点的距离为5km,距离公路线的垂直距离为3km的M点,有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,并求追上汽车司机时他驾驶摩托车行驶了多少公里?解 作MI垂直公路所在的直线于点I,则MI=3∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI=.设骑摩托车的人的速度为vkm/h,追上汽车的时间为th,由余弦定理得vt2=52+50t2-2×5×50t×,v2=-+2500=252+900≥900,∴当t=时,v的最小值为30km/h,其行驶距离为vt==km.故骑摩托车的人至少以30km/h的速度行驶才能实现他的愿望,他驾驶摩托车行驶了km.板块四 模拟演练·提能增分[A级 基础达标]1.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 A.10kmB.10kmC.10kmD.10km答案 D解析 如图所示,由余弦定理可得AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700,∴AC=10km.2.[xx·武汉模拟]海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10nmile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC= A.10nmileB.nmileC.5nmileD.5nmile答案 D解析 由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=
5.
3.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为 A.akmB.akmC.akmD.2akm答案 B解析 在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2a2cos120°=3a2,故|AB|=a.4.[xx·临沂质检]在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°,则塔高为 A.mB.mC.mD.m答案 A解析 如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,又AB=200,∴AC=.在△ACD中,由正弦定理,得=,即DC==m.
5.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=
0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为 A.8km/hB.6km/hC.2km/hD.10km/h答案 B解析 设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ==,从而cosθ=,所以由余弦定理得2=2+12-2××2×1×,解得v=
6.
6.如图,某工程中要将一长为100m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长________m.答案 100解析 设坡底需加长xm,由正弦定理得=,解得x=
100.
7.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度单位km AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为________km.答案 7解析 ∵82+52-2×8×5×cosπ-D=32+52-2×3×5×cosD,∴cosD=-.∴AC==7km.
8.[xx·河南调研]如图,在山底A点处测得山顶仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为________米.答案 1000解析 由题图知∠BAS=45°-30°=15°,∠ABS=45°-90°-∠DSB=30°,∴∠ASB=135°,在△ABS中,由正弦定理可得=,∴AB=1000,∴BC==1000米.
9.[xx·山西监测]如图,点A,B,C在同一水平面上,AC=4,CB=
6.现要在点C处搭建一个观测站CD,点D在顶端.1原计划CD为铅垂线方向,α=45°,求CD的长;2搭建完成后,发现CD与铅垂线方向有偏差,并测得β=30°,α=53°,求CD
2.结果精确到1本题参考数据sin97°≈1,cos53°≈
0.6解 1∵CD为铅垂线方向,点D在顶端,∴CD⊥AB.又∵α=45°,∴CD=AC=
4.2在△ABD中,α+β=53°+30°=83°,AB=AC+CB=4+6=10,∴∠ADB=180°-83°=97°,∴由=得AD===≈
5.在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD·ACcosα=52+42-2×5×4×cos53°≈
17.
10.如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处-1海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.问缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获在D点走私船,则CD=10t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=-12+22-2-1×2×cos120°=6,解得BC=.又∵=,∴sin∠ABC===,∴∠ABC=45°,故B点在C点的正东方向上,∴∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理,得=,∴sin∠BCD===.∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,∴∠D=30°,∴BD=BC,即10t=,解得t=小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.[B级 知能提升]1.[xx·天津模拟]一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里答案 A解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10海里.
2.某观察站B在A城的南偏西20°的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去,行驶了15min后到达D处,此时测得B与D之间的距离为8km,则此人到达A城还需要 A.40minB.42minC.48minD.60min答案 C解析 由题意可知,CD=40×=
10.cos∠BDC==-,∴cos∠ADB=cosπ-∠BDC=,∴sin∠ABD=sin[π-∠ADB+∠BAD]=.在△ABD中,由正弦定理得=,∴=,∴AD=32,∴所需时间t==
0.8h,∴此人还需要
0.8h即48min到达A城.
3.[xx·全国卷Ⅰ]如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=________m.答案 150解析 在Rt△ABC中,AC=100m,在△MAC中,由正弦定理得=,解得MA=100m,在Rt△MNA中,MN=MA·sin60°=150m.即山高MN为150m.
4.如图所示,A,C两岛之间有一片暗礁.一艘小船于某日上午8时从A岛出发,以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行,下午1时到达B处.然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行,下午4时到达C岛.1求A,C两岛之间的距离;2求∠BAC的正弦值.解 1在△ABC中,由已知,得AB=10×5=50海里,BC=10×3=30海里,∠ABC=180°-75°+15°=120°,由余弦定理,得AC2=502+302-2×50×30cos120°=4900,所以AC=70海里.故A,C两岛之间的距离是70海里.2在△ABC中,由正弦定理,得=,sin∠BAC===.故∠BAC的正弦值是.5.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.解 如图所示,根据题意可知AC=10,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为th,并在B处与渔轮相遇,则AB=21t,BC=9t,在△ABC中,根据余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°,所以212t2=102+81t2+2×10×9t×,即360t2-90t-100=0,解得t=或t=-舍去.所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB=14,BC=
6.在△ABC中,根据正弦定理,得=,所以sin∠CAB==,即∠CAB≈
21.8°或∠CAB≈
158.2°舍去,即舰艇航行的方位角为45°+
21.8°=
66.8°.所以舰艇以
66.8°的方位角航行,需h才能靠近渔轮.。