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2.
1.3推理案例赏析归纳推理的应用[例1] 观察如图所示的“三角数阵”记第n行的第2个数为ann≥2,n∈N*,请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题1第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________;2依次写出a
2、a
3、a
4、a5;3归纳出an+1与an的关系式.[思路点拨] 1观察数阵,总结规律除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出1的结果.2由数阵可直接写出答案.3写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出3的结论.[精解详析] 1由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.[答案] 61625251662a2=2,a3=4,a4=7,a5=113∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4,∴由此归纳an+1=an+n.[一点通] 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了.1.设[x]表示不超过x的最大整数,如[]=2,[π]=3,[k]=kk∈N*. 我的发现[]+[]+[]=3;[]+[]+[]+[]+[]=10;[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21;…通过归纳推理,写出一般性结论_______________________________________________________________________________________________________用含n的式子表示.解析第n行右边第一个数是[],往后是[],[],…,最后一个是[].等号右边是n2n+1. 答案[]+[]+[]+…+[]=n2n+12.1如图a、b、c、d所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域?顶点数边数区域数abcd2观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?3现已知某个平面图形有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边?解1各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数a332b8126c695d101572观察3+2-3=2;8+6-12=2;6+5-9=2;10+7-15=2,通过观察发现,它们的顶点数V,边数E,区域数F之间的关系为V+F-E=
2.3由已知V=999,F=999,代入上述关系式得E=1996,故这个平面图形有1996条边.类比推理的应用[例2] 通过计算可得下列等式23-13=3×12+3×1+1;33-23=3×22+3×2+1;43-33=3×32+3×3+1;…n+13-n3=3×n2+3×n+
1.将以上各等式两边分别相加,得n+13-13=312+22+…+n2+31+2+3+…+n+n,即12+22+32+…+n2=nn+12n+1.类比上述求法,请你求出13+23+33+…+n3的值.[思路点拨] 类比上面的求法;可分别求出24-14,34-2444-34,…n+14-n4,然后将各式相加求解.[精解详析] ∵24-14=4×13+6×12+4×1+1,34-24=4×23+6×22+4×2+1,44-34=4×33+6×32+4×3+1,…n+14-n4=4×n3+6×n2+4×n+
1.将以上各式两边分别相加,得n+14-14=4×13+23+…+n3+6×12+22+…+n2+4×1+2+…+n+n∴13+23+…+n3=·=n2n+
12.[一点通] 1解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比,从而产生解题方法的迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.2类比推理的步骤与方法第一步弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的细微差别.第二步把两个系统之间的某一种一致性相似性确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.3.二维空间中圆的一维侧度周长l=2πr,二维测度面积S=πr2,观察发现S′=l;三维空间中球的二维测度表面积S=4πr2,三维测度体积V=πr3,观察发现V′=S.则四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3,猜想其四维测度W=________.解析2πr4′=8πr
3.答案2πr44.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有c2=a2+b
2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面的面积,S4表示截面的面积,那么你类比得到的结论是________.解析由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比,因此所得到的结论为S=S+S+S.答案S=S+S+S演绎推理的应用 [例3] 已知{an}为等差数列,首项a11,公差d0,n1且n∈N*.求证lgan+1lgan-1lgan
2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算,可由基本不等式转化为对数之和进行运算.[精解详析] ∵{an}为等差数列,∴an+1+an-1=2an.∵d0,∴an-1an+1=an-dan+d=a-d2a.∵a11,d0,∴an=a1+n-1d
1.∴lgan
0.∴lgan+1·lgan-1≤2=22=lgan2,即lgan+1·lgan-1lgan
2.[一点通] 三段论推理的根据,从集合的观点来讲,就是若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.5.如图,棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B. 1证明平面AB1C⊥平面A1BC1;2设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD,求A1D∶DC1的值.要求写出每一个三段论的大前提、小前提、结论.解1因为菱形的对角线互相垂直大前提,侧面BCC1B1是菱形小前提,所以B1C⊥BC1结论.又线面垂直的判定定理大前提,B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B小前提,所以B1C⊥平面A1BC1结论.又面面垂直的判定定理大前提,B1C⊂平面AB1C,B1C⊥平面A1BC小前提,所以平面AB1C⊥平面A1BC1结论.2设BC1交B1C于点E,连接DE,则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线.根据线面平行的性质定理大前提,因为A1B∥平面B1CD小前提,所以A1B∥DE结论.又E是BC1的中点,所以D为A1C1的中点,即A1D∶DC1=1∶
1.6.求证函数y=是奇函数,且在定义域上是增函数.证明y=fx==1-,所以fx的定义域为x∈R.f-x+fx=+=2-=2-=2-=2-2=0,即f-x=-fx,所以fx是奇函数.任取x1,x2∈R,且x1x2,则fx1-fx2=-=2=2·.因为x1x2,所以2x12x2,2x1-2x20,所以fx1fx2.故fx为增函数.1.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理,数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常为我们提供证明的思路和方向.2.在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论,再想办法去证明或否定发现的结论.
