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2.
2.2 椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后,我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质.以方程+=1a>b>0为例,试着完成下列问题问题1方程中对x,y有限制的范围吗?提示由=1-≥0,得-a≤x≤a.同理-b≤y≤b.问题2在方程中,用-x代x,-y代y,方程的形式是否发生了变化?提示不变.问题3方程与坐标轴的交点坐标是什么?提示令x=0,得y=±b;令y=0,得x=±a;与x轴的交点为a0,-a0,与y轴的交点为0,b,0,-b.椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程+=1a>b>0+=1a>b>0范围-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤b顶点±a0,0,±b0,±a,±b0轴长短轴长=2b,长轴长=2a焦点±c00,±c焦距F1F2=2c对称性对称轴x轴,y轴,对称中心00离心率e=∈011.椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称,关于y轴成轴对称,关于原点成中心对称.2.椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系10e1,e越趋近于1,越扁,越趋近于0,越圆可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆.2当e→0,c→0时,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在e=0时的特例.3当e→1,c→a,椭圆变扁,直至成为极限位置线段F1F2,此时也可认为F1F2为椭圆在e=1时的特例.已知椭圆方程求几何性质[例1] 求椭圆81x2+y2=81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标,离心率.[思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式,故先化为标准形式后求出a,b,c,再根据焦点位置写出相应的几何性质.[精解详析] 椭圆的方程可化为x2+=1,∴a=9,b=1,∴c===4,∴椭圆的长轴和短轴长分别为
182.∵椭圆的焦点在y轴上,故其焦点坐标为F10,-4,F204,顶点坐标为A10,-9,A209,B1-10,B210,e==.[一点通] 求椭圆几何性质参数时,应把椭圆化成标准方程,注意分清焦点的位置,这样便于直观写出a,b的值,进而求出c,写出椭圆的几何性质参数.1.若椭圆+=1的离心率为,则m的值为________.解析当m4时,由c2=a2-b2=m-4,得=.解得m=.当m4时,由c2=a2-b2=4-m,得=,解得m=.答案或2.求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解椭圆方程变形为+=1,∴a=3,b=2,∴c===.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a=62c=2,焦点坐标为F1-,0,F2,0,顶点坐标为A1-30,A230,B10,-2,B202,离心率e==.由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程1长轴长为20,离心率等于;2长轴长是短轴长的2倍,且过点2,-6.[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置,不能确定的要分情况讨论,然后设出标准方程,再利用待定系数法求出a、b、c,得到椭圆的标准方程.[精解详析] 1∵2a=20,e==,∴a=10,c=8,b2=a2-c2=
36.由于椭圆的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=
1.2设椭圆的标准方程为+=1或+=1ab0.由已知a=2b,
①且椭圆过点2,-6,从而有+=1或+=
1.
②由
①②得a2=148,b2=37或a2=52,b2=
13.故所求椭圆的标准方程为+=1或+=
1.[一点通] 在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在的坐标轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点所在的坐标轴;而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时,则不能确定焦点所在的坐标轴.3.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为________________.解析由题意得2a=12,=,所以a=6,c=3,b=
3.故椭圆方程为+=
1.答案+=14.求满足下列条件的椭圆的标准方程1焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M32;2离心率为,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为
26.解1由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为0,-2,02.由椭圆的定义知,2a=+=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=
12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+=
1.2由题意知,2a=26,即a=13,又e==,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为+=1或+=
1.与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M+=1ab0的左,右焦点分别为F1,F
2.P是椭圆M上的任一点,且PF1·PF2的最大值的取值范围为,其中c2=a2-b2,求椭圆的离心率的取值范围.[思路点拨] 由P是椭圆上一点,知PF1+PF2=2a,进而设法求出PF1·PF2的最大值,再由已知的范围求出离心率e的范围.[精解详析] ∵P是椭圆上一点,∴PF1+PF2=2a,∴2a=PF1+PF2≥2,即PF1·PF2≤a2,当且仅当PF1=PF2时取等号.∴c2≤a2≤3c2,∴≤≤2,∴≤e2≤2,∴≤e≤.∵0e1,∴≤e1,∴椭圆的离心率的取值范围是.[一点通] 1.椭圆的离心率的求法1直接求a,c后求e,或利用e=,求出后求e.2将条件转化为关于a,b,c的关系式,利用b2=a2-c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于e的方程求e.2.求离心率范围时,常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系,通过解不等式求解,注意最后要与区间01取交集.5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.解析设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则由已知得2a+2c=4b.即a+c=2b,又a2=b2+c2,解得a=b,c=b,e=.答案6.椭圆M+=1ab0的左、右焦点分别为F
