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2.
2.1 椭圆的标准方程在平面直角坐标系中,已知A-20,B20,C02,D0,-2.问题1若动点P满足PA+PB=6,设P的坐标为x,y,则x,y满足的关系式是什么?提示由两点间距离公式得+=6,化简得+=
1.问题2若动点P满足PC+PD=6,设P的坐标为x,y,则x、y满足什么关系?提示由两点间距离公式得+=6,化简得+=
1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程+=1a>b>0+=1a>b>0焦点坐标±c00,±ca、b、c的关系c2=a2-b21.标准方程中的两个参数a和b,确定了椭圆的形状和大小,是椭圆的定形条件.a,b,c三者之间a最大,b,c大小不确定,且满足a2=b2+c
2.2.两种形式的标准方程具有共同的特征方程右边为1,左边是两个非负分式的和,并且分母为不相等的正值.当椭圆焦点在x轴上时,含x项的分母大;当椭圆焦点在y轴上时,含y项的分母大,已知椭圆的方程解题时,应特别注意ab0这个条件.待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程1经过两点2,-,;2过点,-,且与椭圆+=1有相同的焦点.[思路点拨] 1由于椭圆焦点的位置不确定,故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论.也可利用椭圆的一般方程Ax2+By2=1其中A0,B0,A≠B,直接求A,B.2求出焦点,然后设出相应方程,将点,-代入,即可求出a,b,则标准方程易得.[精解详析] 1法一若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1ab0.由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为+=
1.若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1ab0.由已知条件得解得即a2=4,b2=8,则a2b2,与题设中ab0矛盾,舍去.综上,所求椭圆的标准方程为+=
1.法二设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1A0,B0,A≠B.将两点2,-,代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+=
1.2因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=
16.设它的标准方程为+=1ab0.因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=
16.
①又点,-在椭圆上,所以+=1,即+=
1.
②由
①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为+=
1.[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为1.求适合下列条件的椭圆的标准方程1两个焦点的坐标分别为-40,40,且椭圆经过点50;2经过两点P,Q.解1由已知得c=4,a=
5.b2=a2-c2=25-16=
9.故所求椭圆方程为+=
1.2设椭圆方程为Ax2+By2=
1.A0,B0,A≠B由已知得,解得故所求椭圆方程为+=
1.2.求适合下列条件的椭圆的方程.1焦点在x轴上,且经过点20和点01;2焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P0,-10,P到它较近的一个焦点的距离等于
2.解1因为椭圆的焦点在x轴上,所以可设它的标准方程为+=1ab0.∵椭圆经过点20和01,∴∴故所求椭圆的标准方程为+y2=
1.2∵椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1ab0.∵P0,-10在椭圆上,∴a=
10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2,∴-c--10=2,故c=8,∴b2=a2-c2=36,∴所求椭圆的标准方程是+=
1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x2·sinα-y2·cosα=10≤α≤2π表示椭圆.1若椭圆的焦点在x轴上,求α的取值范围.2若椭圆的焦点在y轴上,求α的取值范围.[思路点拨] 1已知的方程不是椭圆的标准形式,应先化成标准方程.2对于椭圆方程+=1m0,n0,m≠n可由m,n的大小确定椭圆焦点的位置,列出三角不等式后求α的范围.[精解详析] 将椭圆方程x2·sinα-y2·cosα=10≤α≤2π化为标准形式为+=10≤α≤2π.1若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则-0,即所以παπ.即α的取值范围是.2若方程表示焦点在y轴上的椭圆,则-0,即所以α.即α的取值范围是.[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题,一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置,结合对应的标准方程应满足的条件,建立一个含参数的不等式组,通过求解不等式组得到参数的取值范围.3.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是________.解析由于椭圆的焦点在x轴上,所以即解得a3或-6a-
2.答案3,+∞∪-6,-24.已知方程+=-1表示椭圆,求k的取值范围.解方程+=-1可化为+=1,由椭圆的标准方程可得得3k5,且k≠
4.所以满足条件的k的取值范围是{k|3k5,且k≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示,已知椭圆的方程为+=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF1+PF2=4,结合面积公式和余弦定理找到PF1和PF2的关系求解.[精解详析] 由已知a=2,b=,所以c===1,F1F2=2c=2,在△PF1F2中,由余弦定理,得PF=PF+F1F-2PF1·F1F2cos120°,即PF=PF+4+2PF
1.
①由椭圆定义,得PF1+PF2=4,即PF2=4-PF
1.
