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第二课时 直线与椭圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与椭圆的位置关系12弦长问题347中点弦问题6最值问题8定值、定点问题11综合问题591012【基础巩固】
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为 A A相交B相切C相离D不确定解析:直线y=kx-k+1=kx-1+1恒过定点11又点11在椭圆内部故直线与椭圆相交.故选A.
2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点则实数k的取值范围是 C A-B∪-C-∞-∪+∞D-∞-∪-解析:由可得4k2+1x2+24kx+20=0当Δ=1616k2-50即k或k-时直线与椭圆有两个公共点.故选C.
3.2017·哈师大附中高三月考已知点M0椭圆+y2=1与直线y=kx+交于AB则△ABM的周长为 B A4B8C12D16解析:因为椭圆的焦点为±0M为右焦点直线过左焦点所以△ABM的周长为4a=4×2=
8.故选B.
4.2018·杭州调研已知椭圆+=1的上焦点为F直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点AB和CD则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|等于 D A2B4C4D8解析:如图设F1为椭圆的下焦点两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点连接AF1BF
1.由椭圆的对称性可知四边形AFDF1为平行四边形所以|AF1|=|FD|同理|BF1|=|CF|所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=
8.故选D.
5.2018·扬州高二检测过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于AB两点O为坐标原点则△OAB的面积为 . 解析:由已知可得直线方程为y=2x-2联立方程得交点坐标不妨令A0-2B所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=.答案:
6.2017·潜江高二期中椭圆4x2+9y2=144内有一点P32过点P的弦恰好以P为中点那么这弦所在直线的方程为 . 解析:设以P32为中点的椭圆的弦与椭圆交于Ex1y1Fx2y2因为P32为EF中点所以x1+x2=6y1+y2=4把Ex1y1Fx2y2分别代入椭圆4x2+9y2=144得所以4x1+x2x1-x2+9y1+y2y1-y2=0所以24x1-x2+36y1-y2=0所以k==-所以以P32为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y-2=-x-3整理得2x+3y-12=
0.答案:2x+3y-12=
07.已知椭圆C的对称轴为坐标轴一个焦点为F0-点M1在椭圆C上.1求椭圆C的方程;2已知直线l:2x-y-2=0与椭圆C交于AB两点求|AB|.解:1因为椭圆C的对称轴为坐标轴一个焦点为F0-所以c=因为点M1在椭圆C上所以2a=+=4a=2b2=a2-c2=2所以椭圆C的方程为+=
1.2联立直线l与椭圆C的方程解得令A0-2B则|AB|==.【能力提升】
8.2018·宜宾高二月考若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于AB两点当t变化时|AB|的最大值为 C A2BCD解析:将y=x+t代入+y2=1得5x2+8tx+4t2-4=0则x1+x2=-x1x2=.由|AB|=×=·当t=0时|AB|最大最大值为×=.故选C.
9.2018·河北质检已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1ab0的上顶点B和左焦点F且被圆x2+y2=4截得的弦长为L若L≥则椭圆离心率e的取值范围是 B A0B0C0D0解析:依题意知b=2kc=
2.设圆心到直线l的距离为d则L=2≥解得d2≤.又因为d=所以≤解得k2≥.于是e2===所以0e2≤解得0e≤.故选B.
10.2018·成都诊断过点M-1的直线l与椭圆x2+2y2=2交于AB两点线段AB中点为M设直线l的斜率为k1k1≠
0.直线OM的斜率为k2则k1k2的值是 . 解析:设Ax1y1Bx2y2则+2=2
①+2=2
②②-
①得x2-x1x2+x1+2y2-y1y2+y1=
0.则=-所以k1==-=1而k2==-故k1k2=-.答案:-
11.2018·温州联考已知椭圆+=1ab0过点01其长轴长、焦距和短轴长三者的平方成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于QP与椭圆分别交于点MN各点均不重合且满足=λ1=λ
2.1求椭圆的标准方程;2若λ1+λ2=-3试证明直线l过定点并求此定点.解:1设椭圆的焦距为2c由题意知b=1且2a2+2b2=22c2又a2=b2+c2所以a2=
3.所以椭圆的标准方程为+y2=
1.2由题意设P0mQx00Mx1y1Nx2y2设l方程为x=ty-m由=λ1知x1y1-m=λ1x0-x1-y1所以y1-m=-y1λ1由题意y1≠0所以λ1=-
1.同理由=λ2知λ2=-
1.因为λ1+λ2=-3所以y1y2+my1+y2=0
①联立得t2+3y2-2mt2y+t2m2-3=0由题意知Δ=4m2t4-4t2+3t2m2-30
②且有y1+y2=y1y2=
③③代入
①得t2m2-3+m·2mt2=0所以mt2=1由题意mt0所以mt=-1满足
②得l方程为x=ty+1过定点10即Q为定点.【探究创新】
12.2018·承德高二期中已知椭圆C:+=1ab0的离心率为过右焦点F且斜率为kk0的直线与C相交于AB两点.若=3则k= . 解析:根据已知=可得a2=c2则b2=c2故椭圆方程为+=1即3x2+12y2-4c2=
0.设直线的方程为x=my+cm=代入椭圆方程得3m2+12y2+6mcy-c2=0设Ax1y1Bx2y2则根据=3得c-x1-y1=3x2-cy2由此得-y1=3y2根据根与系数的关系得y1+y2=-y1y2=-把-y1=3y2代入得y2==故9m2=m2+4故m2=从而k2=2k=±.又k0故k=.答案:。