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阶段质量检测
(一)时间90分钟,总分120分
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.极坐标方程ρ-1θ-π=0ρ≥0表示的图形是 A.两个圆 B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线解析选C 因为ρ-1θ-π=0,所以ρ=1或θ=π,ρ=1表示以极点为圆心、半径为1的圆,θ=π表示由极点出发的一条射线,所以C选项正确.2.已知曲线C的极坐标方程ρ=2cos2θ,给定两点P,Q,则有 A.P在曲线C上,Q不在曲线C上B.P,Q都不在曲线C上C.P不在曲线C上,Q在曲线C上D.P,Q都在曲线C上解析选C 当θ=时,ρ=2cosπ=-2≠0,故点P不在曲线上;当θ=π时,ρ=2cos2π=2,故点Q在曲线上.3.空间直角坐标系中的点,,1关于z轴对称的点的柱坐标为 A.B.C.D.解析选C 空间直角坐标系中的点,,1关于z轴对称的点的坐标为M-,-,1.设点M的柱坐标为ρ,θ,zρ≥00≤θ2π,z∈R,则ρ==2,∵tanθ==1,又x0,y0,∴tanθ=,∴M的柱坐标为.4.在同一坐标系中,将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是 A.B.C.D.解析选B 将代入y=sinx,得μy=sinλx,即y=sinλx,与y=2sin3x比较,得λ=3,μ=,即变换公式为5.极坐标方程ρ=2cosθ-4sinθ对应的直角坐标方程为 A.x-12+y+22=5B.x-12+y-22=5C.x-22+y-12=5D.x+12+y+2=5解析选A ρ=2cosθ-4sinθ即ρ2=2ρcosθ-4ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=2x-4y,即x2+y2-2x+4y=0,也即x-12+y+22=5,故选A.6.已知点M的极坐标为,下列给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是 A.B.C.D.解析选A 因为-≠2n+1π+n∈Z.所以点A不能表示点M.因为=π+,-=-π+,-=-2π+.所以B,C,D都能表示点M.7.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ=的图形是 解析选B 把ρcosθ=化为直角坐标方程,得x=,把ρ=cosθ化为直角坐标方程,得x2+y2-x=0,即其圆心为,半径为,故选项B正确.8.在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为 A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2C.ρcosθ=4D.ρcosθ=-4解析选B 如图所示,CO⊥Ox,OA为⊙C的直径,且|OA|=4,l和圆C相切,且l交极轴于点B20,设点Pρ,θ为l上任意一点,则有cosθ=,即ρcosθ=2,故所求直线的极坐标方程为ρcosθ=
2.9.在极坐标系中,点到直线ρsin=4的距离为 A.1B.2C.3D.4解析选B 点的直角坐标为,即-,1,因为ρsin=ρ=y-x=4,所以直线的普通方程为x-y+8=0,由点到直线的距离公式得d==2,故选B.10.在极坐标系中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=ρ∈R距离的最大值为 A.-4B.-7C.1D.6解析选D ρ=8sinθ即ρ2=8ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+y2=8y,x2+y-42=
16.可得圆心为C04,半径r=
4.直线θ=ρ∈R化为直角坐标方程为y=x.圆心C到直线的距离d==2,因此圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=ρ∈R距离的最大值为2+4=
6.
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上11.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为,则|CP|=________.解析由圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,得圆心C的直角坐标为20,点P的直角坐标为22,所以|CP|=
2.答案212.已知点A的直角坐标为,则它的球坐标为________.解析r==6,cosφ==,∴φ=.∵tanθ==,x0,y0,∴θ=.∴它的球坐标为.答案13.在极坐标系中,点A关于直线lρcosθ=1的对称点的一个极坐标为________.解析由直线l的方程可知直线l过点10且与极轴垂直,设A′是点A关于l的对称点,则四边OBA′A是正方形,∠BOA′=,且OA′=2,故A′的极坐标是.答案14.从极点作圆ρ=2acosθ的弦,则各条弦中点的轨迹方程为________.解析数形结合,易知所求轨迹是以为圆心,为半径的圆,求得方程是ρ=acosθ.答案ρ=acosθ
三、解答题本大题共4个小题,满分50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分12分在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解∵点P,∴x=cos=1,y=sin=1,∴点P的直角坐标为11.∵ρsin=-展开得ρsinθ-ρcosθ=-,∴y-x=-,令y=0,得x=1,∴直线与x轴的交点坐标为C10.∴圆C的半径r=|PC|==
1.∴圆C的直角坐标方程为x-12+y2=1,即x2-2x+y2=0,化为极坐标方程得ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.16.本小题满分12分已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=
2.1把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;2求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解1由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=
4.因为ρ2-2ρcos=2,所以ρ2-2ρcosθcos+sinθsin=2,所以x2+y2-2x-2y-2=
0.所以圆O1和圆O2的直角坐标方程分别为x2+y2=4,x2+y2-2x-2y-2=
0.2将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=
1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,即ρsin=.17.本小题满分12分在极坐标系中,已知A,B为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标ρ≥00≤θ2π.解法一对于点A有ρ=2,θ=,所以x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=,所以点A的直角坐标为,.对于B有ρ=2,θ=,所以x=2cos=-,y=2sin=-.所以点B的直角坐标为-,-.设点C的直角坐标为x,y,由于△ABC为等边三角形,故有|BC|=|AC|=|AB|.所以x+2+y+2=x-2+y-2=+2++
2.即所以
②-
①得y=-x.
③将
③代入
①,并化简得x2=6,即x=±,所以或所以点C的直角坐标为,-或-,.所以ρ==2,tanθ=-1,所以θ=或θ=.所以点C的极坐标为或.法二设点C的极坐标为ρ,θ0≤θ2π,ρ0.因为△ABC为等边三角形,所以|AB|=|BC|=|AC|=
4.由余弦定理得即
①+
②并化简得ρ2=12ρ0,解得ρ=2,将ρ=2代入
①得cos=0,所以θ-=+kπ,k∈Z,所以θ=+kπ,k∈Z.因为0≤θ2π,所以θ=或,所以点C的极坐标为或.18.本小题满分14分在极坐标系中,已知圆C的圆心为,半径r=
3.1求圆C的极坐标方程;2若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹方程.解1设Mρ,θ是圆C上除O00以外的任意一外,在△OCM中,∠=,由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠,所以32=ρ2+32-2×ρ×3cos,即ρ=6cos.经检验,点O00也在此方程所表示的圆上.所以圆C的极坐标方程为ρ=6cos.2设点Q为ρ1,θ1,点P为ρ0,θ0,由=2,得=2-,所以=,所以ρ1=ρ0,θ1=θ0,将其代入圆ρ1=6cos,得ρ0=6cos,即ρ0=9cos.所以动点P的轨迹方程为ρ=9cos.。