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文本内容:
2.
3.2 抛物线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的几何性质8直线与抛物线的位置关系19抛物线的焦点弦问题237抛物线中的最值问题4101113抛物线中的定值问题12综合应用56【基础巩固】
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2pxp0则 C A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析:因为直线y=kx-k=kx-1所以直线过点10又点10在抛物线y2=2px的内部所以当k=0时直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时直线与抛物线有两个公共点.故选C.
2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线则被抛物线截得的弦长为 B A8B16C32D64解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为20直线的方程为y=x-2代入y2=8x得x-22=8x即x2-12x+4=0所以x1+x2=12弦长=x1+x2+p=12+4=
16.故选B.
3.已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F点P1x1y1P2x2y2P3x3y3在抛物线上且2x2=x1+x3则有 C A|FP1|+|FP2|=|FP3|B|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2C|FP1|+|FP3|=2|FP2|D|FP1|·|FP3|=|FP2|2解析:由焦半径公式知|FP1|=x1+|FP2|=x2+|FP3|=x3+.因为2x2=x1+x3所以2x2+=x1++x3+即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.故选C.
4.2018·临川高二月考抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 A ABCD3解析:设抛物线y=-x2上一点为m-m2该点到直线4x+3y-8=0的距离为当m=时取得最小值为.故选A.
5.2016·全国Ⅱ卷设F为抛物线C:y2=4x的焦点曲线y=k0与C交于点PPF⊥x轴则k等于 D AB1CD2解析:由题知P122=k.故选D.
6.2018·郑州高二检测过抛物线y2=2pxp0的焦点F的直线与抛物线交于AB两点若AB在准线上的射影为A1B1则∠A1FB1等于 A A90°B45°C60°D120°解析:如图由抛物线定义知|AA1|=|AF||BB1|=|BF|所以∠AA1F=∠AFA1又∠AA1F=∠A1FO所以∠AFA1=∠A1FO同理∠BFB1=∠B1FO于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB
1.故∠A1FB1=90°.故选A.
7.2018·兰州高二检测在抛物线y2=16x内过点21且被此点平分的弦AB所在直线的方程是 . 解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k则直线方程为y-1=kx-2
①由消去x得ky2-16y+161-2k=0所以y1+y2==2y1y2分别是AB的纵坐标所以k=
8.代入
①得y=8x-
15.答案:y=8x-
158.抛物线的顶点在原点以x轴为对称轴经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8试求抛物线的标准方程.解:如图依题意可设抛物线标准方程为y2=2pxp0则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于Ax1y1Bx2y2过AB分别作准线的垂线垂足为CD则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+即x1+x2+p=
8.
①又Ax1y1Bx2y2是直线和抛物线的交点由消去y得x2-3px+=
0.所以x1+x2=3p
②将
②代入
①得p=
2.所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2pxp0时同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.【能力提升】
9.2017·高安市校级高二月考已知直线y=2x-1与抛物线C:y2=4x交于AB两点点M-1m若·=0则m等于 B ABCD0解析:由可得8x2-20x+8=0解得x=2或x=则A22B-点M-1m由·=0可得32-m·--m=
0.化简得2m2-2m+1=0解得m=.故选B.
10.2018·宜春高二月考已知F为抛物线y2=x的焦点点AB在该抛物线上且位于x轴的两侧·=2其中O为坐标原点则△ABO与△AFO面积之和的最小值是 B A2B3CD解析:设点A的坐标为a2a点B的坐标为b2b直线AB的方程为x=ty+m与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0故ab=-m由·=2得a2b2+ab=2故ab=-2或ab=1舍去所以m=2所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|△AFO的面积等于×|a|=所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=|a|+||≥2=
3.当且仅当|a|=时等号成立.故选B.
11.2018·云南质检对于抛物线y2=4x上任意一点Q点Pa0满足|PQ|≥|a|则a的取值范围是 . 解析:设点Q的坐标为y0由|PQ|≥|a|得+-a2≥a2整理得+16-8a≥0因为≥0所以+16-8a≥0即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2所以a≤
2.答案:-∞2]
12.2018·湖南六校联考如图所示已知点Ma3是抛物线y2=4x上一定点直线AMBM的斜率互为相反数且与抛物线另交于AB两个不同的点.1求点M到其准线的距离;2求证:直线AB的斜率为定值.1解:因为Ma3是抛物线y2=4x上一定点所以32=4aa=所以M
3.因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1所以点M到其准线的距离为--1=.2证明:由题知直线MAMB的斜率存在且不为0设直线MA的方程为y-3=kx-由得y2-y+-9=
0.所以yA+3=所以yA=-
3.因为直线AMBM的斜率互为相反数所以直线BM的方程为y-3=-kx-.同理可得yB=-
3.只需将yA=-3中的k换为-k所以kAB=====-.所以直线AB的斜率为定值-.【探究创新】
13.2018·枣庄高二月考设点P在圆C:x2+y-62=5上点Q在抛物线x2=4y上则|PQ|的最小值为 . 解析:设Qxy其中x2=4y.又圆心C06则|QC|===y≥
0.当y=4时|QC|min=2所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.答案:。