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第1章机械振动机械振动
一、简谐运动的图象及应用 由简谐运动的图象可以获得的信息1．确定振动质点在任一时刻的位移；2．确定振动的振幅；3．确定振动的周期和频率；4．确定各时刻质点的振动方向；5．比较各时刻质点加速度的大小和方向．例1 一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图1所示，规定沿x轴正方向为正由图可知 图1A．频率是2HzB．振幅是10cmC．t＝
1.7s时的加速度为正，速度为负D．t＝
0.5s时质点所受的合外力为零E．图中a、b两点速度大小相等、方向相反F．图中a、b两点的加速度大小相等，方向相反解析 由题图可知，质点振动的周期为2s，频率为
0.5Hz.振幅为5cm，A、B选项错误；t＝
1.7s时的位移为负，加速度为正，速度为负，C选项正确；t＝
0.5s时质点在平衡位置，所受的合外力为零，D选项正确；a、b两点速度大小相等、方向相反，但加速度大小相等、方向相同，加速度方向都为负方向，指向平衡位置，故E正确，F错误．答案 CDE针对训练1 悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图象如图2所示，关于这个图象，下列说法正确的是 图2A．t＝
1.25s，振子的加速度为正，速度也为正B．t＝
1.0s，弹性势能最大，重力势能最小C．t＝
0.5s，弹性势能为零，重力势能最小D．t＝
2.0s，弹性势能最大，重力势能最小解析 由图象可知向上的方向为正，t＝
1.25s时，位移为正，加速度为负，速度也为负，A错误；竖直方向的弹簧振子，其振动过程中机械能守恒，在最高点重力势能最大，动能为零，B错误；在最低点重力势能最小，动能为零，所以弹性势能最大；在平衡位置，动能最大，由于弹簧发生形变，弹性势能不为零，C错，D正确．答案 D
二、简谐运动的周期性和对称性1．周期性做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个全振动的形式，所以做简谐运动的物体经过同一位置可以对应不同的时刻，做简谐运动的物体具有周期性．2．对称性1速率的对称性系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率．2加速度和回复力的对称性系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力．3时间的对称性系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等．振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等．例2 某质点做简谐运动，从平衡位置开始计时，经
0.2s第一次到达M点，如图3所示．再经过
0.1s第二次到达M点，求它再经多长时间第三次到达M点？图3解析 第一种情况，质点由O点经过t1＝
0.2s直接到达M，再经过t2＝
0.1s由点C回到M.由对称性可知，质点由点M到达C点所需要的时间与由点C返回M所需要的时间相等，所以质点由M到达C的时间为t′＝＝
0.05s.质点由点O到达C的时间为从点O到达M和从点M到达C的时间之和，这一时间恰好是，所以该振动的周期为T＝4t1＋t′＝4×
0.2＋
0.05s＝1s，质点第三次到达M点的时间为t3＝＋2t1＝s＝
0.9s.第二种情况，质点由点O向B运动，然后返回到点M，历时t1＝
0.2s，再由点M到达点C又返回M的时间为t2＝
0.1s．设振动周期为T，由对称性可知t1－＋＝，所以T＝s，质点第三次到达M点的时间为t3＝T－t2＝s＝s.答案
0.9s或s针对训练2 如图4所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1s，过b点后再经t′＝1s质点第一次反向通过b点．若在这2s内质点所通过的路程是8cm，试求该质点的振动周期和振幅．图4解析 简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置．根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1s，质点从a点经左方极端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经右方极端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1s.综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4s.由图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2＋2＋2＝2＋2＝2×8cm＝16cm.所以质点的振幅为A＝＝4cm.答案 4s 4cm
三、单摆周期公式的应用1．单摆的周期公式T＝2π.该公式提供了一种测定重力加速度的方法．2．注意1单摆的周期T只与摆长l及g有关，而与振子的质量及振幅无关．2l为等效摆长，表示从悬点到摆球球心的距离，要区分摆长和摆线长．小球在光滑圆周上小角度振动和双线摆也属于单摆，“l”实际为摆球到摆动所在圆弧的圆心的距离．3g为当地的重力加速度或“等效重力加速度”．例3 在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为 A．T＝2πrB．T＝2πrC．T＝D．T＝2πl解析 由单摆周期公式T＝2π及黄金代换式GM＝gr2，得T＝2πr.答案 B针对训练3 有两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，并各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长l的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2l图象，如图5所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是________填“A”或“B”．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象如图乙，由图可知，两单摆摆长之比la∶lb＝________.图5解析 纬度越高重力加速度g越大，由于单摆＝，所以B图线是在北大的同学做的．从题图乙中可以看出Ta＝s，Tb＝2s所以＝＝.答案 B 。
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