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4.
2.1 研究机械能守恒定律一——机械能守恒定律及其应用[学习目标]
1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.
2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.
3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题．
一、动能与势能的相互转化1．重力势能与动能的转化只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．2．弹性势能与动能的转化只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能．3．机械能重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．
二、机械能守恒定律1．内容在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．2．表达式E＝Ek＋Ep＝恒量．[即学即用]1．判断下列说法的正误．1机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用．×2合力为零，物体的机械能一定守恒．×3合力做功为零，物体的机械能保持不变．×4只有重力做功时，物体的机械能一定守恒．√2．如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由下落，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为___________．重力加速度为g图1答案 mgH
一、机械能守恒定律[导学探究] 如图2所示，质量为m的物体自由下落的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面．图21求物体在A、B处的机械能EA、EB；2比较物体在A、B处的机械能的大小．答案 1物体在A处的机械能EA＝mgh1＋mv12物体在B处的机械能EB＝mgh2＋mv222根据动能定理WG＝mv22－mv12下落过程中重力对物体做功，重力做的功等于物体重力势能的减少量，则WG＝mgh1－mgh2由以上两式可得mv22－mv12＝mgh1－mgh2移项得mv12＋mgh1＝mv22＋mgh2由此可知物体在A、B两处的机械能相等．[知识深化]1．对机械能守恒条件的理解1物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等．2只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．3重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．4除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面运动，拉力与摩擦力的大小相等，方向相反，在此运动过程中，其机械能守恒．2．判断机械能是否守恒的方法1利用机械能的定义判断直接判断若物体动能、势能均不变，机械能不变．若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化．2用做功判断若物体或系统只有重力或弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．3用能量转化来判断若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．例1 多选如图3所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 图3A．甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体机械能守恒B．乙图中，物体在大小等于摩擦力的拉力F作用下沿斜面下滑时，物体机械能守恒C．丙图中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体机械能守恒D．丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒答案 BD解析 弄清楚机械能守恒的条件是分析此问题的关键．表解如下选项结论分析A×物体压缩弹簧的过程中，物体所受重力和弹簧的弹力都对其做功，所以物体机械能不守恒B√物体沿光滑斜面下滑过程中，除重力做功外，其他力做功的代数和始终为零，所以物体机械能守恒C×物体沿斜面匀速下滑的过程中动能不变，重力势能减小，所以物体机械能不守恒D√物体沿光滑斜面下滑过程中，只有重力对其做功，所以物体机械能守恒【考点】机械能守恒条件的判断【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断针对训练1 多选如图4所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中 图4A．弹簧的弹性势能不断增加B．弹簧的弹性势能不断减少C．小球和弹簧组成的系统机械能不断减少D．小球和弹簧组成的系统机械能保持不变答案 AD解析 从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确．【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒条件的判断
二、机械能守恒定律的应用1．机械能守恒定律常用的三种表达式1从不同状态看Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2此式表示系统的两个状态的机械能总量相等．2从能的转化角度看ΔEk＝－ΔEp此式表示系统动能的增加减少量等于势能的减少增加量．3从能的转移角度看ΔEA增＝ΔEB减此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B部分机械能的减少量．2．机械能守恒定律的应用步骤首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件．若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解．例2 如图5所示为某游乐场的过山车的简化模型，竖直圆形轨道的半径为R，轨道最下端与水平地面相切．现有一节车厢可视为质点，质量为m，从高处由静止滑下，不计摩擦和空气阻力．图51要使车厢通过圆形轨道的最高点，车厢开始下滑时距地面的高度至少应多大？2若车厢恰好通过圆形轨道的最高点，则车厢在轨道最低处时对轨道的压力是多少重力加速度为g答案 1R 26mg解析 1设车厢开始下滑时距地面的高度为h，运动到圆形轨道最高点时的速度为v，要使车厢通过圆形轨道的最高点，应有mg≤车厢在下滑过程中，只有重力做功，故机械能守恒，选取轨道最低点所在平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得mv2＋mg·2R＝mgh联立以上两式解得h≥R因此车厢开始下滑时距地面的高度至少为R.2设车厢到达轨道最低点时的速度为v′，受到的支持力为FN，则由机械能守恒定律得mv′2＝mgh再由牛顿第二定律得N－mg＝由以上两式解得N＝mg＝mg＝6mg由牛顿第三定律知，车厢对轨道的压力N′＝N＝6mg【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用针对训练2 如图6所示，质量m＝50kg的跳水运动员从距水面高h＝10m的跳台上以v0＝5m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，取g＝10m/s2，不计空气阻力．