2018-2019学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1直接证明讲义含解析苏教版选修2

2.

2.1　直接证明[对应学生用书P26]　1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明2a＋2b≥

4.证明因为2a＋2b≥2＝2，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥2＝

4.故2a＋2b≥4成立．问题1本题利用什么公式？提示基本不等式．问题2本题证明顺序是什么？提示从已知到结论．2．求证＋22＋.证明要证明＋22＋，由于＋202＋0，只需证明＋222＋2，展开得11＋411＋4，只需证明67，显然67成立．所以＋22＋成立．问题1本题证明从哪里开始？提示从结论开始．问题2证题思路是什么？提示寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明1直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．2直接证明的一般形式⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法⇒…⇒…⇒分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法⇐…⇐…⇐1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1]　已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证a2＋b2＋c2≥.[思路点拨]　从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]　∵a2＋≥，b2＋≥，c2＋≥，∴＋＋≥a＋b＋c＝a＋b＋c＝.∴a2＋b2＋c2≥.[一点通]　综合法证明问题的步骤第一步分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件包括隐含条件，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证＋＋＋＋.证明∵a0，b0，c0，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab.又bc＋ca≥2·＝2＝2，同理bc＋ab≥2，ca＋ab≥

2.∵a、b、c不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．∴2bc＋ca＋ab2＋＋，即bc＋ca＋ab＋＋，故＋＋＋＋.

2.1如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线b不垂直于π，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；2写出上述命题的逆命题，并判断其真假不需证明．解1证明法一如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·λb＋μn＝λa·b＋μa·n，因为a⊥b，所以a·b＝0，又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0，故a·c＝0，从而a⊥c.法二如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a.又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO.又c平面PAO，∴a⊥c.2逆命题为a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线b不垂直于π，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．分析法的应用[例2]　已知ab0，求证－.[思路点拨]　本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]　要证明－成立，只需证a＋b－2成立，即证－2成立．只需证－成立．只需证1成立，即证＋2且＋2，即.∵ab0，∴成立．∴－成立．[一点通]　在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，求证P＜Q.证明要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2＜2a＋7＋2，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜

12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证＋≥＋.证明要证＋≥＋，只需证a＋b≥＋．即证a＋b－＋≥＋，即证a＋b－≥.也就是要证a＋b≥

2.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2成立，所以＋≥＋.综合法与分析法的综合应用[例3]　已知0a≤10b≤10c≤1，求证≥

1.[思路点拨]　因为0a≤10b≤10c≤1，所以要证明≥1成立，可转化为证明1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc成立．[精解详析]　∵a0，b0，c0，∴要证≥1，只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，即证1＋ab＋bc＋ca－a＋b＋c＋abc≥

0.∵1＋ab＋bc＋ca－a＋b＋c＋abc＝1－a＋ba－1＋ca－1＋bc1－a＝1－a1－b－c＋bc＝1－a1－b1－c，又a≤1，b≤1，c≤1，∴1－a1－b1－c≥0，∴1＋ab＋bc＋ca－a＋b＋c＋abc≥0成立，即证明了≥

1.[一点通]　1较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．2综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列．求证＋＝.证明要证＋＝，只需证＋＝3，即＋＝1，只需证＝1，即＝

1.下面证明＝

1.∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.∴b2＝a2＋c2－ac.∴＝＝

1.故原等式成立．6．若a，b，c是不全相等的正数．求证lg＋lg＋lglga＋lgb＋lgc.证明要证lg＋lg＋lglga＋lgb＋lgc成立，即证lglgabc成立，只需证··abc成立，∵≥0，≥0，≥0，∴··≥abc0，*又∵a，b，c是不全相等的正数，∴*式等号不成立，∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证．

一、填空题1．在△ABC中，AB是sinAsinB的________条件填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”．解析在△ABC中，由正弦定理得＝.又∵AB，∴ab，∴sinAsinB反之，若sinAsinB，则ab，∴AB∴AB是sinAsinB的充要条件．答案充要2．设n∈N，则－________－判断大小．解析要证－－，只需证＋＋，只需证＋2＋2，即2n＋5＋22n＋5＋

2.只需证，只需证n＋1n＋4n＋2n＋3，即n2＋5n＋4n2＋5n＋6，即46即可．而46成立，故－－.答案3．如果a＋ba＋b，则实数a，b应满足的条件是________．解析a＋ba＋b⇔a－ab－b⇔a－b－⇔a－b－0⇔＋－20，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．填重心、垂心、内心、外心之一解析如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连接AO，BO，∵SA⊥BC，SO⊥BC，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．答案垂心5．已知函数fx＝10x，a＞0，b＞0，A＝f，B＝f，C＝f，则A，B，C的大小关系为________．解析由≥≥，又fx＝10x在R上是单调增函数，所以f≥f≥f，即A≥B≥C.答案A≥B≥C

二、解答题6．已知函数fx＝log2x＋2，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断fa＋fc与2fb的大小关系，并证明你的结论．解fa＋fc＞2fb．证明如下因为a，b，c是两两不相等的正数，所以a＋c＞

2.因为b2＝ac，所以ac＋2a＋c＞b2＋4b，即ac＋2a＋c＋4＞b2＋4b＋4，从而a＋2c＋2＞b＋

22.因为fx＝log2x＋2是增函数，所以log2a＋2c＋2＞log2b＋22，即log2a＋2＋log2c＋2＞2log2b＋2．故fa＋fc＞2fb．7．已知a0，用分析法证明－a＋－

2.证明要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋.因为a0，故只需证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，从而只需证2≥，只需证4≥2，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．江苏高考改编设{an}是首项为a，公差为d的等差数列d≠0，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明Snk＝n2Skk，n∈N*．证明由c＝0，得bn＝＝a＋d.又b1，b2，b4成等比数列，所以b＝b1b4，即2＝a，化简得d2－2ad＝

0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝nk2a＝n2k2a＝n2Sk.。