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全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第43讲圆的方程优选学案考纲要求考情分析命题趋势
1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置.4.会简单应用空间两点间的距离公式.xx·全国卷Ⅲ,12xx·北京卷,5xx·浙江卷,10求圆的方程,利用圆的性质求解最值.分值5分1.圆的定义及方程定义平面内到!!!!__定点__####的距离等于!!!!__定长__####的点的轨迹叫做圆标准方程x-a2+y-b2=r2r>0圆心C!!!!__a,b__####半径!!!!__r__####一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0圆心半径r=2.点与圆的位置关系1理论依据!!!!__点__####与!!!!__圆心__####的距离与半径的大小关系.2三种情况圆的标准方程x-a2+y-b2=r2,点Mx0,y0,
①x0-a2+y0-b2!!!!__=__####r2⇔点在圆上;
②x0-a2+y0-b2!!!!____####r2⇔点在圆外;
③x0-a2+y0-b2!!!!____####r2⇔点在圆内.3.空间直角坐标系及有关概念1空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴x轴,y轴,z轴.这时建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做!!!!__坐标原点__####,x轴、y轴、z轴统称!!!!__坐标轴__####,由坐标轴确定的平面叫做坐标平面.2右手直角坐标系的含义是当右手拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向时,中指一定指向z轴的!!!!__正方向__####.3空间一点M的坐标为有序实数组x,y,z,记作Mx,y,z,其中x叫做点M的!!!!__横坐标__####,y叫做点M的!!!!__纵坐标__####,z叫做点M的!!!!__竖坐标__####.4设Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2,则|AB|=!!!!____####,AB的中点P的坐标为!!!!____####.1.思维辨析在括号内打“√”或“”.1方程x+a2+y+b2=t2t∈R表示圆心为a,b,半径为t的圆. × 2方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为,半径为的圆. × 3方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>
0. √ 4若点Mx0,y0在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+F
0. √ 5已知点Ax1,y1,Bx2,y2,则以AB为直径的圆的方程是x-x1x-x2+y-y1y-y2=
0. √ 解析 1错误.t≠0时,方程表示圆心为-a,-b,半径为|t|的圆.2错误.a2+2a2-42a2+a-10,即-2a时,方程才表示圆.3正确.当A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF0时,方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,反之也成立.4正确.因为点Mx0,y0在圆外,所以2+2,即x+y+Dx0+Ey0+F
0.5正确.设Mx,y是圆上异于直径端点A,B的点,由·=-1,得x-x1x-x2+y-y1y-y2=
0.显然A,B也满足上式.所以以AB为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=
0.2.已知点A1,-1,B-11,则以线段AB为直径的圆的方程是 A A.x2+y2=2 B.x2+y2=C.x2+y2=1 D.x2+y2=4解析 ∵圆心为00,半径r==,∴圆的方程为x2+y2=
2.3.方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是 B A.-∞,-∪ B.-∞,-2∪2,+∞C.-∞,-∪,+∞ D.-∞,-2∪2,+∞解析 ∵方程表示圆,则m2+-22-4×30,∴m-2或m
2.4.若点11在圆x-a2+y+a2=4的内部,则实数a满足的条件是 A A.-1<a<1 B.0<a<1C.a>1或a<-1 D.a=±1解析 ∵点11在圆内,∴1-a2+1+a24,即-1a
1.5.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,BC=3,M为AC1与CA1的交点,则点M的坐标为!!!! ####.解析 由长方体的几何性质,得M为AC1的中点,在所给的坐标系中,A000,C1232,则中点M的坐标为.一 求圆的方程求圆的方程的方法1方程选择的原则求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系,常选用一般方程.2求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下
①根据题意,选择标准方程或一般方程;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.【例1】根据下列条件,求圆的方程.1经过点A52,B3,-2,且圆心在直线2x-y-3=0上;2经过P-24,Q3,-1两点,并且在x轴上截得的弦长等于6;3圆心在直线y=-4x上,且与直线l x+y-1=0相切于点P3,-2.解析 1由题意知kAB=2,AB中点为40,设圆心Ca,b.∵圆过A52,B3,-2两点,∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.则解得∴C21,∴r=|CA|==,∴所求圆的方程为x-22+y-12=
10.2设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=
0.将P,Q两点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=
0.
