还剩8页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
2.
1.1 合情推理第一课时 归纳推理问题1我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属,它们有何物理性质?提示都能导电.问题2由问题1你能得出什么结论?提示一切金属都能导电.问题3最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据,先观察表中数据的特点,用适当的数填入表中.年龄岁3035404550556065收缩压水银柱/毫米110115120125130135145舒张压水银柱/毫米70737578808388提示140 85问题4由问题3中的数据你还能得出什么结论?提示随着人的年龄增长,人的血压在增高.问题5数列{an}的前五项为13579试写出an.提示an=2n-1n∈N*.1.推理1推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.2推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分,前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推得的命题,它告诉我们推出的知识是什么.2.归纳推理1归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2归纳推理的思维过程如图→→3归纳推理的特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具.
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.1.归纳推理是从特殊到一般,具体到抽象的推理形式.因此,由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是根据若干已知的条件现象推断未知结论现象,因而,结论现象具有猜测的性质.3.归纳的前提是特殊现象,归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.4.观察和实验是进行归纳推理的最基本条件,是归纳推理的基础,通过观察和实验,为知识的总结和归纳提供依据.5.由归纳推理所得到的结论未必是可靠的,但是它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的,是进行科学研究的最基本的方法之一.归纳推理在数列中的应用[例1] 已知数列{an}的第1项a1=1,且an+1=n=12,…,求出a2,a3,a4,并推测an.[思路点拨] 数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系,根据已知的递推公式,求出数列的前几项,观察出n与an的关系即可解决.[精解详析] 当n=1时,a1=1;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;当n=4时,a4==.观察可得,数列的前4项等于相应序号的倒数.由此猜想,这个数列的通项公式为an=.[一点通] 在求数列的通项与前n项和时,经常用归纳推理得出结论.这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式,分出变化部分和不变部分,重点分析变化规律与n的关系,往往会较简捷地获得结论.1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=.求出a1,a2,a3,a4,并推测an.解∵Sn=,∴a1=,∴a=
1.又∵an0,∴a1=1;a1+a2=,即1+a2=,∴a2=-1;a1+a2+a3=,即+a3=,∴a3=-;a1+a2+a3+a4=,∴+a4=,∴a4=2-;观察可得,an=-.2.已知数列{an}中,a2=6,=n.1求a1,a3,a4;2猜想数列{an}的通项公式.解1由a2=6,=1,得a1=
1.由=2,得a3=
15.由=3,得a4=
28.故a1=1,a3=15,a4=
28.2由a1=1=1×2×1-1;a2=6=2×2×2-1;a3=15=3×2×3-1;a4=28=4×2×4-1,…猜想an=n2n-1.归纳推理在不等式中的应用[例2] 对任意正整数n,试归纳猜想2n与n2的大小关系.[思路点拨] →→→[精解详析] 当n=1时,2112;当n=2时,22=22;当n=3时,2332;当n=4时,24=42;当n=5时,2552;当n=6时,
2662.归纳猜想,当n=3时,2nn2;当n∈N*,且n≠3时,2n≥n
2.[一点通] 对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较,不能用作差、作商法比较,常用归纳、猜想、证明的方法,解题时对n的取值的个数要适当,太少易产生错误猜想,太多增大计算量,凡事恰到好处.对有些复杂的式子的大小比较,往往通过作差后变形通分、因式分解等,变成比较两个简单式子的大小,即化繁为简.3.观察下列式子1+,1++,1+++,…,猜想第n个不等式为________.解析第1个不等式1+;第2个不等式1++;第3个不等式1+++;…故猜想第n个不等式为1++++…+.答案1+++…+4.对任意正整数n,猜想nn+1与n+1n的大小关系.解n=1时,1221;n=2时,2332,n=3时;3443;n=4时,4554,n=5时;
5665.据此猜想,当n3时,nn+1n+1n,n≥3时,nn+1n+1n.归纳推理在图形推理中的应用[例3] 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图由于图中13610这些数能够表示成三角形,故被称为三角形数,试结合组成三角形的数的特点,归纳第n个三角形数.[思路点拨] 将13610分别写成,,,,据此可完成本题的求解.[精解详析] 观察项与项数的关系特点如下项1234项数分析项的各分母均为2,分子分别为相应项数与相应项数与1和的积.归纳第n个三角形数应为n∈N*.[一点通] 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点.题目类型为已知几个图形,图形中元素的数量呈现一定的变化,这种数量变化存在着简单的规律性,如点的数目的递增关系或递减关系,依据此规律求解问题,一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等.5.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图设第n个图有an个树枝,则an+1与ann≥1之间的关系是________________.解析由图可得,第一个图形有1根树枝,a1=1,第2个图形有3根树枝,即a2=3,同理可知a3=7a4=15,a5=
31.归纳可知a2=3=2×1+1=2a1+1,a3=7=2×3+1=2a2+1,a4=15=2×7+1=2a3+1,a5=31=2×15+1=2a4+1,由归纳推理可猜测an+1=2an+
1.答案an+1=2an+16.根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜想第n个图中点的个数.解析图中点的个数依次为
1371321.又1=1+0×1;3=1+1×2;7=1+2×313=1+3×421=1+4×
5.结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为1+n-1n,即为n2-n+1n∈N*.答案n2-n+1n∈N*归纳推理在数阵中的应用[例4] 如图是杨辉三角的前5行,请试写出第8行,并归纳、猜想一般规律.[思路点拨] 由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律,由此寻找第8行的数字,整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律.[精解详析] 第8行
172135352171.一般规律1每行左、右的数字具有对称性;2两斜边的数字都是1,其余数字等于它肩上两数字之和;3奇数行中间一项最大,偶数行中间两项相等且最大.[一点通] 解决此类数阵问题时,通常利用归纳推理,其步骤如下1明确各行、各列数的大小;2分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系;3按归纳出的规律写出一个一般性的结论.