求图61运动员在跳台上时具有的重力势能以水面为零势能参考平面；2运动员起跳时的动能；3运动员入水时的速度大小．答案 15000J 2625J 315m/s解析 1以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep＝mgh＝5000J.2运动员起跳时的速度为v0＝5m/s，则运动员起跳时的动能为Ek＝mv02＝625J.3运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则mgh＋mv02＝mv2，解得v＝15m/s.【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在抛体运动中的应用1．机械能是否守恒的判断关于机械能守恒，下列说法正确的是 A．做自由落体运动的物体，机械能一定守恒B．人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒C．物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒D．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒答案 A解析 做自由落体运动的物体，只受重力作用，机械能守恒，A正确；人乘电梯加速上升的过程，电梯对人的支持力做功，故人的机械能不守恒，B错误；物体只有重力做功时，其他力也可存在，当它们不做功或做功之和为0时，机械能也守恒，故C错误；合外力对物体做功为零，物体的动能不变，机械能不一定守恒，D错误．【考点】机械能守恒条件的判断【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断2．机械能守恒定律的应用以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面足够长上滑，如图7所示，三种情况达到的最大高度分别为h
1、h2和h3，不计空气阻力，则 图7A．h1＝h2＞h3B．h1＝h2＜h3C．h1＝h3＜h2D．h1＝h3＞h2答案 D解析 竖直上抛的物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒定律得mgh＝mv02，所以h＝；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv02－mv12，所以h2＜h1＝h3，D正确．【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用
3.机械能守恒定律的应用如图8所示，由距离地面h2＝1m的高度处以v0＝4m/s的速度斜向上抛出质量为m＝1kg的物体，当其上升的高度为h1＝
0.4m时到达最高点，最终落在水平地面上，现以过抛出点的水平面为零势能面，取重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力，则 图8A．物体在最大高度处的重力势能为14JB．物体在最大高度处的机械能为16JC．物体在地面处的机械能为8JD．物体在地面处的动能为8J答案 C解析 物体在最高点时具有的重力势能Ep1＝mgh1＝1×10×
0.4J＝4J，A错误；物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时的动能，即8J，B错误；物体在下落过程中，机械能守恒，任意位置的机械能都等于8J，C正确；物体落地时的动能Ek＝E－Ep2＝E－mgh2＝8J－1×10×－1J＝18J，D错误．【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用4．机械能守恒定律的应用如图9所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动不计空气阻力．图91求小球在B、A两点的动能之比；2通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．答案 15∶1 2见解析解析 1设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg·
①设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg
②由
①②式得＝
5.
③2若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0
④设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m
⑤由
④⑤式得vC应满足mg≤m
⑥由机械能守恒定律得mg＝mvC2
⑦由
⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用
一、选择题考点一 机械能是否守恒的判断1．下列运动的物体，机械能守恒的是 A．物体沿斜面匀速下滑B．物体从高处以
0.9g的加速度竖直下落C．物体沿光滑曲面自由滑下D．拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升答案 C解析 物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小，A错误．物体以
0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为
0.1mg，其他力的合力在物体下落时对物体做负功，物体的机械能不守恒，B错误．物体沿光滑曲面自由滑下时，只有重力做功，机械能守恒，C正确．拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体的机械能不守恒，D错误．【考点】机械能守恒条件的判断【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断
2.多选如图1所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中 图1A．重物的机械能减少B．重物与弹簧组成的系统的机械能不变C．重物与弹簧组成的系统的机械能增加D．重物与弹簧组成的系统的机械能减少答案 AB解析 重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少，选项A正确；对重物与弹簧组成的系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确．【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断
