还剩9页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
全国版2019版高考数学一轮复习第6章不等式第4讲基本不等式学案板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 重要不等式a2+b2≥2aba,b∈R当且仅当a=b时等号成立.考点2 基本不等式≤1.基本不等式成立的条件a0,b0;2.等号成立的条件当且仅当a=b时等号成立;3.其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.考点3 利用基本不等式求最大、最小值问题1.如果x,y∈0,+∞,且xy=P定值,那么当x=y时,x+y有最小值
2.简记“积定和最小”2.如果x,y∈0,+∞,且x+y=S定值,那么当x=y时,xy有最大值.简记“和定积最大”[必会结论]常用的几个重要不等式1a+b≥2a0,b0;2ab≤2a,b∈R;32≤a,b∈R;4+≥2a,b同号.以上不等式等号成立的条件均为a=b.[考点自测]1.判断下列结论的正误.正确的打“√”,错误的打“×”1函数y=x+的最小值是
2. 2函数fx=cosx+,x∈的最小值等于
4. 3x0,y0是+≥2的充要条件. 4若a0,则a3+的最小值为
2. 5a2+b2+c2≥ab+bc+caa,b,c∈R. 答案 1× 2× 3× 4× 5√2.[课本改编]已知a,b∈R+,且a+b=1,则ab的最大值为 A.1B.C.D.答案 B解析 ∵a,b∈R+,∴1=a+b≥2,∴ab≤,当且仅当a=b=时等号成立.3.[课本改编]已知a0,b0,a+b=2,则y=+的最小值是 A.B.4C.D.5答案 C解析 y=a+b=≥,故选C.4.[xx·苏州模拟]若0≤x≤6,则fx=的最大值为 A.B.4C.D.答案 B解析 ∵0≤x≤6,∴8-x0,∴fx=≤=4,当且仅当x=8-x,即x=4时,等号成立.故fx的最大值为
4.5.[课本改编]若fx=x+x2在x=n处取得最小值,则n= A.B.3C.D.4答案 B解析 由fx=x+=x-2++2≥4,当且仅当x-2=0,即x=3时,取得等号.故选B.6.[xx·上海模拟]若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.答案 2解析 ∵x2+2y2≥2=2,当且仅当x=y时取“=”,∴x2+2y2的最小值为
2.板块二 典例探究·考向突破考向 利用基本不等式求最值例 1 [xx·山东高考]若直线+=1a0,b0过点12,则2a+b的最小值为________.答案 8解析 ∵直线+=1a0,b0过点12,∴+=1,∴2a+b=2a+b=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=2,b=4时,等号成立.故2a+b的最小值为
8. 本例条件不变,求ab的最小值.解 ∵1=+≥2,当=,即a=2,b=4时,ab≥8,∴ab的最小值为
8. 若4a+2b=1,求2a+b的最大值.解 ∵4a+2b≥2=2,∴2≤1,∴2a+b≤-2,∴2a+b的最大值为-
2. 若log2a+log2b=1,求2a+b的最小值.解 ∵log2ab=1,∴ab=2,∴2a+b≥2=4,当a=1,b=2时,2a+b的最小值为
4.触类旁通利用基本不等式求最值问题的解题策略1利用基本均值不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”.2在利用基本均值不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本均值不等式.【变式训练1】 1已知0x1,则x3-3x取得最大值时x的值为 A.B.C.D.答案 C解析 ∵0x1,∴x·3-3x=·3x·3-3x≤2=,当3x=3-3x,即x=时,x3-3x取得最大值.选C.2设x0,则函数y=x+-的最小值为________.答案 0解析 y=x+-=+-2≥2-2=0,当且仅当x+=,即x=时等号成立.所以函数的最小值为
0.考向 条件最值问题例 2 [xx·大同检测]若正数a,b满足ab=a+b+3,求1ab的取值范围;2a+b的取值范围.解 1∵ab=a+b+3≥2+3,令t=0,∴t2-2t-3≥0,∴t-3t+1≥
0.∴t≥3即≥3,∴ab≥9,当且仅当a=b=3时取等号.2∵ab=a+b+3,∴a+b+3≤
2.令t=a+b0,∴t2-4t-12≥0,∴t-6t+2≥
0.∴t≥6即a+b≥6,当且仅当a=b=3时取等号.触类旁通求条件最值注意的问题1要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系,并能灵活进行转化;2常用的技巧有“1”的代换,配凑法,放缩法,换元法.【变式训练2】 1[xx·珠海模拟]已知x0,y0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 A.2B.4C.6D.8答案 C解析 解法一由已知得xy=9-x+3y,即3xy=27-3x+3y≤2,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,令x+3y=t,则t0,且t2+12t-108≥0,得t≥
6.即x+3y≥
