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文本内容:
1．1 数的概念的扩展1．2 复数的有关概念一学习目标
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的概念及复数的表示思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．梳理 复数及其表示1复数的定义
①规定i2＝－1，其中i叫作虚数单位；
②若a∈R，b∈R，则形如a＋bi的数叫作复数．2复数的表示
①复数通常表示为z＝a＋bia，b∈R；
②对于复数z＝a＋bi，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Rez与Imz表示，即a＝Rez，b＝Imz.知识点二 复数的分类1复数a＋bia，b∈R2集合表示知识点三 两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋dia，b，c，d∈R，我们规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． × 2．复数z＝bi是纯虚数． × 3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等． √ 类型一 复数的概念例1 1给出下列命题
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．其中真命题的个数为 A．0B．1C．2D．32已知复数z＝a2－2－bi的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 1C 2±，5解析 1令z＝i∈C，则i2＝－10，故
①不正确；
②中2i－1的虚部应是2，故
②不正确；
④当a＝0时，ai＝0为实数，故
④不正确．∴只有
③⑤正确．2由题意知∴a＝±，b＝
5.反思与感悟 1复数的代数形式若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.2不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．3举反例判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．跟踪训练1 下列命题
①若a∈R，则a＋1i是纯虚数；
②若x2－4＋x2＋3x＋2i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．其中正确说法的个数是 A．0B．1C．2D．3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 B解析 对于
①，若a＝－1，则a＋1i不是纯虚数，故
①错误；对于
②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时x2－4＋x2＋3x＋2i＝0不是纯虚数，故
②错误．显然
③正确．故选B.类型二 复数的分类例2 求当实数m为何值时，z＝＋m2＋5m＋6i分别是1虚数；2纯虚数．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 1复数z是虚数的充要条件是解得m≠－3且m≠－
2.∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．2复数z是纯虚数的充要条件是解得故m＝
3.∴当m＝3时，复数z是纯虚数．引申探究1．若本例条件不变，求m为何值时，z为实数．解 由已知得，复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋
6.复数z是实数的充要条件是解得故m＝－
2.∴当m＝－2时，复数z是实数．2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋m2－2m－15i，则当m＝________时，z为纯虚数．答案 3或－2解析 由题意知解得m＝3或－
2.反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 当实数m为何值时，复数lgm2－2m－7＋m2＋5m＋6i是1纯虚数；2实数．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 1若复数lgm2－2m－7＋m2＋5m＋6i是纯虚数，则解得m＝
4.故当m＝4时，复数lgm2－2m－7＋m2＋5m＋6i是纯虚数．2若复数lgm2－2m－7＋m2＋5m＋6i是实数，则解得m＝－2或m＝－
3.故当m＝－2或－3时，复数lgm2－2m－7＋m2＋5m＋6i为实数．类型三 复数相等例3 1已知x0是关于x的方程x2－2i－1x＋3m－i＝0m∈R的实根，则m的值是________．考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 解析 由题意，得x－2i－1x0＋3m－i＝0，即x＋x0＋3m＋－2x0－1i＝0，由此得解得m＝.2已知A＝{12，a2－3a－1＋a2－5a－6i}，B＝{－13}，A∩B＝{3}，求实数a的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意知，a2－3a－1＋a2－5a－6i＝3a∈R，所以 即所以a＝－
1.反思与感悟 1在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．2利用条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．跟踪训练3 复数z1＝2m＋7＋m2－2i，z2＝m2－8＋4m＋3i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 5解析 因为m∈R，z1＝z2，所以2m＋7＋m2－2i＝m2－8＋4m＋3i.由复数相等的充要条件得解得m＝
5.1．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于 A．－2＋iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.2．若复数z＝m2－1＋m2－m－2i为实数，则实数m的值为 A．－1B．2C．1D．－1或2考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数答案 D解析 因为复数z＝m2－1＋m2－m－2i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝
2.3．下列几个命题
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－aia∈R是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．其中真命题的个数为 A．3B．4C．5D．6考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 B解析 命题
