还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
第二章推理与证明章末检测试卷二时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.根据偶函数定义可推得“函数fx=x2在R上是偶函数”的推理过程是 A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.以上答案都不是考点 演绎推理的含义及方法题点 判断推理是否为演绎推理答案 C解析 根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理,故选C.2.设{an},{bn}是两个等差数列,若cn=an+bn,则{cn}也是等差数列,类比上述性质,设{sn},{tn}是等比数列,则下列说法正确的是 A.若rn=sn+tn,则{rn}是等比数列B.若rn=sntn,则{rn}是等比数列C.若rn=sn-tn,则{rn}是等比数列D.以上说法均不正确考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比答案 B解析 在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时,加减运算类比推理为乘除运算,累加类比为累乘.故由“{an},{bn}是两个等差数列,若cn=an+bn,则{cn}是等差数列”,类比推理可得“设{sn},{tn}是等比数列,若rn=sntn,则{rn}是等比数列”.故选B.3.设a,b,c都是非零实数,则关于a,bc,ac,-b四个数,有以下说法
①四个数可能都是正数;
②四个数可能都是负数;
③四个数中既有正数又有负数.则说法中正确的个数是 A.0B.1C.2D.3考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 B解析 可用反证法推出
①②不正确,
③正确.4.下列推理正确的是 A.把ab+c与logax+y类比,则有logax+y=logax+logayB.把ab+c与sinx+y类比,则有sinx+y=sinx+sinyC.把ab+c与ax+y类比,则有ax+y=ax+ayD.把a+b+c与xyz类比,则有xyz=xyz考点 类比推理题点 类比推理的方法、形式和结论答案 D解析 xyz=xyz是乘法的结合律,正确.5.已知“整数对”按如下规律排列11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,…,则第70个“整数对”为 A.39B.48C.310D.49考点 归纳推理题点 归纳推理在数对组中的应用答案 D解析 因为1+2+…+11=66,所以第67个“整数对”是112,第68个“整数对”是211,第69个“整数对”是310,第70个“整数对”是49,故选D.6.求证+.证明因为+和都是正数,所以为了证明+,只需证明+22,展开得5+25,即证20,此式显然成立,所以不等式+成立.上述证明过程应用了 A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题答案 B解析 证明过程中的“为了证明…”,“只需证明…”这样的语句是分析法所特有的,是分析法的证明模式.7.某同学在纸上画出如下若干个三角形△▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲……若依此规律,得到一系列的三角形,则在前2015个三角形中▲的个数是 A.62B.63C.64D.61考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 A解析 前n个▲中所包含的所有三角形的个数是1+2+3+…+n+n=,由=2015,解得n=
62.8.若数列{an}是等比数列,则数列{an+an+1} A.一定是等比数列B.一定是等差数列C.可能是等比数列也可能是等差数列D.一定不是等比数列考点 归纳推理题点 归纳推理在数列中的应用答案 C解析 设等比数列{an}的公比为q,则an+an+1=an1+q.∴当q≠-1时,{an+an+1}一定是等比数列;当q=-1时,an+an+1=0,此时为等差数列.9.已知a+b+c=0,则ab+bc+ca的值 A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0考点 合情推理的应用题点 合情推理在不等式中的应用答案 D解析 方法一 ∵a+b+c=0,∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0,∴ab+ac+bc=-≤
0.方法二 令c=0,若b=0,则ab+bc+ac=0,否则a,b异号,∴ab+bc+ac=ab0,排除A,B,C,故选D.10.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3nna-b+c对一切n∈N*都成立,那么a,b,c的值为 A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c考点 合情推理的应用题点 合情推理在数列中的应用答案 A解析 令n=123,得所以a=,b=c=.11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2ann∈N*,可归纳猜想出Sn的表达式为 A.Sn=B.Sn=C.Sn=D.Sn=考点 归纳推理题点 归纳推理在数列中的应用答案 A解析 由a1=1,得a1+a2=22a2,∴a2=,S2=;又1++a3=32a3,∴a3=,S3==;又1+++a4=16a4,得a4=,S4=.由S1=,S2=,S3=,S4=,可以猜想Sn=.12.设函数fx的定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=fxn,则x2016等于 A.1B.2C.4D.5考点 归纳推理题点 归纳推理在数列中的应用答案 D解析 x1=fx0=f5=2,x2=f2=1,x3=f1=4,x4=f4=5,x5=f5=2,…,数列{xn}是周期为4的数列,所以x2016=x4=5,故选D.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知x,y∈R,且x+y2,则x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为________.考点 反证法及应用题点 如何正确进行反设答案 x,y都大于1解析 “至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“x,y都大于1”.14.已知a0,b0,m=lg,n=lg,则m,n的大小关系是________.考点 合情推理与演绎推理题点 合情推理与演绎推理答案 mn解析 ab0⇒0⇒a+b+2a+b⇒+22⇒+⇒⇒lglg.15.已知=2,=3,=4,…,=6,a,b均为正实数,由以上规律可推测出a,b的值,则a+b=________.考点 归纳推理题点 归纳推理在数阵表中的应用答案 41解析 由题意归纳推理得=6,b=62-1=35,a=
6.∴a+b=6+35=
41.
