还剩7页未读,继续阅读
文本内容:
2.
2.1 直接证明[对应学生用书P26] 1.若实数a,b满足a+b=3,证明2a+2b≥
4.证明因为2a+2b≥2=2,又a+b=3,所以2a+2b≥2=
4.故2a+2b≥4成立.问题1本题利用什么公式?提示基本不等式.问题2本题证明顺序是什么?提示从已知到结论.2.求证+22+.证明要证明+22+,由于+202+0,只需证明+222+2,展开得11+411+4,只需证明67,显然67成立.所以+22+成立.问题1本题证明从哪里开始?提示从结论开始.问题2证题思路是什么?提示寻求上一步成立的充分条件.1.直接证明1直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种证明通常称为直接证明.2直接证明的一般形式⇒…⇒本题结论.2.综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法⇒…⇒…⇒分析法从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止,这种证明方法称为分析法⇐…⇐…⇐1.综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知,由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为因为×××,所以×××,所以×××……所以×××成立.2.分析法证明问题时,是从“未知”看“需知”,执果索因逐步靠拢“已知”,通过逐步探索,寻找问题成立的充分条件.它的证明格式要证×××,只需证×××,只需证×××……因为×××成立,所以×××成立.综合法的应用[例1] 已知a,b,c∈R,且a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥.[思路点拨] 从已知条件出发,结合基本不等式,即可得出结论.[精解详析] ∵a2+≥,b2+≥,c2+≥,∴++≥a+b+c=a+b+c=.∴a2+b2+c2≥.[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步分析条件,选择方向.仔细分析题目的已知条件包括隐含条件,分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题思路.第二步转化条件、组织过程,把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.第三步适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,有些语言可做适当的修饰,反思总结解题方法的选取.1.设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证++++.证明∵a0,b0,c0,且abc=1,∴++=bc+ca+ab.又bc+ca≥2·=2=2,同理bc+ab≥2,ca+ab≥
2.∵a、b、c不全相等.∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立.∴2bc+ca+ab2++,即bc+ca+ab++,故++++.
2.1如图,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线b不垂直于π,c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真;2写出上述命题的逆命题,并判断其真假不需证明.解1证明法一如图,过直线b上任一点作平面π的垂线n,设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n,则b,c,n共面.根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得c=λb+μn,则a·c=a·λb+μn=λa·b+μa·n,因为a⊥b,所以a·b=0,又因为aπ,n⊥π,所以a·n=0,故a·c=0,从而a⊥c.法二如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P作PO⊥π,垂足为O,则O∈c.∵PO⊥π,aπ,∴直线PO⊥a.又a⊥b,b平面PAO,PO∩b=P,∴a⊥平面PAO.又c平面PAO,∴a⊥c.2逆命题为a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线b不垂直于π,c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b.逆命题为真命题.分析法的应用[例2] 已知ab0,求证-.[思路点拨] 本题条件较为简单,结论比较复杂,我们可以从要证的结论入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.[精解详析] 要证明-成立,只需证a+b-2成立,即证-2成立.只需证-成立.只需证1成立,即证+2且+2,即.∵ab0,∴成立.∴-成立.[一点通] 在已知条件较为简单,所要证的问题较为复杂,无从入手的情况下,我们可从结论入手逆推,执果索因,找到结论成立的条件,注明必要的文字说明,再用综合法写出步骤.3.若P=+,Q=+,a≥0,求证P<Q.证明要证P<Q,主要证P2<Q2,只要证2a+7+2<2a+7+2,即证a2+7a<a2+7a+12,即证0<
12.因为0<12成立,所以P<Q成立.4.已知a、b是正实数,求证+≥+.证明要证+≥+,只需证a+b≥+.即证a+b-+≥+,即证a+b-≥.也就是要证a+b≥
2.因为a,b为正实数,所以a+b≥2成立,所以+≥+.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0a≤10b≤10c≤1,求证≥