①②③⑥正确，
④⑤⑦错误．4．已知复数z＝a2＋2a＋3ia∈R的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_________．考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 －∞，－1∪3，＋∞解析 由已知可得a22a＋3，即a2－2a－30，解得a3或a－1，因此，实数a的取值范围是{a|a3或a－1}．5．若log2x2－3x－2＋ilog2x2＋2x＋11，则实数x的值是________．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数答案 －2解析 由题意知得x＝－
2.1．对于复数z＝a＋bia，b∈R，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
一、选择题1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 B解析 因为a，b∈R，当a＝0时，复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而当复数a＋bi是纯虚数，则a＝0一定成立．所以a，b∈R，a＝0是复数a＋bi是纯虚数的必要不充分条件．2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是 A．2－2iB．－＋iC．2＋iD.＋i考点 复数的概念题点 求复数的实部和虚部答案 A解析 设所求新复数z＝a＋bia，b∈R，由题意知复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×－1＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.3．若x＋yi＝x－1x，y∈R，则2x＋y的值为 A.B．2C．0D．1考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 D解析 由复数相等的充要条件知，解得∴x＋y＝0，∴2x＋y＝20＝
1.4．下列命题中
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若z1－z22＋z2－z32＝0，则z1＝z2＝z
3.正确命题的个数是 A．0B．1C．2D．3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 A解析
①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故
①错；
②③错，故选A.5．若sin2θ－1＋icosθ＋1是纯虚数，则θ的值为 A．2kπ－k∈ZB．2kπ＋k∈ZC．2kπ±k∈ZD.π＋k∈Z考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 由题意，得解得k∈Z，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.6．若复数z＝＋i是纯虚数i为虚数单位，则tan的值为 A．7B．－C．－7D．－7或－考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数答案 C解析 ∵复数z＝＋i是纯虚数，∴cosθ－＝0，sinθ－≠0，∴sinθ＝－，∴tanθ＝－，则tan＝＝＝－
7.7．已知关于x的方程x2＋m＋2ix＋2＋2i＝0m∈R有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于 A．3＋iB．3－iC．－3－iD．－3＋i考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 B解析 由题意知n2＋m＋2in＋2＋2i＝0，即解得∴z＝3－i，故选B.
二、填空题8．设m∈R，m2＋m－2＋m2－1i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数答案 －2解析 由得m＝－
2.9．已知z1＝m2＋m＋1＋m2＋m－4i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______________条件．考点 复数相等题点 由复数相等求参数答案 充分不必要解析 当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．10．已知复数z＝m21＋i－mm＋im∈R，若z是实数，则m的值为________．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数答案 0或1解析 z＝m2＋m2i－m2－mi＝m2－mi，所以m2－m＝0，解得m＝0或
1.11．复数z＝a2－2a－3＋|a－2|－1i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 －∞，－1∪－1，＋∞解析 若复数z＝a2－2a－3＋|a－2|－1i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝a2－2a－3＋|a－2|－1i不是纯虚数．12．已知logm＋n－m2－3mi≥－1，且n∈N＋，则m＋n＝________.考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数答案 1或2解析 由题意得由
②，得m＝0或m＝
3.当m＝0时，由logm＋n≥－1，得0n≤2，∴n＝1或n＝
2.当m＝3时，由logm＋n≥－1，得0n＋3≤2，∴－3n≤－1，即n无自然数解．∴或故m＋n的值为1或
2.
三、解答题13．当实数m为何值时，复数z＝＋m2＋2m－3i分别是1实数；2虚数；3纯虚数．考点 复数的分类题点 由复数的分类求未知数解 1要使z是实数，m需满足解得m＝－
3.2要使z是虚数，m需满足解得m≠1且m≠－
3.3要使z是纯虚数，m需满足解得m＝0或m＝－
2.
四、探究与拓展14．定义运算＝ad－bc，如果x＋y＋x＋3i＝，求实数x，y的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有x＋y＋x＋3i＝3x＋2y＋yi.因为x，y为实数，所以得解得15．已知集合M＝{a＋3＋b2－1i8}，集合N＝{3i，a2－1＋b＋2i}满足M∩N⊆M，且M∩N≠∅，求整数a，b的值．考点 复数相等题点 由复数相等求参数解 由题意，得a＋3＋b2－1i＝3i，
①或8＝a2－1＋b＋2i，
②或a＋3＋b2－1i＝a2－1＋b＋2i.
③由
①，得a＝－3，b＝±2，由
②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－
2.。
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