16.现有一个关于平面图形的命题如图,同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为________.考点 类比推理题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 解析 解法的类比特殊化,易得两个正方体重叠部分的体积为.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分用综合法或分析法证明1如果a,b0,则lg≥;26+2+
2.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 1当a,b0时,有≥,∴lg≥lg,∴lg≥lgab=.2要证+2+2,只要证+22+22,即证22,这是显然成立的,∴原不等式成立.18.12分若a10,a1≠1,an+1=n=12,….1求证an+1≠an;2令a1=,写出a2,a3,a4,a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an不要求证明.考点 反证法及应用题点 反证法的应用1证明 若an+1=an,即=an,解得an=0或
1.从而an=an-1=…=a2=a1=0或1,这与题设a10,a1≠1相矛盾,所以an+1=an不成立.故an+1≠an成立.2解 由题意得a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,由此猜想an=.19.12分已知函数fx=x2-2x.1当x∈时,求函数fx的值域;2若定义在R上的奇函数gx对任意实数x,恒有gx+4=gx,且当x∈
[02]时,gx=fx,求g1+g2+…+g2017的值.考点 合情推理与演绎推理题点 合情推理与演绎推理解 1fx=x2-2x=x-12-1,∵x∈,∴当x=1时,fxmin=-1;当x=3时,fxmax=
3.即当x∈时,函数fx的值域是[-13].2由gx+4=gx可得,函数gx的周期T=4,g1=f1=-1,g2=f2=0,g3=g-1=-g1=1,g4=g0=f0=0,∴g1+g2+g3+g4=0,故g1+g2+…+g2017=g1+504×0=-
1.20.12分如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=3,AB=4,AC=CC1=5,M,N分别是A1B,B1C1的中点.1求证MN∥平面ACC1A1;2求点N到平面MBC的距离.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题1证明 如图,连接AC1,AB1,∵该三棱柱是直三棱柱,∴AA1⊥A1B1,则四边形ABB1A1为矩形,由矩形性质得AB1过A1B的中点M,在△AB1C1中,由中位线性质得MN∥AC1,又MN⊄平面ACC1A1,AC1⊂平面ACC1A1,∴MN∥平面ACC1A
1.2解 ∵BC=3,AB=4,AC=CC1=5,∴AB⊥BC,又∵BB1⊥BC,AB∩BB1=B,AB,BB1⊂平面ABB1A1,∴BC⊥平面ABB1A1,同理AB⊥平面BCC1B1,又∵BM⊂平面ABB1A1,∴BC⊥BM,∴S△NBC=×BC×BB1=×3×5=,∴S△MBC=×BC×BM=×3×=,又点M到平面BCN的距离为h′=AB=2,设点N到平面MBC的距离为h,由V三棱锥M-NBC=V三棱锥N-MBC,可得S△NBC·h′=S△MBC·h,即××2=××h,解得h=,即点N到平面MBC的距离为.21.12分某同学在研究相邻三个正整数的算术平方根之间的关系时,发现以下三个式子均是正确的
①+2;
②+2;
③+
2.1已知∈
1.
411.42,∈
1.
731.74,∈
2.23,
2.24,请从以上三个式子中任选一个,结合此范围,验证其正确性注意不能近似计算;2请将此规律推广至一般情形,并证明.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对组的应用解 1验证
①式成立∵
1.74,∴+
2.74,∵
1.41,∴
22.82,∴+
2.2一般结论为若n∈N*,则+2,证明如下要证+2,只需证+222,即证2n+2+2·4n+4,即证·n+1,只需证nn+2n2+2n+1,即证01,显然成立.故+
2.22.12分已知函数fx=ex+1-kx-2k其中e是自然对数的底数,k∈R.1讨论函数fx的单调性;2当函数fx有两个零点x1,x2时,证明x1+x2-
2.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题1解 因为f′x=ex+1-k,当k0时,令f′x=0,得x=lnk-1,所以当x∈-∞,lnk-1时,f′x0,当x∈lnk-1,+∞时,f′x0,所以函数fx在区间-∞,lnk-1上单调递减,在区间lnk-1,+∞上单调递增;当k≤0时,f′x=ex+1-k0恒成立,故此时函数fx在R上单调递增.2证明 当k≤0时,由1知函数fx单调递增,不存在两个零点,所以k0,设函数fx的两个零点为x1,x2,且x1x2,则=kx1+2,=kx2+2,所以x1+20,x2+20,所以x1-x2=ln,设=t,则t1,且解得x1+2=,x2+2=,所以x1+x2+4=,欲证x1+x2-2,只需证明2,即证t+1lnt-2t-10,设gt=t+1lnt-2t-1,t1,所以g′t=lnt+t+1-2=lnt+-1,设ht=lnt+-1,所以h′t=-0,ht单调递增,所以g′tg′1=0,所以gt在区间1,+∞上单调递增,所以gtg1=0,所以2,故x1+x2-2成立.x12345fx41352。