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2．绝对值不等式的解法 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥cc0型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥aa0型不等式求解．|ax＋b|≤cc0型不等式的解法先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥cc0的解法先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法1利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．2以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．3通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象有时需要考查函数的增减性是解题关键．|fx|≥gx和|fx|≤gx型不等式的解法 [例1] 解下列不等式11|x－2|≤3；2|2x＋5|7＋x；3≤.[思路点拨] 1可利用公式转化为|ax＋b|cc0或|ax＋b|cc0型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；2可利用公式法转化为不含绝对值的不等式；3可分类讨论去掉分母和绝对值．[解] 1法一原不等式等价于不等式组即解得－1≤x1或3x≤5，所以原不等式的解集为[－11∪35]．法二原不等式可转化为
①或
②由
①得3x≤5，由
②得－1≤x1，所以原不等式的解集是[－11∪35]．法三原不等式的解集就是1x－22≤9的解集，即解得∴－1≤x1或3x≤
5.∴原不等式的解集是[－11∪35]．2由不等式|2x＋5|7＋x，可得2x＋57＋x或2x＋5－7＋x，整理得x2或x－
4.∴原不等式的解集是－∞，－4∪2，＋∞．3
①当x2－20且x≠0，即－x，且x≠0时，原不等式显然成立．
②当x2－20时，原不等式可化为x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0，∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2，即x≤－2或x≥
2.∴原不等式的解集为－∞，－2]∪－，0∪0，∪[2，＋∞．含绝对值不等式的常见类型及其解法1形如|fx|a，|fx|aa∈R型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①当a0时，|fx|a⇒－afxa；|fx|a⇔fxa或fx－a.
②当a＝0时，|fx|a无解；|fx|a⇔fx≠
0.
③当a0时，|fx|a无解．|fx|a⇔fx有意义．2形如|fx||gx|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|fx||gx|⇔[fx]2[gx]2⇔[fx＋gx][fx－gx]
0.3形如|fx|gx，|fx|gx型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①|fx|gx⇔－gxfxgx；
②|fx|gx⇔fxgx或fx－gx其中gx可正也可负．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．4形如a|fx|bba0型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a|fx|b0ab⇔afxb或－bfx－a.5形如|fx|fx，|fx|fx型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即|fx|fx⇔x∈∅，|fx|fx⇔fx
0.1．解下列不等式1|3－2x|9；24＜|3x－2|＜8；3|x2－3x－4|x＋
1.解1∵|3－2x|9，∴|2x－3|
9.∴－92x－
39.即－62x
12.解得－3x
6.∴原不等式的解集为{x|－3x6}．2由4＜|3x－2|＜8，得⇒⇒∴－2＜x＜－或2＜x＜.∴原不等式的解集为.3不等式可转化为x2－3x－4x＋1或x2－3x－4－x－1，∴x2－4x－50或x2－2x－
30.解得x5或x－1或－1x3，∴不等式的解集为－∞，－1∪－13∪5，＋∞.|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 [例2] 解不等式|x＋7|－|x－2|≤
3.[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法1利用绝对值的几何意义；2利用各绝对值的零点分段讨论；3构造函数，利用函数图象分析求解．[解] 法一|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点坐标为x到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－
1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈－∞，－1]．法二令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝
2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，∴－9≤3成立，∴x＜－
7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－
1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅.∴原不等式的解集为－∞，－1]．法三将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，即y＝作出函数的图象，由图可知，当x≤－1时，有y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0，∴原不等式的解集为－∞，－1]．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤cc0型不等式的三种解法分区间分类讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|2x＋1|－|x－4|
2.解法一令y＝|2x＋1|－|x－4|，则y＝作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，它们的交点为－72和.∴|2x＋1|－|x－4|2的解集为－∞，－7∪.法二当x≥4时，2x＋1－x－42，解得x－3，∴x≥
4.当－≤x4时，2x＋1＋x－42，解得x，∴x
4.当x－时，－2x＋1＋x－42，解得x－7，∴x－
7.综上可知，不等式的解集为－∞，－7∪.3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.解把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
①当x≤1时，∴原不等式变为－x－1－x－2＞3＋x，解得x＜0；
②当1＜x≤2时，∴原不等式变为x－1－x－2＞3＋x，解得x∈∅；
③当x＞2时，∴原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞
