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全国通用版2019版高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第20讲三角恒等变换优选学案考纲要求考情分析命题趋势
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆.xx·全国卷Ⅱ,13xx·山东卷,7xx·全国卷Ⅰ,14xx·全国卷Ⅲ,6xx·浙江卷,11三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查.分值5~12分1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sinα±β=__sin_αcos_β±cos_αsin_β__.cosα±β=__cos_αcos_β∓sin_αsin_β__.tanα±β=____.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α=__2sin_αcos_α__.cos2α=__cos2α-sin2α__=__2cos2α-1__=__1-2sin2α__.tan2α=____.3.有关公式的逆用、变形1tanα±tanβ=tanα±β1∓tanαtanβ.2cos2α=____,sin2α=____.31+sin2α=sinα+cosα21-sin2α=sinα-cosα2,sinα±cosα=sin.4asinα+bcosα=sinα+φ,asinα+bcosα=cosα-φ.1.思维辨析在括号内打“√”或“×”.1两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. √ 2存在实数α,β,使等式sinα+β=sinα+sinβ成立. √ 3公式tanα+β=可以变形为tanα+tanβ=tanα+β1-tanαtanβ,且对任意角α,β都成立. × 4存在实数α,使tan2α=2tanα. √ 解析 1正确.对于任意的实数α,β,两角和与差的正弦、余弦公式都成立.2正确.取β=0,因为sin0=0,所以sinα+0=sinα=sinα+sin
0.3错误.变形可以,但不是对任意角α,β都成立.α,β,α+β≠kπ+,k∈Z.4正确.当α=kπk∈Z时,tan2α=2tanα.2.已知cosx=,则cos2x= D A.- B. C.- D.解析 ∵cosx=,∴cos2x=2cos2x-1=.故选D.3.sin34°sin26°-cos34°cos26°的值是 C A. B. C.- D.-解析 sin34°sin26°-cos34°cos26°=-cos34°cos26°-sin34°sin26°=-cos34°+26°=-cos60°=-.4.设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是____.解析 ∵sin2α=2sinαcosα=-sinα,∴cosα=-.又α∈,∴sinα=,tanα=-,∴tan2α===.5.tan20°+tan40°+tan20°tan40°=____.解析 ∵tan20°+40°=,∴-tan20°tan40°=tan20°+tan40°,即tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.一 三角函数的化简与求值三角函数式化简与求值的常用方法1善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数.2统一三角函数名称,利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.3分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.【例1】1化简0θπ;2求值sin50°1+tan10°.解析 1由θ∈0,π,得0,∴cos0,∴==2cos.又1+sinθ+cosθ==2cos=-2coscosθ.故原式==-cosθ.2sin50°1+tan10°=sin50°1+tan60°·tan10°=sin50°·=sin50°·====
1.二 三角函数的条件求值解三角函数求值问题的一般步骤1给值求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子;
②观察已知条件与所求式子之间的联系从函数名称及角入手;
③将已知条件代入所求式子,化简求值.2给值求角问题的一般步骤
①先求角的某一个三角函数值;
②确定角的范围;
③根据角的范围写出所求的角.【例2】1已知α,β为锐角,cosα=,sinα+β=,则cosβ=____.2已知tanα=
2.
①求tan的值;
②求的值.解析 1∵α为锐角,∴sinα==.∵α,β∈,∴0α+βπ.又∵sinα+βsinα,∴α+β,∴cosα+β=-.cosβ=cos[α+β-α]=cosα+βcosα+sinα+β·sinα=-×+×==.2
①tan===-
3.