6.解法二∵x+3y=9-xy≥2,∴2+2·-9≤0,∴+3·-≤0,∴0xy≤3,∴x+3y=9-xy≥
6.2已知实数x,y满足x2+y2-xy=1,则x+y的最大值为________.答案 2解析 因为x2+y2-xy=1,所以x2+y2=1+xy.所以x+y2=1+3xy≤1+3×2,即x+y2≤4,解得-2≤x+y≤
2.当且仅当x=y=1时等号成立,所以x+y的最大值为
2.考向 利用基本不等式解决实际问题例 3 [xx·湖南模拟]某项研究表明在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F单位时间内经过测量点的车辆数,单位辆/小时与车流速度v假设车辆以相同速度v行驶,单位米/秒、平均车长l单位米的值有关,其公式为F=.1如果不限定车型,l=
6.05,则最大车流量为_______辆/小时;2如果限定车型,l=5,则最大车流量比1中的最大车流量增加________辆/小时.答案 11900 2100解析 1当l=
6.05时,F=,∴F==≤=1900,当且仅当v=,即v=11时取“=”.∴最大车流量为1900辆/小时.2当l=5时,F==,∴F≤=2000,当且仅当v=,即v=10时取“=”.∴最大车流量比1中的最大车流量增加2000-1900=100辆/小时.触类旁通有关函数最值的实际问题的解题技巧1根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.2设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.3解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.4在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.【变式训练3】 某厂家拟在xx年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量即该厂的年产量x万件与年促销费用m万元m≥0满足x=3-k为常数,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知xx年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的
1.5倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金.1将xx年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;2该厂家xx年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?解 1由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-,每件产品的销售价格为
1.5×元,∴xx年的利润y=
1.5x×-8-16x-m=4+8x-m=4+8-m=-+29m≥0.2∵m≥0时,+m+1≥2=8,∴y≤-8+29=21,当且仅当=m+1⇒m=3万元时,ymax=21万元.故该厂家xx年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元.核心规律1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数式的大小或证明不等式.2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等.满分策略1.在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.2.注意基本不等式成立的条件是a0,b0,若a0,b0,应先转化为-a0,-b0,再运用基本不等式求解.3.“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题错误.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列8——连续应用基本不等式时切记等号成立的条件[xx·天津高考]若a,b∈R,ab0,则的最小值为________.错因分析 两次使用基本不等式时,忽视等号的一致性易出错.解析 ∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2当且仅当a2=2b2时“=”成立,∴≥=4ab+,由于ab0,∴4ab+≥2=4,故当且仅当时,的最小值为
4.答案 4答题启示 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件连续使用基本不等式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次以上使用基本不等式,若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.跟踪训练已知ab0,求a2+的最小值.解 ∵ab0,∴a-b
0.∴ba-b≤2=.∴a2+≥a2+≥2=
16.当a2=且b=a-b,即a=2,b=时等号成立.∴a2+的最小值为
