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2.
2.1 双曲线及其标准方程 预习课本P45~48,思考并完成以下问题1.平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线?双曲线的焦点、焦距分别是什么? 2.什么是双曲线的标准方程? 1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数小于|F1F2|的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.[点睛] 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为非零常数,即||MF1|-|MF2||=2a,关键词“平面内”.当2a|F1F2|时,轨迹是双曲线;当2a=|F1F2|时,轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;当2a|F1F2|时,轨迹不存在.2.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程-=1a0,b0-=1a0,b0图形焦点坐标F1-c0,F2c0F10,-c,F20,ca,b,c的关系c2=a2+b2[点睛] 1标准方程的代数特征方程右边是1,左边是关于x,y的平方差,并且分母大小关系不确定.2a,b,c三个量的关系标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中ab0,而双曲线中,a,b大小不确定.1.判断下列命题是否正确.正确的打“√”,错误的打“×”1平面内到两定点的距离的差等于常数小于两定点间距离的点的轨迹是双曲线 2在双曲线标准方程-=1中,a0,b0且a≠b 3双曲线标准方程中,a,b的大小关系是ab 答案1× 2× 3×2.已知双曲线-=1,则双曲线的焦点坐标为 A.-,0,,0 B.-50,50C.0,-5,05D.0,-,0,答案B3.平面内有两个定点F1-50和F250,动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是 A.-=1x≤-4B.-=1x≤-3C.-=1x≥4D.-=1x≥3答案D4.双曲线的两焦点坐标是F103,F20,-3,b=2,则双曲线的标准方程是________.答案-=1双曲线标准方程的认识[典例] 已知方程-=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是 A.k5 B.k5或-2k2C.k2或k-2D.-2k2[解析] ∵方程对应的图形是双曲线,∴k-5|k|-
20.即或解得k5或-2k
2.[答案] B双曲线方程的辨识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方程为+=1,则当mn0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. [活学活用]1.已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于 A. B.5C.7D.解析选D 根据题意可知,双曲线的标准方程为-=
1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-a+3-a=4,解得a=.2.在方程mx2-my2=n中,若mn0,则方程所表示的曲线是 A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在y轴上的椭圆解析选C 方程mx2-my2=n可化为-=
1.由mn0知0,故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.求双曲线的标准方程[典例] 求适合下列条件的双曲线的标准方程.1a=3,c=4,焦点在x轴上;2焦点为0,-6,06,经过点A-56;3以椭圆+=1长轴的端点为焦点,且经过点3,.[解] 1由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2,得b2=c2-a2=42-32=
7.因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为-=
1.2由已知得c=6,且焦点在y轴上.因为点A-56在双曲线上,所以2a=|-|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=
20.所以所求双曲线的标准方程是-=
1.3由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=
2.设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则有a2+b2=c2=8,-=1,解得a2=3,b2=
5.故所求双曲线的标准方程为-=
1.1.求双曲线标准方程的步骤1定位是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.2定量是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解.2.双曲线标准方程的两种求法1定义法根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.2待定系数法先设出双曲线的标准方程-=1或-=1a,b均为正数,然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.[注意] 若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,注意标明条件mn
0. [活学活用]根据下列条件,求双曲线的标准方程.1与双曲线-=1有公共焦点,且过点3,2;2双曲线过两点P,Q.解1设双曲线的标准方程为-=1-4k16.将点3,2代入,解得k=4或k=-14舍去,∴双曲线的标准方程为-=
1.2设所求双曲线方程为Ax2+By2=1AB0.∵点,在双曲线上,∴解得∴双曲线的标准方程为-=
1.双曲线定义的应用[典例] 已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=
32.试求△F1PF2的面积.[解] 因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=
100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2===0,所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=×32=
16.[一题多变]1.[变条件,变设问] 若本例中双曲线的标准方程不变,且其上一点P到焦点F1的距离为
10.求点P到F2的距离.解由双曲线的标准方程-=1,得a=3,b=4,c=
5.由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=6,∴|10-|PF2||=6,解得|PF2|=4或|PF2|=
16.2.[变条件] 若本例条件“|PF1|·|PF2|=32”改成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”其它条件不变,求△F1PF2的面积.解由|PF1|∶|PF2|=2∶5,|PF2|-|PF1|=6,可知|PF2|=10,|PF1|=4,∴S△F1PF2=×4×4=
8.在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用. 层级一 学业水平达标1.已知F1-83,F223,动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线D.一条射线解析选D F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.2.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是 A.B.1或-2C.1或D.1解析选D 依题意知解得a=
1.3.焦点分别为-20,20且经过点23的双曲线的标准方程为 A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.-=1解析选A 由双曲线定义知,2a=-=5-3=2,∴a=
1.又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为x2-=
1.4.“0≤k3”是“方程+=1表示双曲线”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选A ∵0≤k3,∴∴方程+=1表示双曲线;反之,∵方程+=1表示双曲线,∴k+1k-50,解得-1k
5.故“0≤k3”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.5.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为F1-,0,点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为02,则该双曲线的标准方程为 A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析选B 设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则c=,即a2+b2=
5.
