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2.1平面向量的实际背景及基本概念[A级 基础巩固]
一、选择题1.关于向量的概念,下列命题中正确的是 A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B.模相等的两个平行向量是相等向量C.若a和b都是单位向量,则a=bD.两个相等向量的模相等解析A项,两个向量如果相等,则它们的模和方向相同,起点和终点不一定重合,故错误;B项,模相等的两个平行向量有可能方向相反,故错误;C项,两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同,单位向量的模相等,方向不一定相同,故错误;D项,如果向量相等,则它们的模和方向均相同,故正确.答案D2.数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量的长度是 A.-1B.2C.1D.3解析||=2--1=
3.答案D3.如图所示,在⊙O中,向量、、是 A.有相同起点的向量B.共线向量C.模相等的向量D.相等的向量答案C4.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则 A.=B.=C.=D.=解析由平面几何知识知,与方向不同,故≠;与方向不同,故≠;与的模相等而方向相反,故≠;与的模相等且方向相同,所以=.答案D5.若||=||且=,则四边形ABCD的形状为 A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析由=知四边形为平行四边形;由||=||知四边形ABCD为菱形.答案C
二、填空题6.有下列说法
①向量和向量长度相等;
②向量是有向线段;
③向量00
④向量大于向量;
⑤单位向量都相等.其中,正确的说法是________填序号.解析序号正误原因
①√||=||=AB
②×向量可以用有向线段表示,但不能把二者等同起来
③×0是一个向量,而0是一个数量
④×向量不能比较大小
⑤×单位向量的模均为1,但方向不确定答案
①7.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=________.解析因为正方形的对角线长为2,所以||=.答案8.如果在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为其中D在边BC上运动,则向量长度的最小值为________.解析结合图形进行判断求解图略,根据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为.答案
三、解答题9.如图所示,四边形ABEF和BCDE均是边长为1的正方形,在以A,B,C,D,E,F为起点和终点的向量中,1写出与,相等的向量;2写出与模相等的向量.解1与相等的向量有,,与相等的向量为.2与模相等的向量有,,.
10.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.1与的模相等的向量有多少个?2是否存在与长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个?3与共线的向量有哪些?解1与的模相等的线段是六条边和六条半径如OB,而每一条线段可以有两个向量,所以这样的向量共有23个.2存在.由正六边形的性质可知BC∥AO∥EF,所以与的长度相等、方向相反的向量是,,,,共4个.3由2知,BC∥OA∥EF,OD,AD与OA在同一条直线上,所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个向量.B级 能力提升1.已知点O固定,且||=2,则A点构成的图形是 A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定解析因为||=2,所以终点A到起点O的距离为
2.又因为O点固定,所以A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.答案C2.给出下列四个条件
①a=b;
②|a|=|b|;
③a与b方向相反;
④|a|=0或|b|=0,其中能使a∥b成立的条件是________填序号.解析因为a与b为相等向量,所以a∥b,即
①能够使a∥b成立;由于|a|=|b|并没有确定a与b的方向,即
②不能够使a∥b成立;因为a与b方向相反时,a∥b,即
③能够使a∥b成立;因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0或|b|=0时,a∥b能够成立.故使a∥b成立的条件是
①③④.答案
①③④3.如图,两人分别从A村出发,其中一人沿北偏东60°方向行走了1km到了B村,另一人沿北偏西30°方向行走了km到了C村,问B、C两村相距多远,B村在C村的什么方向上?解由题可知||=1,||=,∠CAB=90°,则||=
2.又tan∠ACB===,所以∠ACB=30°,故B,C两村间的距离为2km,B村在C村的南偏东60°的方向上.。