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第二章圆锥曲线与方程时间120分钟;满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在题中横线上1.椭圆+=1的焦距为6,则k的值为________.解析由已知2c=6,∴c=3,而c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=
29.答案11或292.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=________.解析由题意知,m0,双曲线mx2+y2=1化为标准形式y2-=1,故a2=1,b2=-,所以a=1,b=,则由2=2×2,解得m=-.答案-3.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为________.解析不妨设椭圆方程为+=1ab0,则有,即
①÷
②得e=.答案4.与x2-4y2=1有相同的渐近线,且过M4,的双曲线方程为________.解析设方程为x2-4y2=λλ≠0,将M4,代入方程得λ=4,所以方程为-y2=
1.答案-y2=15.已知双曲线3x2-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________.解析即求离心率,双曲线化为标准方程-=1,可知a=,c===2,e===
2.答案26.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为________.解析椭圆+=1的右焦点为20,而抛物线y2=2px的焦点为,0,则=2,故p=
4.答案47.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是________.解析由题意得F10,设A,y0,则=,y0,=1-,-y0,由·=-4,解得y0=±2,此时点A的横坐标为=1,故点A的坐标是1,±2.答案1,±28.设P是椭圆+=1上的任意一点,又点Q的坐标为0,-4,则PQ的最大值为________.解析设P的坐标x,y,则PQ2=x2+y+42=251-+y+42=-y-2+-4≤y≤4,当y=4时,PQ2最大,此时PQ最大,且PQ的最大值为=
8.答案89.以双曲线-=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是________.解析由题意知圆心坐标应为50.又因为点50到渐近线y=±x的距离为4,所以圆的方程为x2+y2-10x+9=
0.答案x2+y2-10x+9=010.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离为,则这个椭圆方程为________.解析由题意知,解得,椭圆方程为+=1或+=
1.答案+=1或+=111.已知两点M-20,N20,点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点Px,y的轨迹方程为________.解析设Px,y,M-20,N20,则=40,||=4,=x+2,y,=x-2,y;由||·||+·=0,得4+4x-2=0,化简整理得y2=-8x.答案y2=-8x12.设过点Px,y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2且·=1,则点P的轨迹方程是________.解析设Px,y,则Q-x,y,又设Aa0,B0,b,则a0,b
0.于是=x,y-b,=a-x,-y,由=2可得a=x,b=3y,所以x0,y
0.又=-a,b=-x3y,由·=1可得x2+3y2=1x0,y0.答案x2+3y2=1x0,y013.抛物线y2=x上存在两点关于直线y=mx-3对称,则m的取值范围是____________.解析法一设两对称点的坐标为Ax1,y1,Bx2,y2且AB所在直线的方程可设为y=-x+b,代入y2=x,得y2+my-mb=0,∴y1+y2=-m,且Δ=m2+4mb>
0.
①设A、B的中点为x0,y0,则y0==-,又A、B的中点在直线y=mx-3上,所以x0=,又x0,y0在直线y=-x+b上.∴b=y0+x0=-+,代入
①并整理得m2<10,∴-<m<,∴m的取值范围是-,.法二设两对称点的坐标为Ax1,y1,Bx2,y2,且A、B的中点为x0,y0,依题意,则有
①-
②得y1+y2y1-y2=x1-x2,将
③④代入上式得y0=-,
⑧将
⑧代入
⑥得x0=,
⑨将
⑧⑨代入
⑦得2<,∴m2<10,∴-<m<.∴m的范围是-,.答案-,14.已知F1,F2为双曲线-=1a0,b0且a≠b的两个焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,O为坐标原点.下面四个命题
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上;
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=b上;
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上;
④△PF1F2的内切圆必通过点a0.其中真命题有________写出所有真命题的代号.解析设△PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则PA=PB,F1A=F1M,F2B=F2M,又点P在双曲线右支上,所以PF1-PF2=2a,故F1M-F2M=2a,而F1M+F2M=2c,设M点坐标为x0,则由F1M-F2M=2a可得x+c-c-x=2a解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,故