1.[思路点拨] 因为0a≤10b≤10c≤1,所以要证明≥1成立,可转化为证明1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc成立.[精解详析] ∵a0,b0,c0,∴要证≥1,只需证1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc,即证1+ab+bc+ca-a+b+c+abc≥
0.∵1+ab+bc+ca-a+b+c+abc=1-a+ba-1+ca-1+bc1-a=1-a1-b-c+bc=1-a1-b1-c,又a≤1,b≤1,c≤1,∴1-a1-b1-c≥0,∴1+ab+bc+ca-a+b+c+abc≥0成立,即证明了≥
1.[一点通] 1较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难,这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的.2综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法,也可先用综合法再用分析法,一般无具体要求,只要达到证题的目的即可.5.在△ABC中,三个内角A、B、C成等差数列.求证+=.证明要证+=,只需证+=3,即+=1,只需证=1,即=
1.下面证明=
1.∵A+C=2B,A+B+C=180°,∴B=60°.∴b2=a2+c2-ac.∴==
1.故原等式成立.6.若a,b,c是不全相等的正数.求证lg+lg+lglga+lgb+lgc.证明要证lg+lg+lglga+lgb+lgc成立,即证lglgabc成立,只需证··abc成立,∵≥0,≥0,≥0,∴··≥abc0,*又∵a,b,c是不全相等的正数,∴*式等号不成立,∴原不等式成立.1.综合法是由因导果,步骤严谨,逐层递进、步步为营,书写表达过程是条理清晰、形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难,不易达到所要证明的结论.2.分析法是执果索因,方向明确、利于思考,便于寻找解题思路.缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错.3.在解决一个问题时,我们常常把综合法和分析法结合起来使用.根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论P1;根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件,寻找到条件P2;当由P1可以推出P2时,结论得证.
一、填空题1.在△ABC中,AB是sinAsinB的________条件填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”.解析在△ABC中,由正弦定理得=.又∵AB,∴ab,∴sinAsinB反之,若sinAsinB,则ab,∴AB∴AB是sinAsinB的充要条件.答案充要2.设n∈N,则-________-判断大小.解析要证--,只需证++,只需证+2+2,即2n+5+22n+5+
2.只需证,只需证n+1n+4n+2n+3,即n2+5n+4n2+5n+6,即46即可.而46成立,故--.答案3.如果a+ba+b,则实数a,b应满足的条件是________.解析a+ba+b⇔a-ab-b⇔a-b-⇔a-b-0⇔+-20,故只需a≠b且a,b都不小于零即可.答案a≥0,b≥0且a≠b4.若三棱锥S-ABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,则S在底面ABC上的射影为△ABC的________.填重心、垂心、内心、外心之一解析如图,设S在底面ABC上的射影为点O,∴SO⊥平面ABC,连接AO,BO,∵SA⊥BC,SO⊥BC,∴BC⊥平面SAO,∴BC⊥AO.同理可证,AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心.答案垂心5.已知函数fx=10x,a>0,b>0,A=f,B=f,C=f,则A,B,C的大小关系为________.解析由≥≥,又fx=10x在R上是单调增函数,所以f≥f≥f,即A≥B≥C.答案A≥B≥C
二、解答题6.已知函数fx=log2x+2,a,b,c是两两不相等的正数,且a,b,c成等比数列,试判断fa+fc与2fb的大小关系,并证明你的结论.解fa+fc>2fb.证明如下因为a,b,c是两两不相等的正数,所以a+c>
2.因为b2=ac,所以ac+2a+c>b2+4b,即ac+2a+c+4>b2+4b+4,从而a+2c+2>b+
22.因为fx=log2x+2是增函数,所以log2a+2c+2>log2b+22,即log2a+2+log2c+2>2log2b+2.故fa+fc>2fb.7.已知a0,用分析法证明-a+-
2.证明要证-≥a+-2,只需证+2≥a++.因为a0,故只需证2≥2,即a2++4+4≥a2+2++2+2,从而只需证2≥,只需证4≥2,即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.8.江苏高考改编设{an}是首项为a,公差为d的等差数列d≠0,Sn是其前n项的和.记bn=,n∈N*,其中c为实数.若c=0,且b1,b2,b4成等比数列,证明Snk=n2Skk,n∈N*.证明由c=0,得bn==a+d.又b1,b2,b4成等比数列,所以b=b1b4,即2=a,化简得d2-2ad=
0.因为d≠0,所以d=2a.因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a.从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=nk2a=n2k2a=n2Sk.。