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第二章推理与证明章末复习学习目标
1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.
2.加深对直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题．1．合情推理1归纳推理由部分到整体、由个别到一般的推理．2类比推理由特殊到特殊的推理．3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理1演绎推理由一般到特殊的推理．2“三段论”是演绎推理的一般模式，包括
①大前提——已知的一般原理．
②小前提——所研究的特殊情况．
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．3．直接证明和间接证明1直接证明的两类基本方法是综合法和分析法．
①综合法是从已知条件推出结论的证明方法．
②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．2间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确． × 2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的． √ 3．综合法是直接证明，分析法是间接证明． × 4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾． × 类型一 合情推理的应用例1 1有一个奇数列13579，…，现在进行如下分组第一组含一个数{1}；第二组含两个数{35}；第三组含三个数{7911}；第四组含四个数{13151719}；…，试观察每组内各数之和并猜想fnn∈N＋与组的编号数n的关系式为________．答案 fn＝n3解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和fn与组的编号数n的关系式为fn＝n
3.2在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明．解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S
2.
②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝
1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球的半径为R＝.下面对
①的猜想进行证明．如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面．设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则在Rt△ABC中，BC＝＝，SRt△ABC＝ab.同理，CD＝，SRt△ACD＝bc.BD＝，SRt△ABD＝ac.∴S△BCD＝.经检验，S＋S＋S＝S.即所证猜想为真命题．反思与感悟 1归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．2类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性．跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在图形中的应用答案 13 3n＋1解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝
13.通过观察得到递推关系式an－an－1＝3n≥2，n∈N＋，所以an＝3n＋
1.类型二 综合法与分析法例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题已知α∈0，π，求证2sin2α≤.考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 分析法要证2sin2α≤成立，只需证4sinαcosα≤，∵α∈0，π，∴sinα0，只需证4cosα≤，∵1－cosα0，∴4cosα1－cosα≤1，可变形为4cos2α－4cosα＋1≥0，只需证2cosα－12≥0，显然成立．综合法∵＋41－cosα≥4，当且仅当cosα＝，即α＝时取等号，∴4cosα≤.∵α∈0，π，∴sinα0，∴4sinαcosα≤，∴2sin2α≤.反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 设a0，b0，a＋b＝1，求证＋＋≥
8.试用综合法和分析法分别证明．证明 综合法因为a0，b0，a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥
4.又＋＝a＋b＝2＋＋≥4，所以＋＋≥8当且仅当a＝b＝时等号成立．分析法因为a0，b0，a＋b＝1，要证＋＋≥8，只需证＋≥8，只需证＋≥8，即证＋≥
4.也就是证＋≥
4.即证＋≥2，由基本不等式可知，当a0，b0时，＋≥2恒成立，所以原不等式成立．类型三 反证法例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝
2.1求数列{an}的通项公式；2求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．1解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝
1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝n∈N＋．2证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1pqr，且p，q，r∈N＋，则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋
1.*又因为pqr，所以r－q，r－p∈N＋.所以*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练3 若x，y都是正实数，且x＋y2，求证2或2中至少有一个成立．证明 假设2和2都不成立，则有≥2和≥2同时成立．因为x0且y0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤
2.这与已知x＋y2矛盾．故2与2中至少有一个成立.1．观察按下列顺序排序的等式9×0＋1＝19×1＋2＝119×2＋3＝219×3＋4＝31，…，猜想第nn∈N＋个等式应为 A．9n＋1＋n＝10n＋9B．9n－1＋n＝10n－9C．9n＋n－1＝10n－1D．9n－1＋n－1＝10n－10答案 B解析 由已知中的式子，我们观察后分析等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，等式右边是一个等差数列．根据已知可以推断第nn∈N＋个等式为9n－1＋n＝10n－
9.故选B.2．在平面直角坐标系中，方程＋＝1ab≠0表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，cabc≠0的平面方程为 A.＋＋＝1B.＋＋＝1C.＋＋＝1D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析 ∵在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，cabc≠0的平面方程为＋＋＝
1.故选A.3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是 A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.4．若a0，b0，则有 A.2b－aB.2b－aC.≥2b－aD.≤2b－a考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 C解析 因为－2b－a＝＝≥0，所以≥2b－a.5．已知等差数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则算错的数应为________．考点 题点 答案 S4＝56解析 显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1＝8，a2＝12，a3＝16，a4＝29，这四项不成等差数列，但可知前三项成等差数列，故a4有误，应为20，故S4算错了，S4应为
