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2.
1.1 椭圆及其标准方程 预习课本P32~36,思考并完成以下问题1.平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆?椭圆的焦点、焦距分别是什么? 2.椭圆的标准方程是什么? 1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.[点睛] 定义中的条件2a|F1F2|0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则
①当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2;
②当2a|F1F2|时,其轨迹不存在.2.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程+=1ab0+=1ab0图 形焦点坐标-c0,c00,-c,0,ca,b,c的关系c2=a2-b2[点睛] 椭圆的标准方程的特征1几何特征椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上.2代数特征方程右边为1,左边是关于与的平方和,并且分母为不相等的正值.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆 2已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹为圆 3方程+=1a0,b0表示的曲线是椭圆 答案1× 2√ 3×2.若椭圆+=1的一个焦点坐标为10,则实数m的值为 A.1 B.2 C.4 D.6答案C3.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于 A.4B.5C.8D.10答案D4.若椭圆的焦距为6,a-b=1,则椭圆的标准方程为________________.答案+=1或+=1求椭圆的标准方程[典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.1椭圆的两个焦点的坐标分别是-40,40,椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;2椭圆的两个焦点的坐标分别是0,-2,02,并且椭圆经过点;3椭圆的焦点在x轴上,a∶b=2∶1,c=.[解] 1椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为+=1ab0.∵2a=10,c=4,∴b2=a2-c2=
9.∴椭圆的标准方程为+=
1.2椭圆的焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为+=1ab0.由椭圆的定义,知2a=+=+=2,∴a=.又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=
6.∴椭圆的标准方程为+=
1.3∵c=,∴a2-b2=c2=
6.
①又由a∶b=2∶1,得a=2b,代入
①得4b2-b2=6,∴b2=2,∴a2=
8.又∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为+=
1.确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面1“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;2“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解. [活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程1经过两点2,-,;2过点,-,且与椭圆+=1有相同的焦点.解1法一分类讨论法若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1ab0.由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为+=
1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1ab0.由已知条件得解得则a2b2,与题设中ab0矛盾,舍去.综上,所求椭圆的标准方程为+=
1.法二待定系数法设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1A0,B0,A≠B.将两点2,-,代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+=
1.2因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=
16.设它的标准方程为+=1ab0.因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=
16.
①又点,-在椭圆上,所以+=1,即+=
1.
②由
①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=
1.椭圆的定义及其应用[典例] 1已知椭圆的方程为+=1a5,它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为 A.10 B.20C.2D.42如图所示,已知椭圆的方程为+=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为________.[解析] 1∵a5,∴椭圆的焦点在x轴上.又c=4,∴a2-25=42,∴a=.由椭圆的定义知△ABF2的周长=|BA|+|F2B|+|F2A|=|BF1|+|BF2|+|AF1|+|AF2|=4a=
4.2由已知得a=2,b=,所以c===1,|F1F2|=2c=
2.在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.
①由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.
②将
②代入
①解得|PF1|=.所以S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|·sin120°=××2×=,即△PF1F2的面积是.[答案] 1D 2椭圆定义的应用技巧1椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a2a|F1F2|,则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2涉及焦点三角形面积时,可把|PF1|,|PF2|看作一个整体,运用|PF1|2+|PF2|2=|PF1|+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,而无需单独求解. [活学活用]
1.如图所示,已知椭圆的两焦点为F1-10,F210,P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆的标准方程为____________.解析设椭圆的标准方程为+=1ab0,焦距为2c,则由已知得c=1,|F1F2|=2,所以4=|PF1|+|PF2|=2a,所以a=2,所以b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆的标准方程为+=
1.答案+=12.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=________.解析由题意,得a2=9,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,∴c=,∴|F1F2|=
2.∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=
2.∴cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.答案120°与椭圆有关的轨迹问题[典例] 1已知P是椭圆+=1上一动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为________.2已知圆M x+12+y2=1,圆N x-12+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程.[解析] 1设PxP,yP,Qx,y,由中点坐标公式得所以又点P在椭圆+=1上,所以+=1,即x2+=
1.答案x2+=12解由已知得圆M的圆心为M-10,半径r1=1;圆N的圆心为N10,半径r2=
3.设圆P的圆心为Px,y,半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=R+r1+r2-R=r1+r2=
4.由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆左顶点除外,其方程为+=1x≠-2.解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法1定义法用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可.2相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法. [活学活用]求过点P30且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.解圆方程配方整理得x+32+y2=102,圆心为C1-3,0,半径为R=
