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文本内容:
平面向量
(二)注意事项1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.选择题的作答每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.设,,且,则锐角为()A.B.C.D.2.下列命题正确的是()A.单位向量都相等B.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线C.若|a+b|=|a-b|,则a·b=0D.若a与b都是单位向量,则a·b=1.3.设向量,,若a与b的夹角大于90°,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.4.平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则等于()A.8B.6C.D.5.已知,,,则向量a与向量b的夹角是()A.B.C.D.6.关于平面向量a,b,c,有下列四个命题
①若a∥b,a≠0,则存在λ∈R,使得b=λa;
②若a·b=0,则a=0或b=0;
③存在不全为零的实数λ,μ使得c=λa+μb;
④若a·b=a·c,则a⊥b-c.其中正确的命题是()A.
①③B.
①④C.
②③D.
②④7.已知|a|=5,|b|=3,且,则向量a在向量b上的投影等于()A.B.4C.D.8.设O,A,M,B为平面上四点,,且,则()A.点M在线段AB上B.点B在线段AM上C.点A在线段BM上D.O,A,B,M四点共线9.P是△ABC内的一点,,则△ABC的面积与△ABP的面积之比为()A.B.2C.3D.610.在△ABC中,,,若,则等于()A.B.C.D.111.已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a·b+c等于()A.B.C.0D.12.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下对任意的a=m,n,b=p,q,令a⊙b=mq-np.下面说法错误的是()A.若a与b共线,则a⊙b=0B.a⊙b=b⊙aC.对任意的λ∈R,有λa⊙b=λa⊙bD.a⊙b2+a·b2=|a|2|b|2
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上13.设向量a=12,b=23,若向量λa+b与向量共线,则λ=________.14.a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.15.已知向量a=62,,直线l过点A3,-1,且与向量a+2b垂直,则直线l的方程为________.16.已知向量,,,设M是直线OP上任意一点O为坐标原点,则的最小值为________.
三、解答题本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.10分如图所示,以向量,为边作,又,,用a,b表示、、.18.12分已知a,b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求
(1)a-2b·a+b;
(2)|a+b|;
(3)|3a-4b|.19.12分已知,,且存在实数k和t,使得x=a+t2-3b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求的最小值.20.12分设,,.在线段OC上是否存在点M,使MA⊥MB?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.21.12分设两个向量e
1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e
1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.22.12分已知线段PQ过△OAB的重心G,且P、Q分别在OA、OB上,设,,,.求证.2018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量
(二)答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.【答案】D【解析】,,,.故选D.2.【答案】C【解析】∵|a+b|2=a2+b2+2a·b,|a-b|2=a2+b2-2a·b,.∴.故选C.3.【答案】A【解析】∵a与b的夹角大于90°,∴,∴,即,∴.故选A.4.【答案】A【解析】∵,∴,∴.故选A.5.【答案】C【解析】∵,∴,∴,∴.故选C.6.【答案】B【解析】由向量共线定理知
①正确;若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b,所以
②错误;在a,b能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数λ,μ使得c=λa+μb,所以
③错误;若,则,所以,所以
④正确,即正确命题序号是
①④,所以B选项正确.7.【答案】A【解析】向量a在向量b上的投影为.故选A.8.【答案】B【解析】∵,∴,λ∈12,∴点B在线段AM上,故选B.9.【答案】C【解析】设△ABC边BC的中点为D,则.∵,∴,∴.∴.故选C.10.【答案】B【解析】,故有.故选B.11.【答案】B【解析】由已知得,将等式两边平方得,化简得.同理由两边平方得a·b=0,∴.故选B.12.【答案】B【解析】若a=m,n与b=p,q共线,则mq-np=0,依运算“⊙”知a⊙b=0,故A正确.由于a⊙b=mq-np,又b⊙a=np-mq,因此a⊙b=-b⊙a,故B不正确.对于C,由于λa=λm,λn,因此λa⊙b=λmq-λnp,又λa⊙b=λmq-np=λmq-λnp,故C正确.对于D,a⊙b2+a·b2=m2q2-2mnpq+n2p2+mp+nq2=m2p2+q2+n2p2+q2=m2+n2p2+q2=|a|2|b|2,故D正确.
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上13.【答案】2【解析】∵a=12,b=23,∴.∵向量λa+b与向量共线,∴-7λ+2+42λ+3=0.∴λ=2.14.【答案】7【解析】∵.∴|5a-b|=7.15.【答案】【解析】设Px,y是直线上任意一点,根据题意,有,整理化简得.16.【答案】【解析】设,故有,故当t=2时,取得最小值.
三、解答题本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.【答案】,,.【解析】.∴.又.,∴.18.【答案】
(1)12;
(2);
(3).【解析】
(1).a-2b·a+b=a2-2a·b+a·b-2b2=42-2×-4+-4-2×22=12.
(2)∵|a+b|2=a+b2=a2+2a·b+b2=16+2×-4+4=12.∴.
(3)|3a-4b|2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×-4+16×22=16×19,∴.19.【答案】.【解析】由题意有,.∵,∴.∵x·y=0,∴[a+t2-3b]-ka+tb=0.化简得.∴.即时,有最小值为.20.【答案】存在,M点的坐标为21或.【解析】设,t∈
[01],则,即M6t3t.,.若MA⊥MB,则.即45t2-48t+11=0,或.∴存在点M,M点的坐标为21或.21.【答案】.【解析】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得,即2te1+7e2·e1+te20.整理得.*∵|e1|=2,|e2|=1,〈e1,e2〉=60°.∴e1·e2=2×1×cos60°=1,∴*式化简得2t2+15t+70.解得.当向量2te1+7e2与e1+te2夹角为180°时,设2te1+7e2=λe1+te2λ0.对比系数得,∴,∴所求实数t的取值范围是.22.【答案】见解析.【解析】证明如右图所示,∵,∴.∴..又P、G、Q三点共线,所以存在一个实数λ,使得.∴,∴.∵a与b不共线,∴,由
①②消去λ得.。