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第1章计数原理习题课课时目标
1.进一步熟悉二项式定理,会求二项展开式某些项或系数.
2.会利用二项式系数的特征、性质解题.1.二项展开式的通项Tr+1=________________.2.二项展开式中的二项式系数和系数通项Tr+1中,C叫第r+1项的二项式系数,而系数是指展开式中某个字母的系数.3.对一些二项展开式系数和的问题,可采用______法.
一、选择题1.设二项式+n的展开式中第5项是常数项,那么这个展开式中系数最大的项是 A.第9项B.第8项C.第9项和第10项D.第8项和第9项2.若对任意实数x,有x3=a0+a1x-2+a2x-22+a3x-23,则a2等于 A.3B.6C.9D.123.1-90C+902C-903C+…+9010C除以88的余数是 A.-1B.1C.-87D.874.化简x-14+4x-13+6x-12+4x-1+1的结果是 A.x4B.x-14C.x-24D.1-x
45.如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列12336410,…,记这个数列的前n项和为Sn,则S16等于 A.144B.146C.164D.461
二、填空题6.已知3x+17=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则展开式的二项式系数的和为________,a0+a1+a2+…+a7=______.7.x+1+x+12+x+13+x+14+x+15的展开式中x2的系数为________.8.今天是星期一,如果今天算第一天,那么第810天是星期______.
三、解答题9.设3x+xn的二项展开式中各项系数之和为t,其二项式系数之和为h.若h+t=272,求其二项展开式中x2项的系数.10.已知3-2x8=a0+a1x+…+a8x8,求1a0,a1,a2,…,a8这9个系数中绝对值最大的系数;2a0,a1,a2,…,a8这9个系数中最大的系数.能力提升11.求1+x+10的展开式中的常数项.12.已知fx=1+2xm+1+4xnm,n∈N*的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.1.二项展开式的通项是解决项、项的系数、项的二项式系数的根本.2.赋值法与待定系数法是解题的两种常用方法.3.一些最值问题可利用函数思想来解.习题课答案知识梳理1.Can-rbr3.赋值作业设计1.A [因展开式的第5项为T5=Cx-4,所以有-4=0,解得n=
16.所以展开式中系数最大的项是第9项.]2.B [由题意,把等式右边展开得,解得]3.B [1-90C+902C-903C+…+9010C=1-9010=88+110,88+110=8810+C889+C888+…+C88+1,所以88+110除以88的余数是
1.]4.A [x-14+4x-13+6x-12+4x-1+1=Cx-14+Cx-13×1+Cx-12×12+Cx-1×13+C×14=x-1+14=x
4.]5.C [由图知,数列中的首项是C,第2项是C,第3项是C,第4项是C,…,第15项是C,第16项是C.∴S16=C+C+C+C+…+C+C=C+C+…+C+C+C+…+C=C+C+C+…+C-C+C+C+…+C=C+C-1=
164.]6.128 16384解析 3x+17展开式中二项式系数的和为27=128;令x=1,则47=a0+a1+a2+…+a7=
16384.7.20解析 各个组成项的x2的系数分别为C,C,C,C,则展开式中x2的系数为
20.8.一解析 810=7+110=C710+C79+…+C7+C=7M+1M∈Z,故810除以7余1,所以第810天是星期一.9.解 由题意,h=2n,令x=1,得t=4n,又h+t=272,所以4n+2n=272,解得2n=16,所以n=
4.所以Tr+1=C3x4-rxr=C34-rx+,则+=2,得r=4,所以二项展开式中x2项的系数为
1.10.解 设r∈N,且r≤8,则有ar=C·38-r·-2r.显然,|ar|=C·38-r·2r,由得解得所以r=
3.即9个系数中,绝对值最大的系数为|a3|=C·35·23=
108864.2由1中不等式组及其解集可知|a0||a1||a2||a3||a4|…|a8|.又从通项公式ar=C·38-r·-2r可以看出,a0,a2,a4,a6,a8均大于0;a1,a3,a5,a7均小于0,因而只需比较a2,a4的大小.因为a2=C·36·-22=81648,a4=C·34·-24=
90720.所以,9个系数中,最大的系数为a4=
90720.11.解 1+x+10=[1+x+]10,通项为Tr+1=Cx+rr=012,…,10,而x+r展开的通项公式为Tk+1=Cxr-k·k=Cxr-3kk=012,…,r,当r-3k=0时,Tr+1是常数项.由r=3k0≤r≤100≤k≤r,且r,k∈N*,得r=0369,k=0123,所以由系数为C·C可得常数项为C+CC+C·C+CC=
4351.12.解 1+2xm+1+4xn展开式中含x的项为C·2x+C·4x=2C+4Cx,所以2C+4C=36,即m+2n=
18.1+2xm+1+4xn展开式中含x2的项的系数为t=C22+C42=2m2-2m+8n2-8n.因为m+2n=18,所以m=18-2n,所以t=218-2n2-218-2n+8n2-8n=16n2-148n+612=16n2-n+,所以当n=时,t取最小值,但n∈N*,所以n=5时,t最小即含x2项的系数最小,最小值为272,此时n=5,m=
8.。