②====
1.【例3】1设α,β为钝角,且sinα=,cosβ=-,则α+β的值为 C A. B. C. D.或2已知α,β∈0,π,且tanα-β=,tanβ=-,则2α-β的值为__-__.解析 1∵α,β为钝角,sinα=,cosβ=-,∴cosα=,sinβ=,∴cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=
0.又α+β∈π,2π,∴α+β∈,∴α+β=.2∵tanα=tan[α-β+β]===0,∴0α.又∵tan2α===0,∴02α,∴tan2α-β===
1.∵tanβ=-0,∴βπ,-π2α-β0,∴2α-β=-.三 三角恒等变换与三角函数的综合问题三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合,通过变换,将复杂的函数式化为y=Asinωx+φ+b的形式再研究性质.在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.【例4】已知函数fx=2cos2ωx-1+2sinωxcosωx0ω1,直线x=是函数fx的图象的一条对称轴.1求函数fx的单调递增区间;2已知函数y=gx的图象是由y=fx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若g=,α∈,求sinα的值.解析 1fx=cos2ωx+sin2ωx=2sin,由于直线x=是函数fx=2sin的图象的一条对称轴,所以sin=±1,因此ω+=kπ+k∈Z,解得ω=k+k∈Z.又因为0ω1,所以ω=,所以fx=2sin.由2kπ-≤x+≤2kπ+k∈Z,得2kπ-≤x≤2kπ+k∈Z,所以函数fx的单调递增区间为k∈Z.2由题意可得gx=2sin,即gx=2cos,由g=2cos=2cos=,得cos=,又α∈,故α+,所以sin=,所以sinα=sin=sin·cos-cos·sin=×-×=.1.计算sin20°cos70°-cos160°sin70°的值为 C A.0 B.-sin50°C.1 D.-1解析 原式=sin20°cos70°-cos180°-20°sin70°=sin20°·cos70°+cos20°sin70°=sin20°+70°=sin90°=
1.2.已知锐角α满足cos2α=cos,则sin2α= A A. B.- C. D.-解析 由cos2α=cos,得cosα-sinαcosα+sinα=cosα+sinα,由α为锐角知cosα+sinα≠0,所以cosα-sinα=,平方得1-sin2α=.所以sin2α=.3.已知coscos=,则sin4θ+cos4θ= C A. B. C. D.解析 因为coscos==cos2θ-sin2θ=cos2θ=,所以cos2θ=,所以sin4θ+cos4θ=2+2=+=.4.设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=__-__.解析 因为tan=,所以tanθ=tan===-,即sinθ=-cosθ,又因为sin2θ+cos2θ=1,所以cos2θ+cos2θ=1,cos2θ=,因为θ为第二象限角,所以cosθ=,sinθ=-cosθ=,sinθ+cosθ=-+=-.易错点 不会正确拼凑角错因分析没有注意已知角和所求角之间的和、差、倍、半、互余、互补关系,从而不能正确拼凑出便于解题的角.【例1】已知cos=,求cos-sin2的值.解析 cos-sin2=cos-sin2=-cos-sin2=--=-.【跟踪训练1】若tan=,则tanα=____.解析 tanα=tan===.课时达标 第20讲[解密考纲]三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查.
一、选择题1.已知sin2α=,则cos2= D A.- B.-C. D.解析 ∵cos2==,∴cos2=.2.xx·山东卷函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为 C A. B. C.π D.2π解析 ∵y=sin2x+cos2x=2sin,∴函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为=π.故选C.3.已知α∈,tan=,那么sin2α+cos2α的值为 A A.- B.C.- D.解析 由tan=,知=,∴tan2α=-.∵2α∈,∴sin2α=,cos2α=-,∴sin2α+cos2α=-.故选A.4.已知α为锐角,且7sinα=2cos2α,则sin= A A. B.C. D.解析 由7sinα=2cos2α,得7sinα=21-2sin2α,即4sin2α+7sinα-2=0,解得sinα=-2舍去或sinα=,又由α为锐角,可得cosα=,∴sin=sinα+cosα=.故选A.5.若α∈,且3cos2α=sin,则sin2α的值为 D A. B.-C. D.-解析 cos2α=sin=sin=2sincos,代入原式,得6sincos=sin.∵α∈,∴-α∈,∴sin0,∴cos=,∴sin2α=cos=2cos2-1=-.故选D.6.已知sin+sinα=,则sin的值是 D A.- B.C. D.-解析 sin+sinα=⇒sincosα+cossinα+sinα=⇒sinα+cosα=⇒sinα+cosα=,故sin=.所以sin=sin=-sin=-.
二、填空题7.函数fx=2cosx+sinx的最大值为____.解析 依题意,得fx=sinx+θ.因此函数fx的最大值是.
8.的值为__1__.解析 原式======
1.9.若锐角α,β满足1+tanα1+tanβ=4,则α+β=____.解析 由1+tanα1+tanβ=4,可得=,即tanα+β=.又α+β∈0,π,所以α+β=.
三、解答题10.xx·江西高三阶段性检测已知cos2019π-θ=-,θ∈.1求sinθ的值;2求cos的值;3求tan的值.解析 1因为cos2019π-θ=-,所以-cosθ=-,得cosθ=.又θ∈,所以sinθ==.2cos=cos=cosθcos+sinθsin=×+×=.3因为tanθ==,所以tan===-.11.已知0αβπ,cos=,sinα+β=.1求sin2β的值;2求cos的值.解析 1sin2β=cos=2cos2-1=-.2∵0αβπ,∴β-,α+β,∴sin0,cosα+β
0.∵cos=,sinα+β=,∴sin=,cosα+β=-.∴cos=cos=cosα+β·cos+sinα+βsin=-×+×=.12.已知函数fx=sinωx+mcosωxω0,m0的最小值为-2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.1求ω和m的值;2若f=,θ∈,求f的值.解析 1易知fx=sinωx+φφ为辅助角,∴fxmin=-=-2,∴m=.由题意知函数fx的最小正周期为π,∴=π,∴ω=
2.2由1得fx=sin2x+cos2x=2sin,∴f=2sin=,∴sin=.∵θ∈,∴θ+∈,∴cos=-=-,∴sinθ=sin=sin·cos-cos·sin=,∴f=2sin=2sin=2cos2θ=21-2sin2θ=2=-.。