③设x1,x2是方程
③的两根,由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,
④由
①②④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=
0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=
0.3如图,设圆心x0,-4x0.依题意得=1,∴x0=1,即圆心坐标为1,-4,半径r=2,故圆的方程为x-12+y+42=
8.二 与圆有关的最值问题1与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.2与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型
①形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
②形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
③形如x-a2+y-b2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【例2】已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=
0.1求y-x的最大值和最小值;2求x2+y2的最大值和最小值;3求的最大值和最小值.解析 方程x2+y2-4x+1=0变形为x-22+y2=3,表示以20为圆心,为半径的圆.1y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.2x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2,所以x2+y2的最大值是2+2=7+4,最小值是2-2=7-
4.3的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±.所以的最大值为,最小值为-.三 与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的方法求解与圆有关的轨迹问题应根据题设条件的不同采用以下方法1直接法直接根据题目提供的条件列出方程.2定义法根据圆、直线等定义列方程.3几何法利用圆的几何性质列方程.4代入法找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.【例3】已知圆x2+y2=4上一定点A20,B11为圆内一点,P,Q为圆上的动点.1求线段AP中点的轨迹方程;2若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.解析 1设AP的中点为Mx,y,由中点坐标公式可知,点P坐标为2x-22y.因为点P在圆x2+y2=4上,所以2x-22+2y2=
4.故线段AP中点的轨迹方程为x-12+y2=
1.2设PQ的中点为Nx,y.在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+x-12+y-12=
4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=
0.四 空间直角坐标系中的对称问题解决空间直角坐标系中点的对称问题的关注点1看清所求问题是关于坐标轴对称还是坐标平面对称,明确哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化.2记清各类对称点坐标间的对称关系,是解决此类问题的关键.3可借助于坐标系中的长方体模型帮助记忆点P关于原点、坐标轴、坐标平面的对称的特点,以便解决其他问题.【例4】如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的对称中心是坐标原点,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面,顶点A-2,-3,-1,求其他七个顶点的坐标.解析 由题意得,点B与点A关于xOz平面对称,故点B的坐标为-23,-1;点D与点A关于yOz平面对称,故点D的坐标为2,-3,-1;点C与点A关于z轴对称,故点C的坐标为23,-1.由于点A1,B1,C1,D1分别与点A,B,C,D关于xOy平面对称,故点A1,B1,C1,D1的坐标分别为A1-2,-31,B1-231C1231D12,-31.1.xx·湖北长阳一中月考已知点A2,-1,-3,点A关于x轴的对称点为点B,则|AB|的值为 D A.4 B.6 C. D.2解析 由题意可知点A关于x轴的对称点B的坐标为213,所以|AB|==
2.故选D.2.xx·河北邢台一中月考已知圆的圆心为2,-3,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是 B A.x2+y2-4x+6y+8=0B.x2+y2-4x+6y=0C.x2+y2-4x-6y=0 D.x2+y2-4x+6y-8=0解析 由题意可设圆的直径两端点坐标为Aa0,B0,b,由圆心坐标可得a=4,b=-6,可求得2R=|AB|=2,∴R=,可得圆的方程为x-22+y+32=13,即x2+y2-4x+6y=
0.故选B.3.已知在圆M x2+y2-4x+2y=0内,过点E10的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为 D A.3 B.6C.4 D.2解析 圆x2+y2-4x+2y=0可化为x-22+y+12=5,圆心M2,-1,半径r=,最长弦为圆的直径,∴AC=
2.∵BD为最短弦,∴AC与BD垂直,易求得ME=,∴BD=2BE=2=
2. ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=BD×EA+BD×EC=BD×EA+EC=BD×AC=×2×2=
2.故选D.4.已知过原点的动直线l与圆C1x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.1求圆C1的圆心坐标;2求线段AB的中点M的轨迹C的方程.解析 1由已知得,圆C1的标准方程为x-32+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为30.2由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2,线段AB的中点Mx0,y0,将y=tx代入圆C1的方程,整理得1+t2x2-6x+5=0,则有x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为x+y=+===3x0,所以2+y=.又因为方程1+t2x2-6x+5=0有两个不相等的实根,所以Δ=36-201+t20,解得t2,且t2≥0,所以x0≤
3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为2+y2=.易错点 忽视圆的方程中的隐含条件致误错因分析忽视圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的隐含条件D2+E2-4F>0而导致错误.【例1】若过点00作圆x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0的切线有两条,则k的取值范围是!!!!______####.解析 因为方程表示圆,所以k2+2k2-42k2+k-1>0,即3k2+4k-4<0,解得-2<k<.
①由题意,得点00在圆外,所以2k2+k-1>0,解得k>或k<-
1.
②由
①②,得-2<k<-1或<k<,故k的取值范围是-2,-1∪.答案 -2,-1∪【跟踪训练1】xx·浙江卷已知a∈R,方程a2x2+a+2y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是!!!!__-2,-4__####,半径是!!!!__5__####.解析 方程a2x2+a+2y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a2=a+2,故a=-1或a=
2.当a=2时,方程4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x2+y2+x+2y+=0,亦即2+y+12=-,不成立,故舍去;当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即x+22+y+42=25,故圆心为-2,-4,半径为
5.课时达标 第43讲[解密考纲]对圆的方程的考查以选择题、填空题的形式出现.
