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2.
2.2椭圆的几何性质[基础达标]1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为________.解析把椭圆的方程化为标准形式+=1,故a2=,b2=1,所以a=,b=12=4,解得,m=,符合题意.答案2.已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满足0e≤,则长轴的最大值是________.解析由e2===,得0≤,解得1a2≤
4.故1a≤222a≤
4.即长轴的最大值是
4.答案43.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.解析由题意知2b=a+c,又b2=a2-c2,∴4a2-c2=a2+c2+2ac.∴3a2-2ac-5c2=0,∴5c2+2ac-3a2=
0.∴5e2+2e-3=0,∴e=或e=-1舍去.答案4.已知F
1、F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________.解析结合图形图略,转化为cb.答案5.设P为椭圆+=1ab0上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,如果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率是________.解析在Rt△PF1F2中,由正弦定理,得===2c,∴=2c.由椭圆的定义,知PF1+PF2=2a.代入上式,有e===.答案6.在平面直角坐标系xOy中,以椭圆+=1ab0上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点,与y轴相交于B、C两点,若△ABC是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是________.解析由题意得,圆半径r=,因为△ABC是锐角三角形,所以cos0cos=cos,即1,所以1,即1,解得e∈.答案7.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组成的三角形的周长为4+2,且∠F1BF2=,求椭圆的标准方程.解设长轴长为2a,焦距为2c,则在△F2OB中,由∠F2BO=得c=a,所以△F2BF1的周长为2a+2c=2a+a=4+2,∴a=2,c=,∴b2=1;故所求椭圆的标准方程为+y2=
1.8.已知椭圆C1+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.1求椭圆C2的方程;2设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解1由已知可设椭圆C2的方程为+=1a2,其离心率为,故=,则a=4,故椭圆C2的方程为+=
1.2A,B两点的坐标分别记为xA,yA,xB,yB,由=2及1知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得1+4k2x2=4,所以x=,将y=kx代入+=1中,得4+k2x2=16,所以x=,又由=2,得x=4x,即=,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.[能力提升]1.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.解析椭圆+=1的右焦点F210,故直线AB的方程y=2x-1,由,消去y,整理得3x2-5x=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,x1x2,则x1,x2是方程3x2-5x=0的两个实根,解得x1=0,x2=,故A0,-2,B,故S△OAB=S△OFA+S△OFB=××1=.答案2.设F
1、F2是椭圆E+=1a>b>0的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为________.解析由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2x=60°.∴PF2=2×=3a-2c.∵F1F2=2c,F1F2=PF2,∴3a-2c=2c,∴e==.答案3.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围.解设点P的坐标为x,y,F1-,0,F2,0,在三角形PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=,因为PF1+PF2=6,F1F2=2,故cos∠F1PF2==-1≥-1=-,当且仅当PF1=PF2时取等号,即-≤cos∠F1PF2≤
1.所以当-≤cos∠F1PF20时,∠F1PF2为钝角.令·=0,因为=--x,-y,=-x,-y,则x2-5+y2=0,y2=-x2+5,代入椭圆方程得x2=,x=±,所以点P的横坐标的取值范围是-x.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1a>b>0的左、右焦点分别为F1-c
0、F2c0.已知点1,e和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.1求椭圆的方程;2设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.ⅰ若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;ⅱ求证PF1+PF2是定值.解1由题设知a2=b2+c2,e=.由点1,e在椭圆上,得+=1,解得b2=1,于是c2=a2-
1.又点在椭圆上,所以+=1,即+=1,解得a2=
2.因此,所求椭圆的方程是+y2=
1.2由1知F1-10,F210,又直线AF1与BF2平行,所以可设直线AF1的方程为x+1=my,直线BF2的方程为x-1=my.设Ax1,y1,Bx2,y2,y10,y
20.由得m2+2y-2my1-1=0,解得y1=,故AF1===.
①同理,BF2=.
②ⅰ由
①②得AF1-BF2=,解=得m2=2,注意到m0,故m=.所以直线AF1的斜率为=.ⅱ证明因为直线AF1与BF2平行,所以=,于是=,故PF1=BF
1.由B点在椭圆上知BF1+BF2=2,从而PF1=2-BF2.同理,PF2=2-AF1.因此PF1+PF2=2-BF2+·=2-.由
①②得,AF1+BF2=,AF1·BF2=,∴PF1+PF2=2-=,∴PF1+PF2是定值.。