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一平面直角坐标系1.平面直角坐标系1平面直角坐标系的作用使平面上的点与坐标有序实数对、曲线与方程建立了联系,从而实现数与形的结合.2坐标法解决几何问题的三步骤第一步建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题;第二步通过代数运算解决代数问题;第三步把代数运算结果翻译成几何结论.2.平面直角坐标系中的伸缩变换1平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换.2平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义设点Px,y是平面直角坐标系中任意一点,在变换φ的作用下,点Px,y对应到点P′x′,y′,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.用坐标法解决几何问题[例1] 在平行四边形ABCD中,求证|AC|2+|BD|2=2|AB|2+|AD|2.[思路点拨] 首先在平行四边形ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系,设出点A,B,C,D的坐标,再依据两点间的距离公式即可证得结论.[证明] 如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.设Ba0,Cb,c,则AC的中点E的坐标为,由对称性知Db-a,c,所以|AB|2=a2,|AD|2=b-a2+c2,|AC|2=b2+c2,|BD|2=b-2a2+c2,|AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab=22a2+b2+c2-2ab,|AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab,所以|AC|2+|BD|2=2|AB|2+|AD|2.根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则1如果图形有对称中心,选对称中心为原点;2如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴;3使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.1.已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求证|AC|=|BD|.证明取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设A-a,h,B-b0,则Da,h,Cb0.∴|AC|=,|BD|=.∴|AC|=|BD|,即等腰梯形ABCD中,|AC|=|BD|.2.在△ABC中,D是BC边上的任意一点D与B,C不重合,且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,求证△ABC为等腰三角形.证明作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.设A0,a,Bb0,Cc0,Dd0,因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,所以由距离公式得b2+a2=d2+a2+d-bc-d,即-d-bb+d=d-bc-d.因为d-b≠0,所以-b-d=c-d,即-b=c,所以O为线段BC的中点.又因为OA⊥BC,所以|AB|=|AC|.所以△ABC为等腰三角形.用平面直角坐标系解决实际问题[例2] 已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2km,现准备在荒漠上围垦一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.1问农艺园的最大面积能达到多少;2该荒漠上有一条水沟l恰好经过点A,且与AB成30°的角,现要对整条水沟进行加固改造,但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固,问暂不加固的部分有多长.[解] 1设平行四边形的另两个顶点为C,D,由围墙总长为8km,得|CA|+|CB|=4|AB|=2,由椭圆的定义知,点C的轨迹是以A,B为焦点,长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆去除落在直线AB上的两点.以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则点C的轨迹方程为+=1y≠0.易知点D也在此椭圆上,要使平行四边形ACBD的面积最大,则C,D为此椭圆短轴的端点,此时,面积S=×2×2=2km
2.2因为修建农艺园的可能范围在椭圆+=1y≠0内,故暂不需要加固水沟的长就是直线l y=x+1被椭圆截得的弦长,如图所示.由得13x2+8x-32=0,则x1+x2=-,x1x2=-,那么弦长L=|x1-x2|=·=,故暂不加固的部分长为km.运用解析法解决实际问题的步骤1建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴.2设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程.3运算——通过运算,得到所需要的结果.3.已知B村位于A村的正西方向1km处,原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l,但在A村的西北方向400m处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100m范围划为禁区.试问埋设地下管线l的计划需要修改吗?解建立如图所示的平面直角坐标系,则A00,B-10000,由W位于A的西北方向及|AW|=400,得W-200,200.由直线l过B点且倾斜角为90°-60°=30°,得直线l的方程是x-y+1000=
0.于是点W到直线l的距离为=100×5--≈
113.6>
100.所以埋设地下管线l的计划可以不修改.
4.如图所示,A,B,C是三个观察站,A在B的正东,两地相距6km,C在B的北偏西30°,两地相距4km,在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为1km/s4s后B,C两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B两点的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的P的坐标.解设点P的坐标为x,y,则A30,B-30,C-52.因为|PB|=|PC|,所以点P在BC的中垂线上.因为kBC=-,BC的中点D-4,,所以直线PD的方程为y-=x+4.
①又因为|PB|-|PA|=4,所以点P必在以A,B为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为-=1x≥2.
②联立
①②,解得x=8或x=-舍去,所以y=
5.所以点P的坐标为85.[例3] 伸缩变换的坐标表达式为曲线C在此变换下变为椭圆x′2+=1,求曲线C的方程.[解] 设Px,y为曲线C上的任意一点.把代入x′2+=1,得x2+y2=1,故曲线C的方程为x2+y2=
1.坐标伸缩变换φ注意变换中的系数均为正数.在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变,即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换.利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程.已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5.求4x2-9y2=1经过伸缩变换后的图形所对应的方程.解由伸缩变换得将其代入4x2-9y2=1,得4·2-9·2=
1.整理得x′2-y′2=
1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2-y′2=
1.6.若函数y=fx的图象在伸缩变换φ的作用下得到曲线的方程为y′=3sin,求函数y=fx的最小正周期.解由题意,把变换公式代入方程y′=3sin得3y=3sin,整理得y=sin,故fx=sin.所以y=fx的最小正周期为=π.
一、选择题1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是 A.椭圆 B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析选D 由伸缩变换的意义可得.2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′2+y′2=1,则曲线C的方程为 A.25x2+9y2=0 B.25x2+9y2=1C.9x2+25y2=0D.9x2+25y2=1解析选B 把代入方程x′2+y′2=1,得25x2+9y2=1,∴曲线C的方程为25x2+9y2=
1.3.圆x2+y2=1经过伸缩变换后所得图形的焦距为 A.4B.2C.2D.6解析选C 由伸缩变换得代入x2+y2=1,得+=1,该方程表示椭圆,∴椭圆的焦距为2=
2.4.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=sin3x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是 A.B.C.D.解析选D 设伸缩变换公式为则μy=sinλx,即y=sinλx,∴∴伸缩变换公式为
二、填空题5.y=cosx经过伸缩变换后,曲线方程变为________.解析由得代入y=cosx,得y′=cosx′,即y′=3cos.答案y′=3cos6.将点P-2,2变换为P′-61的伸缩变换公式为________.解析设伸缩变换公式为则解得所以伸缩变换公式为答案7.已知f1x=cosx,f2x=cosωxω0,f2x的图象可以看作是把f1x的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的纵坐标不变而得到的,则ω为________.解析函数f2x=cosωx,x∈Rω0,ω≠1的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短当ω1时或伸长当0ω1时到原来的纵坐标不变而得到的,所以=,即ω=
3.答案3
三、解答题8.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.15x+2y=0;2x2+y2=
1.解由伸缩变换得到
①1将
①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0,表示一条直线.2将
①代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是+=1,表示焦点在x轴上的椭圆.9.已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明|AM|=|BC|.证明以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设Bb0,C0,c,则M点的坐标为.由于|BC|=,|AM|==,故|AM|=|BC|.10.在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.1曲线y=2sin变换为曲线y=sin2x;2圆x2+y2=1变换为椭圆+=
1.解1将变换后的曲线方程y=sin2x改写为y′=sin2x′,设伸缩变换为代入y′=sin2x′得μy=sin2λx,即y=sin2λx,与原曲线方程比较系数得所以所以伸缩变换为即先使曲线y=2sin上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的,得到曲线y=2sin=2sin2x,再将其纵坐标缩短到原来的,得到曲线y=sin2x.2将变换后的椭圆方程+=1改写为+=1,设伸缩变换为代入+=1得+=1,即2x2+2y2=1,与x2+y2=1比较系数得所以所以伸缩变换为即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍,得到椭圆+=
1.。