①设Px,y,由线段PF1的中点坐标为02,可知得即点P的坐标为,4,代入双曲线方程,得-=
1.
②联立
①②,得a2=1,b2=4,即双曲线的标准方程为x2-=
1.故选B.6.设m是常数,若点F05是双曲线-=1的一个焦点,则m=________.解析由点F05可知该双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m0,且m+9=52,解得m=
16.答案167.设点P在双曲线-=1上,F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于________.解析由题意知|F1F2|=2=10,||PF2|-|PF1||=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9,∴△F1PF2的周长为3+9+10=
22.答案228.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为________.解析如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=.答案9.求适合下列条件的双曲线的标准方程1a=2,经过点A2,-5,焦点在y轴上;2与椭圆+=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为
4.解1因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1a0,b0.由题设知,a=2,且点A2,-5在双曲线上,所以解得故所求双曲线的标准方程为-=
1.2椭圆+=1的两个焦点为F10,-3,F203,双曲线与椭圆的一个交点为,4或-,4.设双曲线的标准方程为-=1a0,b0,则解得故所求双曲线的标准方程为-=
1.10.已知双曲线过点3,-2且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.1求双曲线的标准方程;2若点M在双曲线上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判断△MF1F2的形状.解1椭圆的方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c==.故可设双曲线方程为-=1a0,b0.依题意得解得a2=3,b2=
2.故双曲线的标准方程为-=
1.2不妨设M在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=
2.又|MF1|+|MF2|=6,解得|MF1|=4,|MF2|=
2.又|F1F2|=2c=2,因此在△MF1F2中,|MF1|边最长,由余弦定理可得cos∠MF2F1===-
0.所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2是钝角三角形.层级二 应试能力达标1.已知F1-50,F250,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a分别为3和5时,点P的轨迹分别为 A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条射线D.双曲线的一支和一条直线解析选C 依题意,得|F1F2|=
10.当a=3时,|PF1|-|PF2|=2a=6|F1F2|,可知点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|,可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线.故选C.2.已知双曲线过点P1和P2,则双曲线的标准方程为 A.-=1 B.-=1C.-=1D.-=1解析选B 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2+ny2=1mn0.因为P1,P2两点在双曲线上,所以解得于是所求双曲线的标准方程为-=
1.3.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为
26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析选A 对于椭圆C1,∵长轴长2a1=26,∴a1=13,又离心率e1==,∴c1=
5.由题意知曲线C2为双曲线,且与椭圆C1共焦点,∴c2=5,又2a2=8,∴a2=4,b2==
3.又焦点在x轴上,故双曲线C2的标准方程为-=
1.故选A.4.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,·的值为 A.2B.3C.4D.6解析选B 设点Px0,y0,依题意得|F1F2|=2=4,S△PF1F2=|F1F2|·|y0|=2,∴|y0|=
1.又-y=1,∴x=3y+1=
6.∴·=-2-x0,-y0·2-x0,-y0=x+y-4=
3.5.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则点P到F2的距离为________.解析设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线的左支上时,|PF2|-|PF1|=10,所以|PF2|=22;当点P在双曲线的右支上时,|PF1|-|PF2|=10,所以|PF2|=
2.答案22或26.过双曲线-=1的一个焦点作x轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________.解析因为双曲线方程为-=1,所以c==13,设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,则F1-130,F2130.设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A-13,yy0,则=-1=,所以y=,即|AF1|=.又|AF2|-|AF1|=2a=24,所以|AF2|=24+=.即所求距离分别为,.答案,7.已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆x2+5y2=5的左焦点和右焦点,且三个内角A,B,C满足关系式sinB-sinA=sinC.1求线段AB的长度;2求顶点C的轨迹方程.解1将椭圆方程化为标准形式为+y2=
1.∴a2=5,b2=1,c2=a2-b2=4,则A-20,B20,|AB|=
4.2∵sinB-sinA=sinC,∴由正弦定理得|CA|-|CB|=|AB|=2|AB|=4,即动点C到两定点A,B的距离之差为定值.∴动点C的轨迹是双曲线的右支,并且c=2,a=1,∴所求的点C的轨迹方程为x2-=1x1.8.设圆C与两圆x+2+y2=4,x-2+y2=4中的一个内切,另一个外切.1求C的圆心轨迹L的方程;2已知点M,F,0,且P为L上动点.求||MP|-|FP||的最大值.解1两圆的圆心分别为A-,0,B,0,半径为2,设圆C的半径为r.由题意得|CA|=r-2,|CB|=r+2或|CA|=r+2,|CB|=r-2,两式相减得|CA|-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=
4.则圆C的圆心轨迹为双曲线,其中2a=4,c=,b2=1,∴圆C的圆心轨迹L的方程为-y2=
1.2由1知F为双曲线L的一个焦点,如图,连接MF并延长交双曲线于一点P,此时|PM|-|PF|=|MF|为||PM|-|FP||的最大值.又|MF|==2,∴||MP|-|FP||的最大值为
2.。