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阶段质量检测二时间90分钟,总分120分
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.用分析法证明不等式的推论过程一定是 A.正向、逆向均可进行正确的推理B.只能进行逆向推理C.只能进行正向推理D.有时能正向推理,有时能逆向推理解析选B 在用分析法证明不等式时,是从求证的不等式出发,逐步探索使结论成立的充分条件即可,故只需进行逆向推理即可.2.设a=lg2+lg5,b=exx0,则a与b的大小关系是 A.ab B.abC.a=bD.a≤b解析选B ∵a=lg2+lg5=1,b=exx0,故b1,∴ab.3.已知a,b,c,d为实数,ab>0,-<-,则下列不等式中成立的是 A.bc<adB.bc>adC.>D.<解析选B 将-<-两边同乘以正数ab,得-bc<-ad,所以bc>ad.4.已知x10,x1≠1,且xn+1=n∈N*,试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xnxn+1,或者对任意正整数n都满足xnxn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为 A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1B.存在正整数n,使xnxn+1C.存在正整数nn≥2,使xn≥xn+1且xn≤xn-1D.存在正整数nn≥2,使xn-xn-1xn-xn+1≥0解析选D 命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“数列既不是递增数列,也不是递减数列”,由此可知选D.5.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.6.使不等式+>1+成立的正整数a的最大值为 A.10B.11C.12D.13解析选C 用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立.7.已知a,b,c,d∈R+且S=+++,则下列判断中正确的是 A.0S1B.1S2C.2S3D.3S4解析选B 用放缩法,,,,,以上四个不等式相加,得1S
2.8.已知a,b为非零实数,则使不等式+≤-2成立的一个充分不必要条件是 A.ab>0B.ab<0C.a>0,b<0D.a>0,b>0解析选C 因为与同号,由+≤-2,知<0,<0,即ab<
0.又若ab<0,则<0,<0,所以+=-≤-2=-2,综上,ab<0是+≤-2成立的充要条件,所以a>0,b<0是+≤-2成立的一个充分不必要条件.9.已知a0,b0,c0,且a2+b2=c2,则an+bn与cn的大小关系为n≥3,n∈N+ A.an+bncnB.an+bncnC.an+bn≥cnD.an+bn=cn解析选B 因为a2+b2=c2,所以2+2=
1.所以n2,n2,所以n+n2+2=
1.所以an+bncn.故选B.10.若α∈,M=|sinα|,N=|cosα|,P=|sinα+cosα|,Q=,则它们之间的大小关系为 A.MNPQB.MPNQC.MPQND.NPQM解析选D ∵α∈,∴0sinαcosα.∴|sinα||cosα|,∴P=|sinα+cosα|=|sinα|+|cosα||sinα|+|sinα|=|sinα|=M.P=|sinα|+|cosα||cosα|+|cosα|=|cosα|=N.∴NPM.∵Q===P,Q==|sinα|=M,∴NPQM.
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上11.用反证法证明“在△ABC中,若∠A是直角,则∠B一定是锐角”时,应假设________________.解析“∠B一定是锐角”的否定是“∠B不是锐角”.答案∠B不是锐角12.如果a+ba+b,则实数a,b应满足的条件是________.解析由知a≥0,知b≥0,而a+b≠a+b,知b≠a.此时a+b-a+b=-2+0,不等式成立.故实数a,b应满足的条件是a≥0,b≥0,a≠b.答案a≥0,b≥0,a≠b13.已知a+b0,则+与+的大小关系是________.解析+-=+=a-b=.∵a+b0,a-b2≥0,∴≥
0.∴+≥+.答案+≥+14.设0mnab,函数y=fx在R上是减函数,下列四个数f,f,f,f的大小顺序依次是____________.解析∵1,根据函数的单调性,知ffff.答案ffff
三、解答题本大题共4个小题,满分50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15.本小题满分12分设|a|<1,|b|<1,求证|a+b|+|a-b|<
2.证明当a+b与a-b同号时,|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2;当a+b与a-b异号时,|a+b|+|a-b|=|a+b-a-b|=2|b|<
2.∴|a+b|+|a-b|<
2.16.本小题满分12分已知在△ABC中,∠CAB90°,D是BC的中点,求证ADBC如右图所示.证明假设AD≥BC.1若AD=BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么,这条边所对的角为直角”,知∠A=90°,与题设矛盾.所以AD≠BC.2若ADBC,因为BD=DC=BC,所以在△ABD中,ADBD,从而∠B∠BAD.同理∠C∠CAD.所以∠B+∠C∠BAD+∠CAD.即∠B+∠C∠A.因为∠B+∠C=180°-∠A,所以180°-∠A∠A即∠A<90°,与已知矛盾,故AD>BC不成立.由12知AD<BC成立.17.本小题满分12分求证1++++…+
3.证明由=k是大于2的自然数,得1++++…+1+1++++…+=1+=3-
3.18.本小题满分14分已知函数fx=2|x+1|+|x-2|.1求fx的最小值m;2若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证++≥
3.解1当x-1时,fx=-2x+1-x-2=-3x∈3,+∞;当-1≤x2时,fx=2x+1-x-2=x+4∈[36;当x≥2时,fx=2x+1+x-2=3x∈[6,+∞.综上,fx的最小值m=
3.2证明a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3,因为+++a+b+c=++≥2=2a+b+c,当且仅当a=b=c=1时,取等号,所以++≥a+b+c,即++≥
3.。