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文本内容:
1.
4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法难点.
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线重点.
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系难点.知识点 正弦函数、余弦函数的图象函数y=sinxy=cosx图象图象画法“五点法”“五点法”关键五点00,,1,π,0,,-1,2π,001,,0,π,-1,,0,2π,1【预习评价】 正确的打“√”,错误的打“×”1正弦函数y=sinx的图象向左右和上下无限伸展. 2函数y=sinx与y=sin-x的图象完全相同. 3函数y=cosx的图象关于00对称. 提示 1×,正弦函数y=sinx的图象向左右无限伸展,但上下限定在直线y=1和y=-1之间.2×,二者图象不同,而是关于x轴对称.3×,函数y=cosx的图象关于y轴对称.题型一 “五点法”作图的应用【例1】 利用“五点法”作出函数y=1-sinx0≤x≤2π的简图.解 1取值列表X0π2πsinx010-101-sinx101212描点连线,如图所示规律方法 用“五点法”画函数y=Asinx+bA≠0或y=Acosx+bA≠0在[02π]上简图的步骤1列表x0π2πsinx或cosx0或11或00或-1-1或00或1yb或A+bA+b或bb或-A+b-A+b或bb或A+b2描点在平面直角坐标系中描出下列五个点0,y1,,π,y3,,2π,y5,这里的yii=12345值是通过函数解析式计算得到的.3连线用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接.【训练1】 利用“五点法”作出函数y=-1-cosx0≤x≤2π的简图.解 1取值列表如下x0π2πcosx10-101-1-cosx-2-10-1-22描点连线,如图所示.题型二 利用正弦、余弦函数图象解不等式【例2】 利用正弦曲线,求满足sinx≤的x的集合.解 首先作出y=sinx在[02π]上的图象.如图所示,作直线y=,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sinx,x∈[02π]的交点横坐标为和;作直线y=,该直线与y=sinx,x∈[02π]的交点横坐标为和.观察图象可知,在[02π]上,当x≤,或≤x时,不等式sinx≤成立.所以sinx≤的解集为,.规律方法 用三角函数图象解三角不等式的方法1作出相应正弦函数或余弦函数在[02π]上的图象;2写出适合不等式在区间[02π]上的解集;3根据公式一写出不等式的解集.【训练2】 求函数fx=lgcosx+的定义域.解 由题意,得x满足不等式组即作出y=cosx的图象,如图所示.结合图象可得x∈∪∪.互动探究 题型三 正弦、余弦曲线与其他曲线的交点问题【探究1】 当x∈[04π]时,解不等式sinx≥0.解 由函数y=sinx,x∈[04π]的图象可知,不等式sinx≥0的解集为[0,π]∪[2π,3π].【探究2】 作出函数fx=sinx+2|sinx|,x∈[04π]的图象.解 易知fx=则fx的图象如图所示【探究3】 求方程sinx+2|sinx|-|log2x|=0解的个数.解 在同一坐标系内作出fx=sinx+2|sinx|和gx=|log2x|的图象如图所示,易知fx与gx的图象有四个交点,故所给方程有四个根.规律方法 判断方程解的个数的关注点1确定方程解的个数问题,常借助函数图象用数形结合的方法求解.2当在同一坐标系中作两个函数的图象时,要注意其相对位置,常借助于函数值的大小来确定.【训练3】 方程x2-cosx=0的实数解的个数是________.解析 作函数y=cosx与y=x2的图象,如图所示,由图象,可知原方程有两个实数解.答案 2课堂达标1.函数y=-sinx,x∈的简图是 解析 函数y=-sinx与y=sinx的图象关于x轴对称,故选D.答案 D2.在同一平面直角坐标系内,函数y=sinx,x∈[02π]与y=sinx,x∈[2π,4π]的图象 A.重合B.形状相同,位置不同C.关于y轴对称D.形状不同,位置不同解析 根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx,x∈[02π]与y=sinx,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.