56.1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用．间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是n－2·180°.A．
①②B．
①③C．
①②④D．
②④答案 C解析
①是类比推理；
②是归纳推理；
④是归纳推理．所以
①②④是合情推理．2．在等差数列{an}中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0，q1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是 A．b4＋b8b5＋b7B．b5＋b7b4＋b8C．b4＋b7b5＋b8D．b4＋b5b7＋b8答案 A3．我们把1491625，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形如图．试求第n个正方形数是 A．nn－1B．nn＋1C．n2D．n＋12答案 C解析 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n
2.4．当n＝123456时，比较2n和n2的大小并猜想 A．n≥1时，2nn2B．n≥3时，2nn2C．n≥4时，2nn2D．n≥5时，2nn2考点 归纳推理题点 归纳推理在数对组中的应用答案 D解析 当n＝1时，2nn2；当n＝2时，2n＝n2；当n＝3时，2nn2；当n＝4时，2n＝n2；当n＝5时，2nn2；当n＝6时，2nn
2.故猜想当n≥5时，2nn
2.5．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是 A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析 利用三段论分析大前提矩形都是对角线相等的四边形；小前提四边形ABCD是矩形；结论四边形ABCD的对角线相等．6．定义运算x⊗y＝例如3⊗4＝4，则下列等式不成立的是 A．x⊗y＝y⊗xB．x⊗y⊗z＝x⊗y⊗zC．x⊗y2＝x2⊗y2D．c·x⊗y＝c·y⊗c·xc0考点 合情推理的综合应用题点 合情推理在函数中的应用答案 C解析 由定义可知“⊗”是求两个数中的较大者，所以A，B，D均是恒成立的．7．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则 A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛考点 演绎推理的综合应用题点 演绎推理在其他方面的应用答案 B解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号．若a63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有123567号，符合题意；若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；若a≤59，则同时进入两决赛的有134567号，符合题意．综上可知，5号进入30秒跳绳决赛．
二、填空题8．如果函数fx在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有≤f .若y＝sinx在区间0，π上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．答案 解析 sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝.9．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间在三棱锥A—BCD中如图所示，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．考点 类比推理题点 类比推理在图形中的应用答案 ＝解析 CE平分∠ACB，而面CDE平分二面角A—CD—B.∴可类比成，故结论为＝.10．已知fx＝，定义f1x＝f′x，f2x＝[f1x]′，…，fn＋1x＝[fnx]′，n∈N＋.经计算f1x＝，f2x＝，f3x＝，…，照此规律，fnx＝________.答案 解析 观察各个式子，发现分母都是ex，分子依次是－x－1，x－2，－x－3，故fnx＝.
三、解答题11．已知a＞0，b＞0，－＞
1.求证＞.证明 要证＞成立，只需证1＋a＞，只需证1＋a1－b＞11－b＞0，即1－b＋a－ab＞1，∴a－b＞ab，只需证＞1a＞0，b0，即证－＞
1.又－＞1成立，∴＞成立．12．求证不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．于是有yx＋y＋xx＋y＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即2＋y2＝
0.由y≠0，得y2＞
0.又2≥0，所以2＋y2＞
0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．13．已知a0，b02ca＋b，求证c－ac＋.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证c－ac＋，只需证－a－c，即证|a－c|，只需证a－c22，只需证a2－2ac＋c2c2－ab，即证2aca2＋ab，因为a0，所以只需证2ca＋b.因为2ca＋b已知，所以原不等式成立．
四、探究与拓展14．设S，V分别表示表面积和体积，如△ABC的面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用VO－ABC表示，对于命题如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝
0.将它类比到平面的情形时，应该有若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝
0.将它类比到空间的情形时，应该有若O是三棱锥A－BCD内一点，则有________________________．考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝015．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2－18°＋cos248°－sin－18°cos48°；
⑤sin2－25°＋cos255°－sin－25°cos55°.1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；2根据1的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 1选择
②式，计算如下sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝1－＝.2三角恒等式为sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝.证明如下sin2α＋cos230°－α－sinαcos30°－α＝sin2α＋cos30°·cosα＋sin30°sinα2－sinα·cos30°·cosα＋sin30°sinα＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.学生序号12345678910立定跳远单位米
1.
961.
921.
821.
801.
781.
761.
741.
721.
681.6030秒跳绳单位次63a7560637270a－1b65。
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