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文本内容:
一 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理.
2.了解数学归纳法的使用范围.
3.会用数学归纳法证明一些简单问题.1.数学归纳法的定义一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤1证明当n=n0时命题成立.2假设当n=kk∈N+且k≥n0时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.2.数学归纳法的步骤1归纳奠基验证当n=n0n0为命题成立的起始自然数时命题成立;2归纳递推假设当n=kk∈N+,且k≥n0时命题成立,推导n=k+1时命题也成立.3结论由12可知,命题对一切n≥n0的自然数都成立.1.判断正确的打“√”,错误的打“×”1归纳法的特点是由一般到特殊. 2在运用数学归纳法时,要注意起点n一定取
1. 3数学归纳法得出的结论都是正确的. 4数学归纳法中的两个步骤,第一步是归纳基础,第二步是归纳递推,两者缺一不可. 5数学归纳法第二步不需要假设也可以得出结论. 答案1× 2× 3√ 4√ 5×2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证 A.n=1成立 B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立答案C3.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n+3=,当n=1时,左边应为________.解析因为当n=1时,n+3=
4.所以左边应为1+2+3+
4.答案1+2+3+4 用数学归纳法证明恒等式[学生用书P54] 用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+n≥1,n∈N+.【证明】 1当n=1时,左边=1-=,右边=,命题成立.2假设当n=kk≥1,k∈N+时等式成立,即1-+-+…+-=++…+.当n=k+1时,左边=1-+-+…+-+-=++…++-=++…++,即当n=k+1时等式也成立.由1和2知,等式对一切n≥1,n∈N+均成立.利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点一是要准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点,并且一定要记住在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
1.用数学归纳法证明n∈N+时,++…+=.证明
①当n=1时,左边=,右边==,左边=右边,所以等式成立.
②假设n=kk≥1,k∈N+时,等式成立,即有++…+=,则当n=k+1时,++…++=+====.所以n=k+1时,等式也成立.由
①②可知,对一切n∈N+等式都成立.2.已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1n≥2,n∈N+.1求a2,a3;2求证an=.解1由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=
13.2证明用数学归纳法证明
①当n=1时,a1=1=,所以等式成立.
②假设n=kk∈N+,k≥1时等式成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1=ak+3k=+3k==.即n=k+1时,等式也成立.由
①②知等式对n∈N+都成立. 用数学归纳法证明整除问题[学生用书P55] 用数学归纳法证明x+1n+1+x+22n-1n∈N+能被x2+3x+3整除.【证明】
①当n=1时,x+11+1+x+22×1-1=x2+3x+3能被x2+3x+3整除,命题成立.
②假设当n=kk≥1,k∈N+时,x+1k+1+x+22k-1能被x2+3x+3整除,那么x+1k+1+1+x+22k+1-1=x+1x+1k+1+x+22·x+22k-1=x+1x+1k+1+x+1x+22k-1-x+1·x+22k-1+x+22x+22k-1=x+1[x+1k+1+x+22k-1]+x2+3x+3·x+22k-
1.因为x+1k+1+x+22k-1和x2+3x+3都能被x2+3x+3整除,所以上面的式子也能被x2+3x+3整除.这就是说,当n=k+1时,x+1k+1+1+x+22k+1-1也能被x2+3x+3整除.根据
①②可知,命题对任何n∈N+都成立.用数学归纳法证明整除问题的关键点1用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论,从而利用归纳假设使问题获证.2与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明,其中关键问题是从n=k+1时的表达式中分解出n=k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式. 用数学归纳法证明对于整数n≥0,An=11n+2+122n+1能被133整除.证明1当n=0时,A0=112+12=133能被133整除.当n=1时,A1=113+123=133×23,能被133整除.2假设n=kk≥1,k∈N+时,Ak=11k+2+122k+1能被133整除.当n=k+1时,Ak+1=11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1=11·11k+2+11·122k+1+122-11·122k+1=11·11k+2+122k+1+133·122k+
1.所以n=k+1时,命题也成立.根据12,对于任意整数n≥0,命题都成立. 用数学归纳法证明几何命题[学生用书P55] 平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆把平面分成了fn=n2-n+2部分.【证明】
①当n=1时,一个圆把平面分成两部分,且f1=1-1+2=2,因此,n=1时命题成立.
②假设n=kk≥1,k∈N+时,命题成立,即k个圆把平面分成fk=k2-k+2部分.如果增加一个满足条件的任一个圆,则这个圆必与前k个圆交于2k个点.这2k个点把这个圆分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分成为两部分.因此,这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分,即有fk+1=fk+2k=k2-k+2+2k=k+12-k+1+2,即当n=k+1时,fn=n2-n+2也成立.根据
①②可知n个圆把平面分成了fn=n2-n+2部分.利用数学归纳法证明几何问题的技巧1几何问题常常是先探索出满足条件的公式,然后加以证明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,…,猜出一般结论.2数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n=k与n=k+1时二者的差异,这时常常借助于图形的直观性,然后用数学式子予以描述,建立起fk与fk+1之间的递推关系,实在分析不出的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可.3利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式,还要注意结论要有必要的文字说明. 平面上有nn≥2,且n∈N+条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条不过同一点.求证这n条直线共有fn=个交点.证明
①当n=2时,两直线只有1个交点,又f2=×2×2-1=
1.所以当n=2时,命题成立.
②假设当n=kk≥2且k∈N+时命题成立,就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为fk=kk-1,则当n=k+1时,任取其中一条直线记为l,由归纳假设知,剩下的k条直线l1,l2,…,lk的交点个数为fk=.由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,所以直线l与l1,l2,l3,…,lk的交点共有k个.所以fk+1=fk+k=+k===.所以当n=k+1时,命题成立.由
①②可知,命题对一切n∈N+且n≥2均成立.1.数学归纳法的适用范围数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.2.数学归纳法中两步的作用在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推理的延续性.3.运用数学归纳法的关键运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析pk与pk+1的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手段,或从归纳假设出发,从pk+1中分离出pk再进行局部调整.1.求证1+++…+=n∈N+.证明1当n=1时,左边=1,右边==1,所以左边=右边,等式成立.2假设当n=kk≥1,k∈N+时等式成立,即1+++…+=.当n=k+1时,1+++…++=+=+==.这就是说,当n=k+1时,等式也成立.由12可知,对任何n∈N+,等式都成立.2.求证Sn=n3+n+13+n+23n∈N+能被9整除.证明1当n=1时,S1=1+8+27=4×9,能被9整除.2假设当n=kk≥1,n∈N+时,Sn能被9整除,即Sk=k3+k+13+k+23能被9整除.当n=k+1时,Sk+1=k+13+k+23+k+33=k3+k+13+k+23+9k2+27k+27=Sk+9k2+3k+3.因为Sk能被9整除,9k2+3k+3能被9整除,所以Sk+1能被9整除.即当n=k+1时,Sn能被9整除.由12知,对n∈N+,Sn能被9整除.故由1和2得,对n≥2,n∈N+,等式恒成立.。