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文本内容:
2.
1.1 椭圆及其标准方程【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义12求椭圆的标准方程47由椭圆的标准方程求参数或范围38与椭圆有关的轨迹问题51012椭圆定义的应用691113【基础巩固】
1.平面内一动点M到两定点F1F2距离之和为常数2a则点M的轨迹为 D A椭圆B圆C无轨迹D椭圆或线段或无轨迹解析:当2a|F1F2|时轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时轨迹为线段;当2a|F1F2|时轨迹不存在.故选D.
2.设P是椭圆+=1上的任意一点若F1F2是椭圆的两个焦点则|PF1|+|PF2|等于 A A10B8C5D4解析:因为椭圆中a2=25所以2a=
10.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=
10.故选A.
3.已知椭圆+=1过点-2则其焦距为 D A8B12C2D4解析:把点-2代入+=1得b2=4所以c2=a2-b2=
12.所以c=2所以2c=
4.故选D.
4.方程+=10化简的结果是 B A+=1B+=1C+=1D+=1解析:由方程形式知是到20和-20两定点距离和为10的点的轨迹方程.c=22a=10所以a=
5.所以b2=a2-c2=
21.所以所求方程为+=
1.故选B.
5.2018·衡阳周测若△ABC的两个顶点坐标为A-40B40△ABC的周长为18则顶点C的轨迹方程为 D A+=1B+=1y≠0C+=1y≠0D+=1y≠0解析:因为|AB|=8△ABC的周长为18所以|AC|+|BC|=10|AB|故点C轨迹为椭圆且两焦点为AB又因为C点的纵坐标不能为零故D正确.故选D.
6.2018·大连双基检测F1F2是椭圆+=1的两个焦点A为椭圆上一点且∠AF1F2=45°则△AF1F2的面积为 C A7BCD解析:由已知得a=3c=.设|AF1|=m则|AF2|=6-m所以6-m2=m2+22-2m·2cos45°解得m=.所以=××2sin45°=.故选C.
7.以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点且经过点M2的椭圆的标准方程为 . 解析:9x2+5y2=45化为标准方程形式为+=1焦点为0±2所以c=2设所求方程为+=1代入2解得a2=
12.所以方程为+=
1.答案:+=
18.2018·许昌高二月考若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆则k的取值范围是 . 解析:将原方程整理得+=
1.根据题意得解得0k
1.答案:01【能力提升】
9.2018·上饶质检已知椭圆+y2=1的焦点为F1F2点M在该椭圆上且·=0则点M到x轴的距离为 C ABCD解析:由·=0得MF1⊥MF2可设||=m||=n在△F1MF2中由m2+n2=4c2得m+n2-2mn=4c2根据椭圆的定义有m+n=2a所以2mn=4a2-4c2所以mn=2b2即mn=2所以=mn=
1.设点M到x轴的距离为h则×|F1F2|×h=1又|F1F2|=2所以h=.
10.已知椭圆的焦点是F1F2P是椭圆上的一个动点如果延长F1P到Q使得PQ=PF2那么动点Q的轨迹是 . 解析:因为|PF1|+|PF2|=2a|PQ|=|PF2|所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a即|F1Q|=2a.所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a故动点Q的轨迹是圆.答案:圆
11.2018·成都诊断如图把椭圆+=1的长轴AB分成8等份过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1P2…P7七个点F是椭圆的一个焦点则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= . 解析:设椭圆右焦点为F′由椭圆的对称性知|P1F|=|P7F′||P2F|=|P6F′||P3F|=|P5F′|所以原式=|P7F|+|P7F′|+|P6F|+|P6F′|+|P5F|+|P5F′|+|P4F|+|P4F′|=7a=
35.答案:
3512.△ABC中底边BC=12其他两边AB和AC上中线的和为30求此三角形重心G的轨迹方程并求顶点A的轨迹方程.解:以BC边所在直线为x轴BC边中点为原点BC的垂直平分线为y轴建立坐标系则B60C-60CEBD为ABAC边上的中线则|BD|+|CE|=
30.由重心性质可知|GB|+|GC|=|BD|+|CE|=
20.因为BC是两个定点G点到BC距离和等于定值20且2012所以G点的轨迹是椭圆BC是椭圆焦点所以2c=|BC|=12c=62a=20a=10b2=a2-c2=102-62=64故G点的轨迹方程为+=1去掉100-100两点又设Gx′y′Axy则有+=
1.由重心坐标公式知故A点轨迹方程为+=
1.即+=1去掉-300300两点.【探究创新】
13.2018·甘肃质检设Pxy是椭圆+=1上的点且P的纵坐标y≠0点A-50B50试判断kPA·kPB是否为定值若是定值求出该定值;若不是定值请说明理由.解:因为点P在椭圆+=1上所以y2=16×1-=16×.
①因为点P的纵坐标y≠0所以x≠±
5.所以kPA=kPB=.所以kPA·kPB=·=.
②把
①代入
②得kPA·kPB==-.所以kPA·kPB为定值这个定值是-.。