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2.5圆锥曲线的共同性质[基础达标]1.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标为3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.解析由圆锥曲线的共同性质得=e==2,d为点M到右准线x=1的距离,则d=2,所以MF=
4.答案42.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1ab0,右焦点为F右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2若d2=d1,则椭圆C的离心率为________.解析依题意,d2=-c=.又BF==a,所以d1=.由已知可得=·,所以c2=ab,即6c4=a2a2-c2,整理可得a2=3c2,所以离心率e==.答案3.已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离为10,则点P到它的左焦点的距离为________.解析设F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,P到左准线的距离为d1,P到右准线的距离为d2=10,由圆锥曲线的统一定义知,==,解得PF2=6,又PF1+PF2=2a=10,解得PF1=4,故P到它的左焦点距离为
4.答案44.如果双曲线-=1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是________.解析由双曲线方程可知a=2,b=,c=,e=,设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,设P点坐标为x,y,由已知条件知P点在右支上,且PF2=ex-a=2,解得x=.答案5.设双曲线-=1a0,b0的离心率为,且它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则此双曲线方程为________.解析由题意得=,=1,得a=,c=3,则b2=6,所以此双曲线方程为-=
1.答案-=16.设F1,F2分别是椭圆+=1ab0的左,右焦点,P是其右准线上纵坐标为cc为半焦距的点,且F1F2=F2P,则椭圆的离心率是________.解析如图有P,c,设右准线交x轴于H点,∵F2P=F1F2=2c,且PH=c,故∠PF2H=60°,∴F2H=c,OH==2c⇒e2=⇒e=或-舍.答案7.设椭圆的左焦点为F,AB为椭圆中过点F的弦,试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系.解设M为弦AB的中点即以AB为直径的圆的圆心,A1,B1,M1分别是A、M、B在准线l上的射影如图.由圆锥曲线的统一定义得AB=AF+BF=eAA1+BB1=2eMM
1.∵0e1,∴AB2MM1,即MM
1.∴以AB为直径的圆与椭圆的左准线相离.8.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点F1的距离是它到右焦点F2距离的2倍,试求点P的坐标.解由题意可设P点坐标为x0,y0,由椭圆的方程+=1,可得a=5,b=3,c=4,离心率e=.所以PF1=a+ex0=5+x0,PF2=a-ex0=5-x
0.又PF1=2PF2,解得x0=,代入椭圆方程得y0=±,故点P的坐标为.[能力提升]1.已知椭圆+=1外一点A56,l为椭圆的左准线,P为椭圆上动点,点P到l的距离为d,则PA+d的最小值为________.解析如图,设F为椭圆的左焦点,可知其坐标为F-30,根据圆锥曲线的统一定义有=e=,即PF=d,所以PA+d=PA+PF,可知当P,F,A三点共线且P在线段AF上时,PA+PF最小,最小值AF=
10.故PA+d的最小值为
10.答案102.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且=2,则C的离心率为________.解析如图,BF==a,作DD1⊥y轴于点D1,则由=2,得==,所以DD1=OF=c,即xD=,由圆锥曲线的统一定义得FD=e-=a-;又由BF=2FD,得a=2a-,整理得3c2=a
2.解得e=-舍去或e=.答案3.已知A,B为椭圆+=1上的两点,F2是椭圆右焦点,若AF2+BF2=a,AB的中点M到椭圆的左准线的距离为,试确定椭圆的方程.解由椭圆的方程可得b=a,则c=a,e=,两准线间的距离为a,设A,B两点到右准线的距离分别是dA,dB,则==,∴AF2+BF2=dA+dB=a,∴dA+dB=2a,则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a,于是M到左准线的距离为a-a=,解得a=1,故椭圆方程为x2+=
1.4.创新题已知椭圆+=1上不同的三点Ax1,y1,B,Cx2,y2与焦点F40的距离成等差数列.1求证x1+x2=8;2若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T,求直线BT的斜率.解1证明由已知得a=5,b=3,c=4,e=.因为AF=a-ex1=5-x1,CF=a-ex2=5-x2,BF=5-×4=,且AF+CF=2BF,所以+=,即x1+x2=
8.2因为Ax1,y1,Cx2,y2在椭圆上,所以+=1,
①+=
1.
②由
①-
②得y-y=-x1+x2x1-x2=-x1-x2.又因为线段AC的中点为,所以线段AC的垂直平分线的方程为y-=-x-4.
③又因为点T在x轴上,则设点T的坐标为x00,代入
③得x0-4=,所以x0-4=-.所以直线BT的斜率k==.故直线BT的斜率为.。