②②代入
①解得PF1=.∴S△PF1F2=PF1·F1F2·sin120°=××2×=,即△PF1F2的面积是.[一点通] 在椭圆中,由三条线段PF1,PF2,F1F2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形.涉及椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出PF1+PF2=2a,利用这个关系式便可求出结果,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.5.已知两定点F1-
10、F210,且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则动点P的轨迹方程是________.解析∵F1-10,F210,∴F1F2=
2.∵F1F2是PF1与PF2的等差中项,∴2F1F2=PF1+PF2,即PF1+PF2=4,∴点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,∵2a=4,a=2,c=1,∴b2=
3.∴椭圆的方程是+=
1.答案+=16.设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2=2∶1,则△F1PF2的面积等于________.解析由+=1,得a=3,b=2,∴c2=a2-b2=
5.∴c=.∴F1F2=
2.由得∴PF+PF=F1F.∴△F1PF2为直角三角形.∴S△F1PF2=PF1·PF2=
4.答案47.如图,已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点.1若椭圆上一点P到焦点F1的距离等于15,那么点P到另一个焦点F2的距离是多少?2过F1作直线与椭圆交于A,B两点,试求△ABF2的周长.解由椭圆的标准方程可知a2=100,所以a=
10.1由椭圆的定义得PF1+PF2=2a=20,又PF1=15,所以PF2=20-15=5,即点P到焦点F2的距离为
5.2△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2.由椭圆的定义可知AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,故AB+AF2+BF2=4a=
40.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解;也可设Ax2+By2=1A0,B0,A≠B求解,避免了分类讨论,达到了简化运算的目的.[对应课时跟踪训练八] 1.若椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为________.解析由椭圆定义知,a=5,P到两个焦点的距离之和为2a=10,因此,到另一个焦点的距离为
5.答案52.椭圆25x2+16y2=1的焦点坐标是________.解析椭圆的标准方程为+=1,故焦点在y轴上,其中a2=,b2=,所以c2=a2-b2=-=,故c=.所以该椭圆的焦点坐标为.答案3.已知方程k2-1x2+3y2=1是焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是________.解析方程k2-1x2+3y2=1可化为+=
1.由椭圆焦点在y轴上,得解之得k2或k-
2.答案-∞,-2∪2,+∞4.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________.解析由题意,知|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=|AB|+|AF2|+|BF2|=2a+2a,又由a=5,可得|AB|+|BF2|+|AF2|=20,即|AB|=
8.答案85.已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为________.解析在△F1PF2中,F1F=PF+PF-2PF1·PF2cos60°,即25=PF+PF-PF1·PF
2.
①由椭圆的定义,得10=PF1+PF
2.
②由
①②,得PF1·PF2=25,∴S△F1PF2=PF1·PF2sin60°=.答案6.求适合下列条件的椭圆的标准方程1以05和0,-5为焦点,且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26;2以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过M2,.解1∵椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为+=1ab0.∵2a=262c=10,∴a=13,c=
5.∴b2=a2-c2=
144.∴所求椭圆的标准方程为+=
1.2法一由9x2+5y2=45,得+=1,c2=9-5=4,所以其焦点坐标为F102,F20,-2.设所求椭圆的标准方程为+=1a>b>0.由点M2,在椭圆上,所以MF1+MF2=2a,即2a=+=4,所以a=2,又c=2,所以b2=a2-c2=8,所以所求椭圆的标准方程为+=
1.法二由法一知,椭圆9x2+5y2=45的焦点坐标为F102,F20,-2,则设所求椭圆方程为+=1λ>0,将M2,代入,得+=1λ>0,解得λ=8或λ=-2舍去.所以所求椭圆的标准方程为+=
1.7.如图,设点P是圆x2+y2=25上的动点,点D是点P在x轴上的投影,M为PD上一点,且MD=PD,当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.解设M点的坐标为x,y,P点的坐标为xP,yP,由已知易得∵P在圆上,∴x2+y2=
25.即轨迹C的方程为+=
1.8.已知动圆M过定点A-30,并且内切于定圆B x-32+y2=64,求动圆圆心M的轨迹方程.解设动圆M的半径为r,则|MA|=r,|MB|=8-r,∴|MA|+|MB|=8,且8|AB|=6,∴动点M的轨迹是椭圆,且焦点分别是A-30,B30,且2a=8,∴a=4,c=3,∴b2=a2-c2=16-9=
7.∴所求动圆圆心M的轨迹方程是+=
1.。