一、选择题1.圆x-12+y-22=1关于直线y=x对称的圆的方程为 A A.x-22+y-12=1 B.x+12+y-22=1C.x+22+y-12=1 D.x-12+y+22=1解析 设对称圆的方程为x-a2+y-b2=1,圆心12关于直线y=x的对称点为21,故对称圆的方程为x-22+y-12=
1.故选A.2.圆心在y轴上,半径长为1,且过点12的圆的方程是 A A.x2+y-22=1B.x2+y+22=1C.x-12+y-32=1D.x2+y-32=1解析 设圆心坐标为0,a,则=1,∴a=2,故圆的方程为x2+y-22=
1.3.以10为圆心,且与直线3x+4y=0相切的圆的方程为 C A.x2+2=B.x2+y-12=C.x-12+y2=D.x-22+y2=解析 由已知得圆的半径长等于点10到直线3x+4y=0的距离,即r==,所以所求圆的方程为x-12+y2=.4.已知两点A-20,B02,点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值是 A A.3- B.3+C.3- D.解析 圆的标准方程为x-12+y2=1,直线AB的方程为x-y+2=0,圆心10到直线AB的距离d==,则点C到直线AB的最短距离为-
1.又因为|AB|=2,所以△ABC面积的最小值为×2×=3-.5.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0,则x-2y的最大值为 B A. B.10C.9 D.5+2解析 原方程可化为x-12+y+22=5,表示以1,-2为圆心,为半径的圆.设x-2y=b,则x-2y可看作直线x-2y=b在x轴上的截距,当直线与圆相切时,b取得最大值或最小值,此时=,∴b=10或b=0,∴x-2y的最大值是
10.6.设双曲线-=1a0,b0的离心率e=,右焦点Fc0,方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点Px1,x2与圆x2+y2=8的位置关系为 C A.点P在圆外 B.点P在圆上C.点P在圆内 D.不确定解析 ∵e2=1+2=2,∴2=1,∴=1,∴a=b,c=a,∴方程ax2-bx-c=0可化为x2-x-=
0.∴x1+x2=1,x1·x2=-.∴x+x=x1+x22-2x1x2=1+28,∴点P在圆内.故选C.
二、填空题7.圆心在直线2x-y=3上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是!!!!__x-32+y-32=9或x-12+y+12=1__####.解析 依题意设圆心为a2a-3,因为圆与两坐标轴均相切,所以|a|=|2a-3|,解得a=1或a=3,即r=1或3,故圆的标准方程为x-32+y-32=9或x-12+y+12=
1.8.若圆C与圆x2+y2+2x=0关于直线x+y-1=0对称,则圆C的方程是!!!!__x2+y2-2x-4y+4=0__####.解析 设Ca,b,因为已知圆的圆心为A-10,由点A,C关于直线x+y-1=0对称,得解得又因为圆的半径是1,所以圆C的方程是x-12+y-22=1,即x2+y2-2x-4y+4=
0.9.若过点Pa,a可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是!!!! -∞,-3∪ ####.解析 圆的方程可化为x-a2+y2=3-2a.因为过点Pa,a能作圆的两条切线,所以点P在圆的外部,即解得a-3或1a.故a的取值范围为-∞,-3∪.
三、解答题10.已知△ABC的顶点坐标分别为A-15,B-2,-1,C43,M是BC的中点.1求AB边所在直线的方程;2求以线段AM为直径的圆的方程.解析 1因为A-15,B-2,-1,所以由两点式得AB的方程为=,整理得6x-y+11=
0.2因为M是BC的中点,所以M,即M11,所以|AM|==2,所以圆的半径为.所以AM的中点为,即中点为03,所以以线段AM为直径的圆的方程为x2+y-32=
5.11.一圆经过A42,B-13两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2,求此圆的方程.解析 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=
0.令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.由题意知-D-E=2,即D+E+2=
0.
①又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0,
②1+9-D+3E+F=0,
③解
①②③组成的方程组得D=-2,E=0,F=-
12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=
0.12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为
2.1求圆心P的轨迹方程;2若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.解析 1设Px,y,圆P的半径为r,则y2+2=r2,x2+3=r
2.∴y2+2=x2+3,即y2-x2=
1.∴点P的轨迹方程为y2-x2=
1.2设P的坐标为x0,y0,则=,即|x0-y0|=
1.∴y0-x0=±1,即y0=x0±
1.
①当y0=x0+1时,由y-x=1,得x0+12-x=
1.∴∴r2=
3.∴圆P的方程为x2+y-12=
3.
②当y0=x0-1时,由y-x=1,得x0-12-x=
1.∴∴r2=
3.∴圆P的方程为x2+y+12=
3.综上所述,圆P的方程为x2+y±12=
3.。