6.综上，原不等式解集为－∞，0∪6，＋∞.含绝对值不等式的恒成立问题[例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|m，分别求出满足下列条件的m的取值范围．1若不等式有解；2若不等式解集为R；3若不等式解集为∅.[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围．[解] 法一因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点Px与两定点A－2，B－3距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知|PA|－|PB|max＝1，|PA|－|PB|min＝－
1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤
1.1若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m1，m的取值范围为－∞，1．2若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值小即可，即m＜－1，m的取值范围为－∞，－1．3若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞．法二由|x＋2|－|x＋3|≤|x＋2－x＋3|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|x＋3－x＋2|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤
1.1若不等式有解，则m∈－∞，1．2若不等式解集为R，则m∈－∞，－1．3若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞．问题1是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题fxa恒成立⇔fxmaxa，fxa恒成立⇔fxmina.4．把本例中的“”改成“”，即|x＋2|－|x＋3|m，其他条件不变时，分别求出m的取值范围．解由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以1若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈－1，＋∞．2若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈1，＋∞．3若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈－∞，－1]．5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|m，其他条件不变时，分别求出m的取值范围．解|x＋2|＋|x＋3|≥|x＋2－x＋3|＝1，即|x＋2|＋|x＋3|≥
1.1若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R.2若不等式解集为R，即m∈－∞，1．3若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.1．若不等式|ax＋2|6的解集为－12，则实数a的取值为 A．8 B．2C．－4D．－8解析选C 原不等式化为－6ax＋26，即－8ax
4.又∵－1x2，∴验证选项易知a＝－4适合．2．不等式的解集是 A．{x|0x2}B．{x|x0或x2}C．{x|x0}D．{x|x2}解析选B 由，可知0，∴x0或x
2.3．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是 A．－∞，0]B．[－10]C．
[01]D．[0，＋∞解析选C 作出y＝|x＋1|与l1y＝kx的图象如图所示，当k0时，直线一定经过第
二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤
1.综上可知k∈
[01]．4．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是 A．－∞，3]∪[5，＋∞B．[－5，－3]C．
[35]D．－∞，－5]∪[－3，＋∞解析选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－
3.5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．解析∵不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得x＋22≥x2，∴x2＋4x＋4≥x
2.即x≥－
1.∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．答案{x|x≥－1}6．不等式|2x－1|－x1的解集是__________．解析原不等式等价于|2x－1|x＋1⇔－x－12x－1x＋1⇔⇔0x
2.答案{x|0x2}7．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为∅，则a的取值范围为________．解析法一由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x|＝3，知a≤3时，原不等式无解．法二数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为
3.所以当a≤3时，原不等式的解集为∅.答案－∞，3]8．解不等式|2x－4|－|3x＋9|
1.解1当x2时，原不等式可化为解得x
2.2当－3≤x≤2时，原不等式可化为解得－x≤
2.3当x－3时，原不等式可化为解得x－
12.综上所述，原不等式的解集为.9．已知函数fx＝|x－2|－|x＋1|.1解不等式fx1；2当x0时，函数gx＝a0的最小值大于函数fx，试求实数a的取值范围．解1当x2时，原不等式可化为x－2－x－11，解集为∅.当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－11，即－1≤x0；当x－1时，原不等式可化为2－x＋x＋11，即x－
1.综上，原不等式的解集是{x|x0}．2因为gx＝ax＋－1≥2－1，当且仅当x＝时等号成立，所以gxmin＝2－1，当x0时，fx＝所以fx∈[－31，所以2－1≥1，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞．10．已知fx＝|ax－2|＋|ax－a|a＞0．1当a＝1时，求fx≥x的解集；2若不存在实数x，使fx＜3成立，求a的取值范围．解1当a＝1时，fx＝|x－2|＋|x－1|≥x，当x≥2时，原不等式可转化为x－2＋x－1≥x，解得x≥3；当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈∅；当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤
1.综上可得，fx≥x的解集为{x|x≤1或x≥3}．2依题意，对∀x∈R，都有fx≥3，则fx＝|ax－2|＋|ax－a|≥|ax－2－ax－a|＝|a－2|≥3，∴a－2≥3或a－2≤－3，∴a≥5或a≤－1舍去，∴a的取值范围是[5，＋∞．。
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