10.设所求动圆圆心为Cx,y,半径为r,依题意有消去r得R-|PC|=|CC1|⇒|PC|+|CC1|=R,即|PC|+|CC1|=
10.又P30,C1-30,且|PC1|=
610.可见C点是以P,C1为两焦点的椭圆,且c=32a=10,所以a=5,从而b=4,故所求的动圆圆心的轨迹方程为+=
1.层级一 学业水平达标1.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为 A.6 B.7C.8D.9解析选B 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=
7.2.若椭圆+=1的焦距为2,则m的值为 A.5B.3C.5或3D.8解析选C 由题意得c=1,a2=b2+c
2.当m4时,m=4+1=5;当m4时,4=m+1,∴m=
3.3.命题甲动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2aa0,常数;命题乙P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析选B 利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2aa0,常数,∴甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2aa0,常数是不能推出P点轨迹是椭圆的.这是因为仅当2a|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a|AB|时,P点无轨迹,∴甲不是乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件.4.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是 A.a3B.a-2C.a3或a-2D.a3或-6a-2解析选D 由a2a+60得所以所以a3或-6a-
2.5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为 A.+=1B.+=1或+=1C.+=1D.+=1或+=1解析选B 由已知2c=|F1F2|=2,∴c=.∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,∴a=
2.∴b2=a2-c2=
9.故椭圆C的标准方程是+=1或+=
1.6.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.解析由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,∴在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=
8.答案87.已知椭圆C经过点A23,且点F20为其右焦点,则椭圆C的标准方程为________________.解析法一依题意,可设椭圆C的方程为+=1ab0,且可知左焦点为F′-20.从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12,故椭圆C的标准方程为+=
1.法二依题意,可设椭圆C的方程为+=1ab0,则解得b2=12或b2=-3舍去,从而a2=
16.所以椭圆C的标准方程为+=
1.答案+=18.椭圆的两焦点为F1-40,F240,点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为__________.解析如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,∴×8b=12,∴b=
3.又∵c=4,∴a2=b2+c2=
25.∴椭圆的标准方程为+=
1.答案+=19.求符合下列条件的椭圆的标准方程.1过点和;2过点-32且与椭圆+=1有相同的焦点.解1设所求椭圆方程为mx2+ny2=1m0,n0,m≠n.∵椭圆过点和,∴解得∴所求椭圆的标准方程为x2+=
1.2由题意得已知椭圆+=1中a=3,b=2,且焦点在x轴上,∴c2=9-4=
5.∴设所求椭圆方程为+=
1.∵点-32在所求椭圆上,∴+=
1.∴a′2=15或a′2=3舍去.∴所求椭圆的标准方程为+=
1.10.已知椭圆+=1ab0的焦点分别是F10,-1,F201,且3a2=4b
2.1求椭圆的标准方程;2设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解1依题意,知c2=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为+=
1.2由于点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=
4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得cos∠F1PF2==.故∠F1PF2的余弦值等于.层级二 应试能力达标1.下列说法中正确的是 A.已知F1-40,F240,平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B.已知F1-40,F240,平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C.平面内到点F1-40,F240两点的距离之和等于点M53到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D.平面内到点F1-40,F240距离相等的点的轨迹是椭圆解析选C A中,|F1F2|=8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段,所以A错误;B中,到F1,F2两点的距离之和等于6,小于|F1F2|,这样的轨迹不存在,所以B错误;C中,点M53到F1,F2两点的距离之和为+=4|F1F2|=8,则其轨迹是椭圆,所以C正确;D中,轨迹应是线段F1F2的垂直平分线,所以D错误.故选C.2.椭圆+=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上的一点,已知·=0,则△F1PF2的面积为 A.9 B.12C.10D.8解析选A ∵·=0,∴PF1⊥PF
2.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2且|PF1|+|PF2|=2a.又a=5,b=3,∴c=4,∴
②2-
①,得2|PF1|·|PF2|=36,∴|PF1|·|PF2|=18,∴△F1PF2的面积为S=·|PF1|·|PF2|=
9.3.若α∈,方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是 A.B.C.D.解析选A 易知sinα≠0,cosα≠0,方程x2sinα+y2cosα=1可化为+=
1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以0,即sinαcosα
0.又α∈,所以α.4.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆x+32+y2=1和圆x-32+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.5B.7C.13D.15解析选B 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=
7.5.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为0,-4,则k的值为________.解析易知k≠0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.答案6.已知椭圆C+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________.解析取MN的中点G,G在椭圆C上,因为点M关于C的焦点F1,F2的对称点分别为A,B,故有|GF1|=|AN|,|GF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2|GF1|+|GF2|=4a=
12.答案127.已知点P在椭圆上,且P到椭圆的两个焦点的距离分别为
53.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.解法一设所求的椭圆方程为+=1ab0或+=1ab0,由已知条件得解得所以b2=a2-c2=
12.于是所求椭圆的标准方程为+=1或+=
1.法二设所求的椭圆方程为+=1ab0或+=1ab0,两个焦点分别为F1,F
2.由题意知2a=|PF1|+|PF2|=3+5=8,所以a=
4.在方程+=1中,令x=±c,得|y|=;在方程+=1中,令y=±c,得|x|=.依题意有=3,得b2=
12.于是所求椭圆的标准方程为+=1或+=
1.
8.如图在圆C x+12+y2=25内有一点A10.Q为圆C上一点,AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程.解如图,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|MC|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=
5.又A10,C-10,故点M的轨迹是以10,-10为焦点的椭圆,且2a=5,故a=,c=1,b2=a2-c2=-1=.故点M的轨迹方程为+=
1.。