16.板块四 模拟演练·提能增分[A级 基础达标]1.[xx·浙江模拟]已知x0,y0,则“xy=1”是“x+y≥2”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若xy=1,由基本不等式,知x+y≥2=2;反之,取x=3,y=1,则满足x+y≥2,但xy=3≠1,所以“xy=1”是“x+y≥2”的充分不必要条件.故选A.2.当x0时,函数fx=有 A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2答案 B解析 ∵x0,∴fx=≤
1.故选B.3.[xx·湖南高考]若实数a,b满足+=,则ab的最小值为 A.B.2C.2D.4答案 C解析 由=+≥2,得ab≥2,当且仅当=时取“=”.选C.4.[xx·人大附中模拟]-6≤a≤3的最大值为 A.9B.C.3D.答案 B解析 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥
0.由基本不等式,可知≤=,当且仅当a=-时等号成立.5.[xx·秦皇岛模拟]函数y=x1的最小值是 A.2+2B.2-2C.2D.2答案 A解析 ∵x1,∴x-10,∴y===x+1+=x-1++2≥2+2当且仅当x=1+时取“=”.选A.6.设x0,y0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是 A.40B.10C.4D.2答案 D解析 ∵x+4y=40,且x0,y0,∴x+4y≥2=4当且仅当x=4y时取“=”,∴4≤
40.∴xy≤
100.∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=
2.∴lgx+lgy的最大值为
2.7.[xx·山西模拟]已知不等式x+y≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 A.2B.4C.6D.8答案 B解析 x+y=1+a·++a≥1+a+2=+12,当且仅当a·=,即ax2=y2时“=”成立.∴x+y的最小值为+12≥
9.∴a≥
4.8.[xx·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.答案 30解析 一年的总运费为6×=万元.一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的和为万元.因为+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时取得等号,所以当x=30时,一年的总运费与总存储费用之和最小.9.函数y=2x+x1的最小值为________.答案 2+2解析 因为y=2x+x1,所以y=2x+=2x-1++2≥2+2=2+
2.当且仅当x=1+时取等号,故函数y=2x+x1的最小值为2+
2.10.[xx·正定模拟]若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是________.答案 5解析 由x+3y=5xy,可得+=1,所以3x+4y=3x+4y=+++≥+2=+=5,当且仅当x=1,y=时取等号,故3x+4y的最小值是
5.[B级 知能提升]1.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+m2-3m有解,则实数m的取值范围是 A.-14B.-∞,-1∪4,+∞C.-41D.-∞,0∪3,+∞答案 B解析 ∵x0,y0,∴x+==2++≥4,∴min=4,∴m2-3m4,解得m-1或m
4.选B.2.设a0,b1,若a+b=2,则+的最小值为 A.3+2 B.6C.4D.2答案 A解析 由题可知a+b=2,a+b-1=1,∴+=a+b-1=2+++1≥3+2,当且仅当=,即a=2-,b=时等号成立.故选A.3.[xx·湖北八校联考]已知正数a,b满足2a2+b2=3,则a的最大值为________.答案 解析 a=×a≤×2a2+b2+1=×3+1=,当且仅当a=,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故a的最大值为.4.[xx·郑州模拟]若a0,b0,且+=.1求a3+b3的最小值;2是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解 1因为a0,b0,且+=,所以=+≥2,所以ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.因为a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,所以a3+b3的最小值为
4.2由1可知,2a+3b≥2=2≥46,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.已知lg3x+lgy=lgx+y+1.1求xy的最小值;2求x+y的最小值.解 由lg3x+lgy=lgx+y+1,得1∵x0,y0,∴3xy=x+y+1≥2+1,∴3xy-2-1≥0,即32-2-1≥0,∴3+1-1≥0,∴≥1,∴xy≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立.∴xy的最小值为
1.2∵x0,y0,∴x+y+1=3xy≤32,∴3x+y2-4x+y-4≥0,∴[3x+y+2][x+y-2]≥0,∴x+y≥2,当且仅当x=y=1时取等号,∴x+y的最小值为
2.。