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2.1圆锥曲线[基础达标]已知点A-1,0,B1,0,动点P满足PA+PB=3,则动点P的轨迹是________.解析由PA+PB=3AB结合椭圆的定义有动点P的轨迹是以A-1,0,B1,0为焦点的椭圆.答案以A-1,0,B1,0为焦点的椭圆已知点A-2,0,B2,0,动点M满足|MA-MB|=4,则动点M的轨迹为________.解析动点M满足|MA-MB|=4=AB,结合图形思考判断动点M的轨迹为直线AB不包括线段AB内部的点上的两条射线.答案直线AB不包括线段AB内部的点上的两条射线到两定点F10,-10,F20,10的距离之和为20的动点M的轨迹是________.解析MF1+MF2=20=F1F2,故动点M为线段F1F2上任意一点,即动点M的轨迹是线段F1F
2.答案线段F1F2到定点2,1和定直线x+2y-4=0的距离相等的点的轨迹是________.解析点2,1在直线x+2y-4=0上,不符合抛物线定义.答案过点2,1且和直线x+2y-4=0垂直的直线已知动点Px,y满足-=2,则动点P的轨迹是________.解析 -=2,即动点Px,y到两定点-2,0,2,0的距离之差等于2,由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支.答案双曲线的一支已知F1-8,3,F22,3,动点P满足PF1-PF2=10,则点P的轨迹是________.解析由于两点间的距离为10,所以满足条件PF1-PF2=10的点P的轨迹应是一条射线.答案一条射线动点P到定点A0,-2的距离比到定直线l y=10的距离小8,则动点P的轨迹为________.解析将直线l y=10沿y轴向下平移8个单位,得到直线l′y=2,则动点P到A0,-2的距离等于到定直线l′y=2的距离,故点P的轨迹为抛物线.答案抛物线已知椭圆的焦点是F
1、F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q使得PQ=PF2,则动点Q的轨迹是________.解析由P是椭圆上的一点,根据椭圆的定义,则PF1+PF2=定值,而PQ=PF2,则QF1=PF1+PQ=PF1+PF2=定值,所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆.答案以F1为圆心的圆设定点F10,-3,F20,3,动点P满足条件PF1+PF2=aa0,试求动点P的轨迹.解当a=6时,PF1+PF2=a=F1F2,所以点P的轨迹为线段F1F
2.当a6时,PF1+PF2=aF1F2,所以点P的轨迹为椭圆.当0a6时,PF1+PF2=aF1F2,所以点P的轨迹不存在.△ABC中,BC=
6.已知△ABC的周长为16,求动点A的轨迹.解∵AB+AC=16-6=106=BC,∴动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆除去A、B、C三点共线的两个点.[能力提升]方程5·=|3x-4y-6|表示的曲线为________.解析方程5·=|3x-4y-6|,即为=,即动点x,y到定点2,2的距离等于动点x,y到定直线3x-4y-6=0的距离,由抛物线的定义知表示的曲线为抛物线.答案抛物线若点M到定点F和到定直线l的距离相等,则下列说法正确的是________.
①点M的轨迹是抛物线;
②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线;
③点M的轨迹是抛物线或一条直线.解析当点F不在直线l上时,点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线;而当点F在直线l上时,点M的轨迹是一条过点F,且与l垂直的直线.答案
③求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹.1与⊙C x+22+y2=2内切,且过点A2,0;2与⊙C1x2+y-12=1和⊙C2x2+y+12=4都外切;3与⊙C1x+32+y2=9外切,且与⊙C2x-32+y2=1内切.解设动圆M的半径为r.1∵⊙C与⊙M内切,点A在⊙C外,∴MC=r-.∵MA=r,∴MA-MC=,且
4.∴点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的一支.2∵⊙M与⊙C1,⊙C2都外切,∴MC1=r+1,MC2=r+
2.∴MC2-MC1=1,且
12.∴点M的轨迹是以C2,C1为焦点的双曲线的一支.3∵⊙M与⊙C1外切,且与⊙C2内切,∴MC1=r+3,MC2=r-
1.∵MC1-MC2=4,且46,∴点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的一支.创新题已知定直线l及定点AA不在l上,n为过点A且垂直于l的直线,设N为l上任意一点,线段AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证点P的轨迹为抛物线.证明如图所示,建立平面直角坐标系,并且连结PA,PN,NB.由题意知PB垂直平分AN,且点B关于AN的对称点为P,∴AN也垂直平分PB.∴四边形PABN为菱形,∴PA=PN.∵AB⊥l,∴PN⊥l.故点P符合抛物线上点的条件到定点A的距离和到定直线l的距离相等,∴点P的轨迹为抛物线.。