7.将全体正整数排成一个三角形数阵,如图所示,则数阵中第nn≥3行的从左至右的第3个数是________.解析第1行,第2行,第3行,…分别有123,…个数字,且每个数字前后差1,则第n-1行的最后一个数字加3即为第nn≥3行的从左至右的第3个数,前n-1行共有数字1+2+3+…+n-1=,则第nn≥3行的从左至右的第3个数为+3=.12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 17141618202224…………………答案
8.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表,设aiji,j∈N*是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行.如a42=8,若aij=
2009.则i和j的和为________.解析由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2009=2×1005-1,所以2009为第1005个奇数,又前31个奇数行内数的个数的和为961,前32个奇数行内数的个数的和为1024,故2009在第32个奇数行内,所以i=63,因为第63行的第一个数为2×962-1=19232009=1923+2m-1,所以m=44,即j=44,所以i+j=
107.答案1071.归纳推理的一般步骤1通过观察某类事物个别情况,发现某些相同性质.2对这些性质进行归纳整理,得到一个合理的结论.3猜想这个结论对该类事物都成立.2.归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律,但应注意,仅根据一系列有限的特殊事例,所得出的一般结论不一定可靠,其结论的正确与否,还要经过严格的理论证明.
一、填空题1.陕西高考观察下列等式1+1=2×12+12+2=22×1×33+13+23+3=23×1×3×5…照此规律,第n个等式可为________________.解析观察规律可知,左边为n项的积,最小项和最大项依次为n+1,n+n,右边为连续奇数之积乘以2n,则第n个等式为n+1n+2n+3…n+n=2n×1×3×5×…×2n-1.答案n+1n+2n+3…n+n=2n×1×3×5×…×2n-12.已知f1x=cosx,f2x=f1′x,f3x=f2′x,f4x=f3′x,…,fnx=fn-1′x,则f2014x=________.解析f1x=cosx,f2x=f1′x=-sinx,f3x=f2′x=-cosx,f4x=f3′x=sinx,f5x=f4′x=cosx,…再继续下去会重复出现,周期为4,∴f2014x=f2x=-sinx.答案-sinx3.根据三角恒等变换,可得到如下等式cosθ=cosθ;cos2θ=2cos2θ-1;cos3θ=4cos3θ-3cosθ;cos4θ=8cos4θ-8cos2θ+1;cos5θ=16cos5θ-20cos3θ+5cosθ依照规律猜想cos6θ=32cos6θ+mcos4θ+ncos2θ-
1.则m+n=________.解析根据三角恒等变换等式可知,各项系数与常数项的和是1,即32+m+n-1=
1.∴m+n=-
30.答案-304.已知an=n,把数列{an}的各项排成如下的三角形a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a8 a9……记As,t表示第s行的第t个数,则A1112=________. 解析每行对应的元素个数分别为135…,那么第10行最后一个数为a100,则第11行的第12个数为a112,即A1112=a112=
112.答案1125.经计算发现下列不等式+2,+2,+2,…,根据以上不等式的规律,试写出一个对正实数a,b都成立的条件不等式________.解析2+18=
204.5+
15.5=203++17-=20,…,即各不等式左边两根号内的数之和等于20,右侧均为
2.答案当a+b=20,a,b∈0,+∞时,有+≤2
二、解答题6.已知=2,=3,=4,…,若=6a,b均为实数,请推测a,b的值.解由前面三个等式,推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系,发现规律.由三个等式,知整数部分和分数部分的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,由此推测中,a=6,b=62-1=35,即a=6,b=
35.7.在平面内观察凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,凸六边形有9条对角线……由此猜出凸n边形有几条对角线?解凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条;…于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线,由此凸n边形对角线条数为2+3+4+5+…+n-2=nn-3n≥4,n∈N*.8.观察
①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;
②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=
1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广,此推广是什么?并证明你的推广.解观察到10°+20°+60°=90°,5°+10°+75°=90°,因此猜测此推广为α+β+γ=,且α、β、γ都不为kπ+,k∈Z,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=
1.证明如下由α+β+γ=得α+β=-γ,∴tanα+β=tan=cotγ.又∵tanα+β=,∴tanα+tanβ=tanα+β1-tanαtanβ=cotγ1-tanαtanβ.∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=tanγtanα+tanβ+tanαtanβ=tanγ1-tanαtanβ·cotγ+tanαtanβ=1-tanαtanβ+tanαtanβ=
1.。