①④正确.答案
①④
二、解答题本大题共6小题,共90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分14分如图,一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶4m时,水面宽8m.1试建立坐标系,求抛物线的标准方程;2若水面上升1m,求水面宽度.解1如图,以拱顶为原点,水平线为x轴,建立坐标系,设抛物线的标准方程为x2=-2pyp0.由已知条件可知,点B的坐标是4,-4,代入方程,得42=-2p×-4,即p=
2.所以,所求抛物线标准方程是x2=-4y.2若水面上升1m,则y=-3,代入x2=-4y,得x2=-4×-3=12,x=±2,所以这时水面宽为4m.16.本小题满分14分已知双曲线过点3,-2,且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.1求双曲线的标准方程;2求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.解1把椭圆方程化为标准形式为+=1,焦点坐标为F1-,0,F2,0.故设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则,解得,故所求双曲线的标准方程为-=
1.2由1知双曲线的右准线方程为x=,即为抛物线的准线方程.故设抛物线的标准方程为y2=-2pxp0,则有=,故p=.所以抛物线的标准方程为y2=-x.17.本小题满分14分已知双曲线-=1与点M53,F为右焦点,试在双曲线上求一点P,使PM+PF最小,并求出这个最小值.解双曲线的右焦点F60,离心率e=2,右准线为l x=.作MN⊥l于N,交双曲线右支于P,连结FP,则PF=ePN=2PN⇒PN=PF.此时PM+PF=PM+PN=MN=5-=为最小值.在-=1中,令y=3,x2=12⇒x=±2;又∵x0,∴取x=
2.即当所求P点的坐标为2,3时,PM+PF取最小值.18.本小题满分16分已知F1,F2是椭圆C+=1ab0的左、右焦点,点N-,1在椭圆上,线段NF2与y轴的交点M满足+=
0.1求椭圆C的方程;2设P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面积.解1由已知,点N-,1在椭圆上,∴有+=1,
①又∵+=0,M在y轴上,∴M为NF2的中点,∴-+c=0,c=.∴有a2-b2=2,
②由
①②,解得b2=2b2=-1舍去,∴a2=4,故所求椭圆C的方程为+=
1.2设PF1=m,PF2=n,则S△F1PF2=mnsin=mn.由椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即m+n=
4.
①又由余弦定理得PF+PF-2PF1·PF2cos=F1F,即m2+n2-mn=
22.
②由
①2-
②,得mn=,∴S△F1PF2=.19.本小题满分16分已知抛物线y2=2pxp0的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于
5.过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.1求抛物线方程;2过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标;3以M为圆心,MB为半径作圆M,当Km0是x轴上一动点时,讨论直线AK与圆M的位置关系.解1抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=
2.∴抛物线方程为y2=4x.2∵点A的坐标是44,由题意得B04,M02,又∵F10,∴kFA=;MN⊥FA,∴kMN=-,则FA的方程为y=x-1,MN的方程为y-2=-x.解方程组,得,∴点N的坐标为,.3由题意得,圆M的圆心是点02,半径为
2.当m=4时,直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离,当m≠4时,直线AK的方程为y=x-m,即为4x-4-my-4m=0,圆心M02到直线AK的距离d=,令d2,解得m
1.∴当m1时,直线AK与圆M相离;当m=1时,直线AK与圆M相切;当m1时,直线AK与圆M相交.
20.本小题满分16分如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点Tt,m的直线TA、TB与此椭圆分别交于点Mx1,y
1、Nx2,y2,其中m>0,y1>0,y2<
0.1设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹;2设x1=2,x2=,求点T的坐标;3设t=9,求证直线MN必过x轴上的一定点其坐标与m无关.解由题设得A-30,B30,F20.1如图,设点Px,y,则PF2=x-22+y2,PB2=x-32+y
2.由PF2-PB2=4,得x-22+y2-x-32-y2=4,化简得x=.故所求点P的轨迹为直线x=.2如图,由x1=2,+=1及y1>0,得y1=,则点M,从而直线AM的方程为y=x+1;由x2=,+=1及y2<0,得y2=-,则点N,从而直线BN的方程为y=x-.由解得所以点T的坐标为.3证明如图,由题设知,直线AT的方程为y=x+3,直线BT的方程为y=x-3.点Mx1,y1满足得=-·.因为x1≠-3,则=-·,解得x1=,从而得y1=.点Nx2,y2满足解得x2=,y2=.若x1=x2,则由=及m>0,得m=2,此时直线MN的方程为x=1,过点D10.若x1≠x2,则m≠2,直线MD的斜率kMD==,直线ND的斜率kND==,得kMD=kND,所以直线MN过定点D.因此直线MN必过x轴上的定点10.。