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第二章推理与证明章末检测试卷二时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分1.自然数是整数,4是自然数,所以4是整数,以上三段论推理 A.正确B.推理形式不正确C.两个“自然数”概念不一致D.“两个整数”概念不一致答案 A解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的.2.已知=2,=3,=4,…,若=aa,t均为正实数,类比以上等式,可推测a,t的值,则t-a等于 A.31B.41C.55D.71答案 B解析 观察下列等式=2,=3,=4,…,照此规律,第6个等式中a=7,t=a2-1=48,∴t-a=
41.故选B.3.观察下列各等式+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为 A.+=2B.+=2C.+=2D.+=2答案 A解析 观察分子中2+6=5+3=7+1=10+-2=
8.4.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是 A.假设是有理数B.假设是有理数C.假设或是有理数D.假设+是有理数答案 D解析 应对结论进行否定,则+不是无理数,即+是有理数.5.下列推理正确的是 A.把ab+c与logax+y类比,则有logax+y=logax+logayB.把ab+c与sinx+y类比,则有sinx+y=sinx+sinyC.把ab+c与ax+y类比,则有ax+y=ax+ayD.把a+b+c与xyz类比,则有xyz=xyz答案 D解析 xyz=xyz是乘法的结合律,正确.6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有
①两个球体;
②两个长方体;
③两个正四面体;
④两个正三棱柱;
⑤两个正四棱锥.A.4个B.3个C.2个D.1个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知,
①③属于相似体.7.求证+,证明因为+和都是正数,所以为了证明+,只需证明+22,展开得5+25,即20,此式显然成立,所以不等式+成立.上述证明过程应用了 A.综合法B.分析法C.综合法及分析法D.间接证法答案 B解析 从证明过程可以看出,符合分析法的特点.8.已知fx+1=,f1=1x∈N+,猜想fx的表达式为 A.B.C.D.答案 B解析 当x=1时,f2===,当x=2时,f3===,当x=3时,f4===,故可猜想fx=,故选B.9.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说丙被录用了;乙说甲被录用了;丙说我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列说法正确的是 A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 C解析 假设甲说的是真话,即丙被录用,则乙说的是假话,丙说的是假话,不成立;假设甲说的是假话,即丙没有被录用,则丙说的是真话,若乙说的是真话,即甲被录用,成立,故甲被录用;若乙被录用,则甲和乙的说法都错误,不成立.故选C.10.设a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断
①a-b2+b-c2+c-a2≠0;
②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立;
③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数为 A.0B.1C.2D.3考点 合情推理的含义题点 合情推理的含义答案 B解析 若a-b2+b-c2+c-a2=0,则a=b=c,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,故
①正确.a=b与b=c及a=c中最多只能有一个成立,故
②不正确.由于“a,b,c是不全相等的正数”,有两种情形有两个数相等或三个数都互不相等,故
③不正确.11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]其中[x]表示不大于x的最大整数可以表示为 A.y=B.y=C.y=D.y=答案 C解析 根据规定每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表,即余数分别为789时,可增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3,因此,利用取整函数可表示为y=.12.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点算第1层,第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为 A.6B.7C.8D.9答案 C解析 由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第nn≥2,n∈N+层的点数为6n-1.设一个点阵有nn≥2,n∈N+层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6n-1=1+×n-1=3n2-3n+
