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课时跟踪检测三简单曲线的极坐标方程
一、选择题1.极坐标方程ρ=sinθ+cosθ表示的曲线是 A.直线 B.圆C.椭圆D.抛物线解析选B 极坐标方程ρ=sinθ+cosθ即ρ2=ρ·sinθ+cosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=x+y,配方得2+2=,表示的曲线是以为圆心,为半径的圆.故选B.2.如图,极坐标方程ρ=2sin的图形是 解析选C 圆ρ=2sin是由圆ρ=2sinθ绕极点按顺时针方程旋转而得,圆心的极坐标为,故选C.3.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是 A.B.C.10D.1,π解析选B 由ρ=-2sinθ得ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,即x2+y+12=1,圆心坐标为0,-1,其对应的极坐标为.故选B.4.在极坐标系中,点到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为 A.2B.C.D.解析选D 极坐标系中的点化为平面直角坐标系中的点为1,,极坐标系中的圆ρ=2cosθ化为平面直角坐标系中的圆为x2+y2=2x,即x-12+y2=1,其圆心为10.所求两点间的距离为=.故选D.
二、填空题5.把圆的普通方程x2+y-22=4化为极坐标方程为________.解析圆的方程x2+y-22=4化为一般方程为x2+y2-4y=0,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-4ρsinθ=0,即ρ=4sinθ.答案ρ=4sinθ6.曲线C的极坐标方程为ρ=3sinθ,则曲线C的直角坐标方程为________.解析由ρ=3sinθ,得ρ2=3ρsinθ,故x2+y2=3y,即所求方程为x2+y2-3y=
0.答案x2+y2-3y=07.在极坐标系中,若过点A30且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A,B两点,则|AB|=________.解析由题意知,直线方程为x=3,曲线方程为x-22+y2=4,将x=3代入圆的方程,得y=±,则|AB|=
2.答案2
三、解答题8.把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.1x2+y2+2x=0;2ρ=cosθ-2sinθ;3ρ2=cos2θ.解1∵x2+y2+2x=0,∴ρ2+2ρcosθ=0,∴ρ=-2cosθ.2∵ρ=cosθ-2sinθ,∴ρ2=ρcosθ-2ρsinθ,∴x2+y2=x-2y,即x2+y2-x+2y=
0.3∵ρ2=cos2θ,∴ρ4=ρ2cos2θ=ρcosθ2∴x2+y22=x2,即x2+y2=x或x2+y2=-x.9.过极点O作圆Cρ=8cosθ的弦ON,求弦ON的中点M的轨迹方程.解法一代入法设点Mρ,θ,Nρ1,θ1.因为点N在圆ρ=8cosθ上,所以ρ1=8cosθ
1.因为点M是ON的中点,所以ρ1=2ρ,θ1=θ,所以2ρ=8cosθ,所以ρ=4cosθ.所以点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.法二定义法如图,圆C的圆心C40,半径r=|OC|=4,连接CM.因为M为弦ON的中点,所以CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上,所以动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ.10.若圆C的方程是ρ=2asinθ,求1关于极轴对称的圆的极坐标方程;2关于直线θ=对称的圆的极坐标方程.解法一设所求圆上任意一点M的极坐标为ρ,θ.1点Mρ,θ关于极轴对称的点为ρ,-θ,代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin-θ,即ρ=-2asinθ为所求.2点Mρ,θ关于直线θ=对称的点为,代入圆C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin,即ρ=-2acosθ为所求.法二由圆的极坐标方程ρ=2asinθ得ρ2=2ρasinθ,利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=,化为直角坐标方程为x2+y2=2ay,即x2+y-a2=a2,故圆心为C0,a,半径为|a|.1关于极轴对称的圆的圆心为0,-a,圆的方程为x2+y+a2=a2,即x2+y2=-2ay,所以ρ2=-2ρasinθ,故ρ=-2asinθ为所求.2由θ=得tanθ=-1,故直线θ=的直角坐标方程为y=-x.圆x2+y-a2=a2关于直线y=-x对称的圆的方程为-y2+-x-a2=a2,即x+a2+y2=a2,于是x2+y2=-2ax,所以ρ2=-2ρacosθ.故此圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ.。