3.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起摆到一定高度，如图2所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是 图2A．子弹的机械能守恒B．木块的机械能守恒C．子弹和木块的总机械能守恒D．以上说法都不对答案 D解析 子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒，子弹的机械能不守恒，木块的机械能不守恒．故选D.【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断4．多选竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图3所示．则迅速放手后不计空气阻力 图3A．放手瞬间小球的加速度等于重力加速度B．小球、弹簧与地球组成的系统机械能守恒C．小球的机械能守恒D．小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大答案 BD解析 放手瞬间小球的加速度大于重力加速度，A错误；整个系统包括地球的机械能守恒，但小球的机械能不守恒，B正确，C错误；向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和不断增大，D正确．【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断考点二 机械能守恒定律的应用5．多选把质量为m的石块从高h的山崖上沿与水平方向成θ角的斜向上的方向抛出如图4所示，抛出的初速度为v0，石块落地时的速度大小与下面哪些量无关不计空气阻力 图4A．石块的质量B．石块初速度的大小C．石块初速度的仰角D．石块抛出时的高度答案 AC解析 以地面为参考平面，石块运动过程中机械能守恒，则mgh＋mv02＝mv2即v2＝2gh＋v02，所以v＝由此可知，v与石块的初速度大小v0和高度h有关，而与石块的质量和初速度的方向无关．故选A、C.【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在抛体运动中的应用6．如图5所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施．管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑．若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失地连续滑入第一个、第二个圆管形管道A、B内部管道A比管道B高．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过管道A内部最高点时，对管壁恰好无压力．则这名挑战者 图5A．经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能B．经过管道A最高点时的动能大于经过管道B最低点时的动能C．经过管道B最高点时对管外侧壁有压力D．不能经过管道B的最高点答案 C【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用
7.如图6所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L未超过弹性限度，则在圆环下滑到最大距离的过程中 图6A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变答案 B解析 圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒．圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h＝＝L，所以圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了mgL.故选B.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用8．多选图7是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B处时，下列表述正确的有 图7A．N小于滑块重力B．N大于滑块重力C．N越大表明h越大D．N越大表明h越小答案 BC解析 设滑块在B点的速度大小为v，选B处所在平面为零势能面，从开始下滑到B处，由机械能守恒定律得mgh＝mv2，在B处由牛顿第二定律得N′－mg＝m，又根据牛顿第三定律N＝N′，因而选B、C.【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用9．多选质量相同的小球A和B分别悬挂在长为L和2L的不同长绳上，先将小球拉至同一水平位置如图8所示从静止释放，当两绳竖直时，不计空气阻力，则 图8A．两球的速率一样大B．两球的动能一样大C．两球的机械能一样大D．两球所受的拉力一样大答案 CD解析 两球在下落过程中机械能守恒，开始下落时，重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，下落到最低点时的机械能也一样大，选项C正确．选取小球A为研究对象，设小球到达最低点时的速度大小为vA，动能为EkA，小球所受的拉力大小为FA，则mgL＝mvA2，FA－mg＝，可得vA＝，EkA＝mgL，FA＝3mg；同理可得vB＝2，EkB＝2mgL，FB＝3mg，故选项A、B错误，D正确．【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律的简单应用
10.如图9所示，用长为L的细线，一端系于悬点A，另一端拴住一质量为m的小球，先将小球拉至水平位置并使细线绷直，在悬点A的正下方O点钉有一小钉子，今将小球由静止释放，要使小球能在竖直平面内做完整圆周运动，OA的最小距离是 图9A.B.C.LD.L答案 D解析 设小球做完整圆周运动的轨道半径为R，小球刚好过最高点的条件为mg＝解得v0＝小球由静止释放到运动至圆周最高点的过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，取初位置所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律得mv02＝mgL－2R解得R＝L所以OA的最小距离为L－R＝L，故D正确．【考点】单个物体机械能守恒定律的应用【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用
二、非选择题11．机械能守恒定律的应用如图10所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B位置时摆线被拉断．设摆线长l＝
1.6m，O点离地高H＝
5.8m，不计摆线断时的机械能损失，不计空气阻力，g取10m/s2，求图101摆球刚到达B点时的速度大小；2落到地面D点时摆球的速度大小．答案 14m/s 210m/s解析 1摆球由A到B的过程中只有重力做功，故机械能守恒．根据机械能守恒定律得mg1－sin30°l＝mvB2，解得vB＝＝4m/s.2摆球由B到D过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒定律得mvD2＝mvB2＋mgH－l解得vD＝＝10m/s.【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题12．机械能守恒定律的应用如图11所示，竖直平面内有一半径R＝
0.5m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，一水平面与圆弧槽相接于D点，质量m＝
0.5kg的小球从B点正上方H高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离x＝
2.4m，球从D点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度h＝
0.8m，取g＝10m/s2，不计空气阻力，求图111小球释放点到B点的高度H；2经过圆弧槽最低点C时轨道对小球的支持力大小N.答案
10.95m 234N解析 1设小球在飞行过程中通过最高点P的速度为v0，P到D和P到Q可视为两个对称的平抛运动，则有h＝gt2，＝v0t，可得v0＝＝3m/s在D点有vy＝gt＝4m/s在D点的合速度大小为v＝＝5m/s设v与水平方向夹角为θ，cosθ＝＝A到D过程机械能守恒mgH＋mgRcosθ＝mv2联立解得H＝
0.95m2设小球经过C点时速度为vC，A到C过程机械能守恒mgH＋R＝mv由牛顿第二定律有，N－mg＝m联立解得N＝34N.【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题。
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