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2.
3.1双曲线的标准方程[基础达标]1.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为03,那么k的值是________.解析焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程是-=1,k0,则 =3,解得k=-
1.答案-12.过双曲线-=1左焦点F1的弦AB长为6,则△ABF2F2为右焦点的周长是________.解析据题意AF2-AF1=2a,BF2-BF1=2a,故AF2+BF2-AF1+BF1=AF2+BF2-AB=4a,因此AF2+BF2=AB+4a=6+16=22,故三角形周长为22+6=
28.答案
283.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左,右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________.解析设双曲线的标准方程为-=1a0,b0.由题意,得B20,C23.∴,解得,∴双曲线的标准方程为x2-=
1.答案x2-=14.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若PF1∶PF2=3∶2,则△PF1F2的面积为________.解析双曲线的a=1,b=2,c=.设PF1=3r,PF2=2r.∵PF1-PF2=2a=2,∴r=
2.于是PF1=6,PF2=
4.∵PF+PF=52=F1F,故知△PF1F2是直角三角形,∠F1PF2=90°.∴S△PF1F2=PF1·PF2=×6×4=
12.答案125.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则PF1+PF2的值为________.解析不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2,所以22=PF+PF,又因为PF1-PF2=2,所以PF1-PF22=4,可得2PF1·PF2=4,则PF1+PF22=PF+PF+2PF1·PF2=12,所以PF1+PF2=
2.答案26.已知F是双曲线-=1的左焦点,A14,P是双曲线右支上的动点,则PF+PA的最小值为________.解析设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义可知PF=2a+PF1=4+PF1,∴PF+PA=4+PF1+PA.∴当PF+PA最小时需满足PF1+PA最小.由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时,满足PF1+PA最小,易求得最小值为AF1=5,故所求最小值为
9.答案97.在△ABC中,已知AB=4,且2sinA+sinC=2sinB,求顶点C的轨迹方程.解如图,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A-2,0,B2,0,由正弦定理得sinA=,sinB=,sinC=a′,b′,c′分别为A,B,C所对的边,∵2sinA+sinC=2sinB,∴2a′+c′=2b′,即b′-a′=,从而有CA-CB=AB=2AB.由双曲线的定义知,顶点C的轨迹是双曲线的右支,a=,c=2,∴b2=c2-a2=
6.∴顶点C的轨迹方程为-=1x.8.已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.解在△PF1F2中,F1F=PF+PF-2PF1·PF2cos60°,即25=PF+PF-PF1·PF2,由椭圆的定义得10=PF1+PF2,即100=PF+PF+2PF1·PF2,所以PF1·PF2=25,所以S△F1PF2=PF1·PF2·sin60°=.[能力提升]1.若椭圆+=1mn0和双曲线-=1a0,b0有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则PF1·PF2的值是________.解析PF1+PF2=2,|PF1-PF2|=2a,所以PF+PF+2PF1·PF2=4m,PF-2PF1·PF2+PF=4a2,两式相减得4PF1·PF2=4m-4a2,∴PF1·PF2=m-a
2.答案m-a22.已知双曲线的方程是-=1,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1的距离为10,另一个焦点为F2,点N是PF1的中点,则ON的大小O为坐标原点为________.解析连结ON图略,ON是三角形PF1F2的中位线,所以ON=PF2,因为|PF1-PF2|=8,PF1=10,所以PF2=2或18,所以ON=PF2=1或
9.答案1或93.已知在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的标准方程.解由Rt△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,设PN=3k,PM=4k,则MN=5k3k+4k+5k=48,得k=4,则PN=12,PM=16,MN=
20.以MN所在直线为x轴,以线段MN的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,由PM-PN=4=2a,得a=2,a2=4,由MN=20得2c=20,c=10,则b2=c2-a2=96,所以所求双曲线方程为-=
1.4.在抗震救灾行动中,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,急需把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°,试在灾民区确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程.解灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA,PB送药一样远近,由题意可知,界线应该是第三类点的轨迹.设M为界线上的任意一点,则有PA+MA=PB+MB,即MA-MB=PB-PA=50定值.界线为以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.如图所示.以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设所求双曲线的标准方程为-=1a0,b0,∵a=25,2c=AB==50,∴c=25,b2=c2-a2=3750,∴双曲线方程为-=1,因为C的坐标为25,60,所以y的最大值为60,此时x=
35.因此界线的曲线方程为-=125≤x≤35,y0.。