答案 B3.不等式cosx0,x∈[02π]的解集为________.解析 由函数y=cosx的图象可知,不等式cosx0[02π]的解集为,.答案 ,4.函数y=cosx,x∈[02π]的图象与直线y=-的交点有________个.解析 作y=cosx,x∈[02π]的图象及直线y=-图略,知两函数图象有两个交点.答案 两5.利用“五点法”作出下列函数的图象1y=2-sinx0≤x≤2π;2y=-2cosx+30≤x≤2π.解 利用“五点法”作图1列表x0π2πsinx010-102-sinx21232描点并用光滑的曲线连接起来,如图所示.2列表X0π2π-2cosx-2020-2-2cosx+313531描点、连线得出函数y=-2cosx+30≤x≤2π的图象课堂小结1.对“五点法”画正弦函数图象的理解1与前面学习函数图象的画法类似,在用描点法探究函数图象特征的前提下,若要求精度不高,只要描出函数图象的“关键点”,就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.2正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.2.作函数y=asinx+b的图象的步骤基础过关1.用“五点法”作函数y=2sinx-1的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是 A.0,,π,,2πB.0,,,,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,解析 由“五点法”可知选A.答案 A2.方程sinx=的根的个数是 A.7B.8C.9D.10解析 在同一坐标系内画出y=和y=sinx的图象如图所示根据图象可知方程有7个根.答案 A3.函数y=cosx+|cosx|,x∈[02π]的大致图象为 解析 由题意得y=显然只有D合适.答案 D4.若sinx=2m+1且x∈R,则m的取值范围是________.解析 ∵sinx∈[-11],∴-1≤2m+1≤1,故-1≤m≤0.答案 [-10]5.不等式sinx-,x∈[02π]的解集为________.解析 如图所示,不等式sinx-的解集为.答案 6.用“五点法”作出下列函数的简图.1y=2sinx,x∈[02π];2y=sinx+,x∈[-,].解 1列表x0ππ2π2sinx020-20描点、连线、绘图,如图所示.2
①列表x+0ππ2πx-πππsin010-10
②描点连线如图.7.根据y=cosx的图象解不等式-≤cosx≤,x∈[02π].解 函数y=cosx,x∈[02π]的图象如图所示根据图象可得不等式的解集为{x|≤x≤或≤x≤}.能力提升8.如图所示,函数y=cosx|tanx|0≤x且x≠的图象是 解析 当0≤x时,y=cosx·|tanx|=sinx;当x≤π时,y=cosx·|tanx|=-sinx;当πx时,y=cosx·|tanx|=sinx,故其图象为C.答案 C9.若函数y=2cosx0≤x≤2π的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是 A.4B.8C.2πD.4π解析 作出函数y=2cosx,x∈[02π]的图象,函数y=2cosx,x∈[02π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又∵OA=2,OC=2π,∴S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π.答案 D10.函数fx=则不等式fx的解集是________________.解析 在同一平面直角坐标系中画出函数fx和y=图象,由图象易得-x0或+2kπxπ+2kπ,k∈N.答案 11.函数y=cosx+4,x∈[02π]的图象与直线y=4的交点的坐标为________.解析 由得cosx=0,当x∈[02π]时,x=或.∴交点为,.答案 ,12.用“五点法”作出函数y=1-cosx的简图.解 1列表x0π2πcosx10-1011-cosx112描点,连线可得函数在[02π]上的图象,将函数图象向左,向右平移每次2π个单位长度,就可以得到函数y=1-cosx的图象,如图所示.13.选做题若方程sinx=在x∈[,π]上有两个实数根,求a的取值范围.解 在同一直角坐标系中作出y=sinx,x∈的图象,y=的图象,由图象可知,当≤1,即-1a≤1-时,y=sinx,x∈的图象与y=的图象有两个交点,即方程sinx=在x∈上有两个实根.。