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3.
1.1空间向量及其线性运算[基础达标]给出下列命题
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;
②零向量没有方向;
③空间中任意两个单位向量必相等.其中假命题的个数是__________.答案3化简---=__________.解析法一将向量减法转化为向量加法进行化简.---=--+=+++=+++=+=
0.法二利用-=,-=进行化简.---=--+=-+-=+=
0.法三利用=-的关系进行化简.设O为平面内任意一点,则有---=--+=-----+-=--+-++-=
0.答案0已知正方体ABCD-A′B′C′D′的中心为O,则下列命题中正确的共有________个.
①+与+是一对相反向量;
②-与-是一对相反向量;
③-与-是一对相反向量;
④+++与+++是一对相反向量.解析如图,对于
①,+=+=-+,故
①正确;对于
②,-=,-=,因=,故
②不正确;对于
③,-=,-=,因=-,故
③正确;对于
④,+++=+++=-+++,故
④正确.答案3如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与为相反向量的是________.填序号
①-a+b+c;
②a+b+c;
③a-b-c;
④-a-b+c.解析因为=+=++=c+-a+b=-a+b+c,所以与为相反向量的是a-b-c.答案
③四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________用a,b,c表示.解析如图所示由三角形法则,得=-=b-a,=-=c-b,所以==c-b,=+=b+c-a,故==b+c-a,所以=+=a+b+c.答案a+b+c已知点G是正方形ABCD的中心,P是正方形ABCD所在平面外一点,则+++等于________.解析+=2,+=2,所以+++=
4.答案4在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为__________.解析如图,=-=-++=--=--=a-b-c.答案a-b-c如图,四棱柱的上底面ABCD中,=,下列向量相等的一组是__________填序号.
①与;
②与;
③与;
④与.解析∵=,∴||=||,且AB∥DC.即四边形ABCD为平行四边形,由平行四边形的性质知=.答案
④如图,在空间四边形A-BCD中,点M、G分别是BC、CD的中点.化简1++;2-+.解1原式=++=;2原式=++-+=++-=++=.已知四面体ABCD中,G为△BCD的重心,E、F、H分别为边CD、AD和BC的中点,化简下列各式1++;2+-.解1如图所示,由G是△BCD的重心知,=.又E、F为中点,∴EFAC,=.∴++=++=.2由向量加法的平行四边形法则及几何意义知+=,=,∴+-=-=.[能力提升]如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1,若=x+y+z,则x+y+z=__________.解析在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,有==,于是=-=+-+=-++-=-++,又=x+y+z,∴x=-1,y=1,z=,∴x+y+z=.答案已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB与AD边上的点,M,N分别是BC与CD边上的点,若=λ,=λ,=μ,=μ,则向量与的关系为________.解析-=λ-λ=λ,即=λ,同理=μ,因为μ∥λ,所以∥,即∥.又λ与μ不一定相等,故||不一定等于||,所以∥.答案∥已知a=3m-2n-4p≠0,b=x+1m+8n+2yp,且m,n,p不共面,若a∥b,求x,y的值.解∵a∥b,且a≠0,∴b=λa,∴x+1m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp.又∵m,n,p不共面,∴==,∴x=-13,y=
8.创新题已知六面体ABCD-A′B′C′D′是平行六面体.1化简++,并在图中标出其结果;2设M是底面ABCD的中心,=.设=α+β+γ,试求α、β、γ的值.解1如图,取AA′的中点为E,则=,又=,=,取F为D′C′的一个三等分点使=,则=,所以++=++=说明表示法不惟一.2=+=+=+++=-+++=++,所以α=,β=,γ=.。