一、填空题1.设k棱柱有fk个对角面,则k+1棱柱对角面的个数为fk+1=fk+________.解析k棱柱增加一条侧棱时,则这条侧棱和与之不相邻的k-2条侧棱可构成k-2个对角面,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.所以fk+1=fk+k-2+1=fk+k-
1.答案k-12.如果一个凸多面体是n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条.这些直线中共有fn对异面直线,则f4=______;fn=______.答案用数字或含n的式子表示解析所有顶点确定的直线共有棱数+底边数+对角线数,即n+n+=.f4=4×2+×2=12,fn=nn-2+×n-2=.答案 12 3.陕西高考已知fx=,x≥0,若f1x=fx,fn+1x=ffnx,n∈N*则f2014x的表达式为________.解析由f1x=⇒f2x=f==;又可得f3x=ff2x==,故可猜想f2014x=.答案4.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23= 33= 43= ….仿此,若m3的“分裂数”中有一个是2015,则m=________.解析根据分裂特点,设最小数为a1,则ma1+×2=m3,∴a1=m2-m+
1.∵a1为奇数,又452=2025,∴猜想m=
45.验证453=91125=.答案455.观察以下等式sin230°+cos290°+sin30°·cos90°=;sin225°+cos285°+sin25°·cos85°=;sin210°+cos270°+sin10°·cos70°=.推测出反映一般规律的等式____________________.解析∵90°-30°=60°,85°-25°=60°,70°-10°=60°,∴其一般规律为sin2α+cos260°+α+sinαcos60°+α=.答案sin2α+cos260°+α+sinαcos60°+α=
二、解答题6.试将下列演绎推理写成三段论的形式1太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行;2所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;3一次函数是单调函数,函数y=2x-1是一次函数,所以y=2x-1是单调函数;4等差数列的通项公式具有形式an=pn+qp,q是常数,数列123…,n是等差数列,所以数列123,…,n的通项具有an=pn+q的形式.解1太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,大前提海王星是太阳系中的大行星,小前提海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.结论2所有导体通电时发热,大前提铁是导体,小前提铁通电时发热.结论3一次函数都是单调函数,大前提函数y=2x-1是一次函数,小前提y=2x-1是单调函数.结论4等差数列的通项公式具有形式an=pn+qp,q是常数,大前提数列123,…,n是等差数列,小前提数列123,…,n的通项具有an=pn+q的形式.结论7.平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的,如“长方形的每一边与其对边平行,而与其余的边垂直”;“长方体的每一面与其相对面平行,而与其余的面垂直”,请用类比法写出更多相似的命题.写出三种即可解1平面在平行四边形中,对角线互相平分;立体在平行六面体中,体对角线相交于同一点,且在这一点互相平分.2平面在平行四边形中,各对角线长的平方和等于各边长的平方和;立体在平行六面体中,各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和.3平面圆面积等于圆周长与半径之积的1/2;立体球体积等于球表面积与半径之积的1/
3.4平面正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍;立体正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图1234为她们刺绣中最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣小正方形的摆放规律相同,设第n个图形包含fn个小正方形.1写出f5的值;2利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出fn+1与fn之间的关系式,并根据你得到的关系式求出fn的表达式;3求+++…+的值.解1f5=
41.2因为f2-f1=4=4×1,f3-f2=8=4×2,f4-f3=12=4×3,f5-f4=16=4×4,…由以上规律,可得出fn+1-fn=4n,因为fn+1-fn=4n,所以fn+1=fn+4n,所以当n≥2时,fn=fn-1+4n-1=fn-2+4n-1+4n-2=fn-3+4n-1+4n-2+4n-3=…=f[n-n-1]+4n-1+4n-2+4n-3+…+4[n-n-1]=2n2-2n+
1.f1=1也适合上式,故fu=2n2-2n+1n∈N*.3当n≥2时,==,所以+++…+=1+=1+=-.。