1、F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c23c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是________.解析设Px,y、F1-c
0、F2c0,则=-c-x,-y,=c-x,-y,·=x2+y2-c2,又x2+y2可看作Px,y到原点的距离的平方,所以x2+y2max=a2,·max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.答案与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是R、R,求此宇宙飞船运行的轨道方程.[思路点拨] 根据条件建立坐标系,设出椭圆方程,构造方程,求得宇宙飞船运行的轨道方程.[精解详析] 如图所示,以运行轨道的中心为原点,其与地心的连线为x轴建立坐标系,且令地心F2为椭圆的右焦点,则轨道方程为焦点在x轴上的椭圆的标准方程,不妨设为+=1ab0,则地心F2的坐标为c0,其中a2=b2+c2,则解得∴b2=a2-c2=2-2=R
2.∴此宇宙飞船运行的轨道方程为+=
1.[一点通] 解决此类问题,首先要根据条件建立平面直角坐标系,将实际问题转化为有关椭圆的问题,再将条件转化为a,b,c的关系,进而求出椭圆方程,解决其它问题.注意1椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制;2最后要将数学模型还原回实际问题作答.7.某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动,卫星顺利进入周期为
3.5h的环月小椭圆轨道以月球球心为焦点.卫星远月点距离月球表面最远的点高度降至1700km,近月点距离月球表面最近的点高度是200km,月球的半径约是1800km,且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上,此时小椭圆轨道的离心率是________.解析可设小椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,由已知得2a=1700+2×1800+200,∴a=
2750.又a+2c=1700+1800,∴c=
375.∴e===.答案8.已知某荒漠上F
1、F2两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以F
1、F2为一条对角线的平行四边形区域,建农艺园.按照规划,平行四边形区域边界总长为8km.1试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程;2问农艺园的最大面积能达到多少?解1以F1F2所在直线为x轴,F1F2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则F1-10,F210.设平行四边形的另两个顶点为Px,y,Qx′,y′,则由已知得PF1+PF2=
4.由椭圆定义知点P在以F
1、F2为焦点,以4为长轴长的椭圆上,此时a=2,c=1,则b=.∴P点的轨迹方程为+=1y≠0,同理Q点轨迹方程同上.2S▱PF1QF2=F1F2·|yP|≤2c·b=2km2,所以当P为椭圆短轴端点时,农艺园的面积最大为2km
2.1.椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关,它们反映了椭圆在平面内的位置.2.椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关,它们反映了椭圆的形状.3.讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型,不能确定的应分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.[对应课时跟踪训练九] 1.新课标全国卷Ⅱ改编设椭圆C+=1ab0的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.解析法一由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====.法二由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得a2-c2=2ac,等式两边同除以a2,得1-e2=2e,解得e=或e=-舍去.答案2.广东高考改编已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F10,离心率等于,则C的方程是________________________________________________________________________.解析依题意,设椭圆方程为+=1a>b>0,所以解得a2=4,b2=
3.答案+=13.曲线+=1与曲线+=1k9的________相等.填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”解析c2=25-k-9-k=16,c=
4.故两条曲线有相同的焦距.答案焦距4.已知椭圆+=1ab0的离心率是,过椭圆上一点M作直线MA,MB分别交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为________.解析设点Mx,y,Ax1,y1,B-x1,-y1,则y2=b2-,y=b2-.所以k1·k2=·==-=-1=e2-1=-,即k1·k2的值为-.答案-5.设F1,F2是椭圆E+=1a>b>0的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率是________.解析设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°.由题意知,F1F2=PF2=2c,F2M=-c.在Rt△PF2M中,F2M=PF2,即-c=c.∴e==.答案6.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率e=,经过点A,-2,求椭圆的标准方程.解设椭圆的标准方程为+=1ab0,则+=
1.
①由已知e=,∴=,∴c=a.∴b2=a2-c2=a2-a2,即b2=a
2.
②把
②代入
①,得+=1,解得a2=25,∴b2=16,∴所求方程为+=
1.7.已知椭圆x2+m+3y2=mm0的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解椭圆方程可化为+=1,由m0,易知m,∴a2=m,b2=.∴c==.由e=,得=,解得m=1,∴椭圆的标准方程为x2+=
1.∴a=1,b=,c=.∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1,两焦点坐标分别为F1,F2,顶点坐标分别为A1-10,A210,B1,B
2.8.若椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,点P是椭圆上的一点,P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点,P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线,且左焦点与左顶点的距离等于-,试求椭圆的离心率及其方程.解令x=-c,代入+=1a>b>0,得y2=b21-=,∴y=±.设P-c,,椭圆的右顶点Aa0,上顶点B0,b.∵OP∥AB,∴kOP=kAB,∴-=-,∴b=c.而a2=b2+c2=2c2,∴a=c,∴e==.又∵a-c=-,解得a=,c=,∴b=,∴所求椭圆的标准方程为+=
1.。