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第一课时 椭圆的简单几何性质 预习课本P37～41，思考并完成以下问题1．椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？ 2．什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？ 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1a＞b＞0＋＝1a＞b＞0范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1－a0，A2a0，B10，－b，B20，bA10，－a，A20，a，B1－b0，B2b0轴长长轴长＝，短轴长＝焦点F1－c0，F2c0F10，－c，F20，c焦距|F1F2|＝对称性对称轴x轴和y轴，对称中心00离心率e＝0e11．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”1椭圆＋＝1ab0的长轴长等于a 2椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c 3椭圆的离心率e越小，椭圆越圆 答案1× 2√ 3√2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 A．53， B．106，C．53，D．106，答案B3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F10，离心率等于，则C的方程是 A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案D4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．答案由标准方程研究几何性质[典例] 求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．[解] 把已知方程化成标准方程为＋＝1，于是a＝9，b＝3，c＝＝6，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.两个焦点的坐标分别为F1－6，0，F26，0，四个顶点的坐标分别为A1－90，A290，B10，－3，B203．用标准方程研究几何性质的步骤1将椭圆方程化为标准形式；2确定焦点位置；3求出a，b，c；4写出椭圆的几何性质．[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍． [活学活用]已知椭圆C1＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．1求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；2写出椭圆C2的方程，并研究其性质．解1由椭圆C1＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标60，－60，离心率e＝；2椭圆C2＋＝1，性质
①范围－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点长轴端点010，0，－10，短轴端点－80，80；
④焦点06，0，－6；
⑤离心率e＝.利用几何性质求标准方程[典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．1长轴长是10，离心率是；2在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为
6.[解] 1设椭圆的方程为＋＝1ab0或＋＝1ab0．由已知得2a＝10，a＝
5.又∵e＝＝，∴c＝
4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝
9.∴椭圆方程为＋＝1或＋＝
1.2依题意可设椭圆方程为＋＝1ab0．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线高，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝
1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是1确定焦点位置；2设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；3根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数．列方程组时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． [活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程1长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；2过点30，离心率e＝；3过点M12，且与椭圆＋＝1有相同离心率．解1设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知解得a＝5，b＝
4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝
1.2当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1ab0，由题意，得a＝3，因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1ab0，由题意，得b＝3，因为e＝，所以＝，把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝
1.综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝
1.3设所求椭圆方程为＋＝k1k10或＋＝k2k20，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝
1.求椭圆的离心率[典例] 设椭圆C＋＝1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为 A. B. C. D.[解析] 法一由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝.法二由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得a2－c2＝2ac，等式两边同除以a2，得1－e2＝2e，解得e＝或e＝－舍去．[答案] D[一题多变]1．[变条件]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．解在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，有＝＝，∴＝，∴e＝＝＝＝.2．[变条件，变设问]若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．解由题意，知cb，∴c2b
2.又b2＝a2－c2，∴c2a2－c2，即2c2a
2.∴e2＝，∴e.故C的离心率的取值范围为.求椭圆离心率及范围的两种方法1直接法若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．2方程法若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． 层级一 学业水平达标1．已知椭圆C1＋＝1，C2＋＝1，则 A．C1与C2顶点相同 B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等解析选D 由两个椭圆的标准方程可知C1的顶点坐标为±2，0，0，±2，长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；C2的顶点坐标为±40，0，±2，长轴长为8，短轴长为4，焦距为
4.故选D.2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是 A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D．x2＋＝1解析选A 依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝
1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析选A 依题意，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴cos60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A.4．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为 A.＋＝1B．x2＋＝1C.＋y2＝1D.＋＝1解析选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为0，±，故可设所求椭圆方程为＋＝1ab0，则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝
1.5．已知椭圆＋＝1ab0的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是 A.B.C.D.解析选D ∵＝2，∴||＝2||.又∵PO∥BF，∴＝＝，即＝，∴e＝＝.6．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________．解析∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴＝2，∴m＝.答案7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P－54，则椭圆的方程为________________．解析∵e＝＝，∴＝＝，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b
2.设椭圆的标准方程为＋＝1a0，∵椭圆过点P－54，∴＋＝
1.解得a2＝
45.∴椭圆方程为＋＝
1.答案＋＝18．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．解析设Am，n．由＝5，得B.又A，B均在椭圆上，所以有解得或所以点A的坐标为01或0，－1．答案01或0，－19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．解设椭圆C的标准方程为＋＝1ab0．由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝
8.故椭圆C的标准方程为＋＝
1.10．椭圆＋＝1ab0的右顶点是Aa0，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解设Px，y，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2＋y2＝
2.∴y2＝ax－x
2.
①又P点在椭圆上，故＋＝
1.
②把
①代入
②化简，得a2－b2x2－a3x＋a2b2＝0，即x－a[a2－b2x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，∴x＝，又0xa，∴0a，即2b2a
2.由b2＝a2－c2，得a22c2，∴e.又∵0e1，∴e
1.层级二 应试能力达标1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是013，另一个顶点是－100，则焦点坐标为 A．±130 B．0，±10C．0，±13D．0，±解析选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为0，±．2．若椭圆＋＝1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 A.B.C.D.解析选D 依题意得＝，∴c＝2b，∴a＝＝b，∴e＝＝＝.3．2017·全国卷Ⅲ已知椭圆C＋＝1ab0的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为 A.B.C.D.解析选A 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由原点到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e＝＝.4．若O和F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 A．2B．3C．6D．8解析选C 由题意得点F－10．设点Px0，y0，则有＋＝1，可得y＝
3.∵＝x0＋1，y0，＝x0，y0，∴·＝x0x0＋1＋y＝x0x0＋1＋3＝＋x0＋
3.此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－
2.又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，·取得最大值，最大值为＋2＋3＝
6.5．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．解析过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝
3.答案436．已知椭圆＋＝1ab0，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．解析在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝a＋c
2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为e0，所以e＝.答案7．已知椭圆x2＋m＋3y2＝mm0的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．解椭圆方程可化为＋＝1，由m－＝0，可知m，所以a2＝m，b2＝，c＝＝，由e＝，得＝，解得m＝
1.于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，则a＝1，b＝，c＝.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为－1，0，10，，.8．设F1，F2分别是椭圆E＋＝1ab0的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.1若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；2若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．解1由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝
1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝
8.故|AF2|＝8－3＝
5.2设|F1B|＝k，则k0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，即4k2＝2a－3k2＋2a－k2－2a－3k·2a－k．化简可得a＋ka－3k＝0，而a＋k0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.。
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