1.由题意得3n2-3n+1=169,即n+7·n-8=0,所以n=8,故共有8层.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.已知a0,b0,m=lg,n=lg,则m,n的大小关系是________.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 mn解析 ab0⇒0⇒a+b+2a+b⇒+22⇒+⇒⇒lglg.14.观察下列等式1+1=2×1,2+12+2=22×1×3,3+13+23+3=23×1×3×5,…,照此规律,第n个等式可为______________.答案 n+1n+2…n+n=2n×1×3×…×2n-1解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第n个等式左边为n+1n+2·…·n+n;由已知的三个等式右边的变化规律,得第n个等式右边为2n与n个奇数之积,即2n×1×3×…×2n-1.15.已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上一点Mx0,y0的切线方程为x0x+y0y=r2,类比上述性质,可以得到椭圆+=1类似的性质为_____________________________________.答案 +=1解析 圆的性质中,经过圆上一点Mx0,y0的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用Mx0,y0的横坐标与纵坐标替换,故可得椭圆+=1类似的性质为过椭圆+=1上一点Px0,y0的切线方程为+=
1.16.有三张卡片,分别写有1和21和32和
3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.答案 1和3解析 由丙说“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”.又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”.所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,得甲只能为“1和3”.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,{an}有如下性质m,n,p,q∈N+
①通项an=am+n-md;
②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
③若m+n=2p,则am+an=2ap;
④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列.类比上述性质,在等比数列{bn}中,写出类似的性质.解 在等比数列{bn}中,公比为λλ≠0,前n项和为Sn′,{bn}有如下性质m,n,p,q∈N+
①通项bn=bm·λn-m;
②若m+n=p+q,则bm·bn=bp·bq;
③若m+n=2p,则bm·bn=b;
④Sn′,S2n′-Sn′,S3n′-S2n′Sn′≠0构成等比数列.18.12分已知实数p满足不等式2p+1p+20,用反证法证明关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.证明 假设方程x2-2x+5-p2=0有实数根,则该方程的根的判别式Δ=4-45-p2≥0,解得p≥2或p≤-
2.
①而由已知条件实数p满足不等式2p+1p+20,解得-2p-.
②数轴上表示
①②的图形无公共部分,故假设不成立,从而关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根.19.12分已知a,b,c均为正数,且a+b+c=
1.求证≥
8.证明 要证≥8成立,只需证··≥8成立.∵a+b+c=1,∴只需证··≥8成立,即··≥8,∴只需证··≥··≥8成立,而··≥8显然成立,∴≥8成立.20.12分已知A,B都是锐角,且A+B≠90°,1+tanA·1+tanB=
2.求证A+B=45°.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题证明 因为1+tanA1+tanB=2,展开化简为tanA+tanB=1-tanAtanB.因为A+B≠90°,tanA+B==1,又因为A,B都是锐角,所以0°A+B180°,所以A+B=45°.21.12分某同学在研究三角形的性质时,发现了有些三角形的三边长有以下规律
①33×4+4×5+5×3≤3+4+5243×4+4×5+5×3;
②36×8+8×9+9×6≤6+8+9246×8+8×9+9×6;
③33×4+4×6+6×3≤3+4+6243×4+4×6+6×3.分析以上各式的共同特征,猜想出关于任一三角形三边长a,b,c的一般性的不等式结论并证明.解 猜想3ab+ac+bc≤a+b+c24ab+ac+bc;证明如下a+b+c2-3ab+ac+bc=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc-3ab-3ac-3bc=a2+b2+c2-ab-ac-bc=a-b2+a-c2+b-c2≥
0.所以3ab+ac+bc≤a+b+c2;4ab+ac+bc-a+b+c2=4ab+4ac+4bc-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc=2ab+2ac+2bc-a2-b2-c2=ab+c-a+ba+c-b+ca+b-c.
①因为三角形两边之和大于第三边,所以
①式
0.所以4ab+ac+bca+b+c
2.所以3ab+ac+bc≤a+b+c24ab+ac+bc.22.12分设{an}是公比为q的等比数列.1推导数列{an}的前n项和公式;2设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.考点 反证法及应用题点 反证法的应用1解 设数列{an}的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,
②由
①-
②得,1-qSn=a1-a1qn,所以Sn=,综上所述,Sn=2证明 假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,ak+1+12=ak+1ak+2+1,a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,因为a1≠0,所以2qk=qk-1+qk+
1.因为q≠0,所以q2-2q+1=0,所以q=1,这与已知矛盾.所以假设不成立,故数列{an+1}不是等比数列.。