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2.1 怎样描述圆周运动[学习目标]
1.知道什么是匀速圆周运动,知道它是变速运动.
2.记住线速度的定义式,理解线速度的大小、方向的特点.
3.记住角速度的定义式,知道周期、转速的概念.
4.理解并掌握v=ωr和ω=2πn等公式.
一、线速度1.定义物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值,v=.2.意义描述做圆周运动的物体运动的快慢.3.方向线速度是矢量,方向沿着圆周的切线方向.4.匀速圆周运动沿着圆周运动,且在相等的时间里通过的圆弧长度相等的运动.
二、角速度1.定义物体做圆周运动时,连接它与圆心的半径转过的角度Δθ跟所用时间t的比值.ω=.2.意义描述物体做圆周运动的快慢.3.单位弧度每秒,符号是rad/s.
三、周期和转速1.周期T物体沿圆周运动一周的时间,单位为秒s.周期与角速度的关系ω=.2.转速n物体在单位时间内完成圆周运动的圈数,单位为每秒s-1或转每分r/min.
四、角速度与线速度的关系v=ωR.[即学即用]1.判断下列说法的正误.1匀速圆周运动是一种匀速运动.×2做匀速圆周运动的物体,相同时间内的位移相同.×3做匀速圆周运动的物体,其线速度不变.×4做匀速圆周运动的物体,其角速度大小不变.√5做匀速圆周运动的物体,周期越大,角速度越小.√2.A、B两个质点,分别做匀速圆周运动,在相等时间内它们通过的弧长之比sA∶sB=2∶3,转过的圆心角之比θA∶θB=3∶2,那么它们的线速度大小之比vA∶vB=________,角速度大小之比ωA∶ωB=________.答案 2∶3 3∶2解析 由v=知=;由ω=知=.
一、线速度和匀速圆周运动[导学探究] 如图1所示为自行车的车轮,A、B为辐条上的两点,当它们随轮一起转动时,回答下列问题图11A、B两点的速度各沿什么方向?2如果B点在任意相等的时间内转过的弧长相等,B点做匀速运动吗?3匀速圆周运动的线速度是不变的吗?匀速圆周运动的“匀速”同“匀速直线运动”的“匀速”一样吗?4A、B两点哪个运动得快?答案 1两点的速度均沿各自圆周的切线方向.2B运动的方向时刻变化,故B做非匀速运动.3质点做匀速圆周运动时,线速度的大小不变,方向时刻在变化,因此,匀速圆周运动只是速率不变,是变速曲线运动.而“匀速直线运动”中的“匀速”指的是速度不变,是大小、方向都不变,二者并不相同.4B运动得快.[知识深化]1.对线速度的理解1线速度是物体做圆周运动的瞬时速度,线速度越大,物体运动得越快.2线速度是矢量,它既有大小,又有方向,线速度的方向在圆周各点的切线方向上.3线速度的大小v=,s代表在时间t内通过的弧长.2.对匀速圆周运动的理解1匀中有变由于匀速圆周运动是曲线运动,其速度方向沿着圆周的切线方向,所以物体做匀速圆周运动时,速度的方向时刻在变化.2匀速的含义
①速度的大小不变,即速率不变;
②转动快慢不变,即角速度大小不变.3运动性质线速度的方向时刻改变,所以匀速圆周运动是一种变速运动.例1 多选某质点绕圆轨道做匀速圆周运动,下列说法中正确的是 A.因为它的速度大小始终不变,所以它做的是匀速运动B.该质点速度大小不变,但方向时刻改变,是变速运动C.该质点速度大小不变,因而加速度为零,处于平衡状态D.该质点做的是变速运动,具有加速度,故它所受合力不等于零答案 BD
二、角速度、周期和转速[导学探究] 如图2所示,钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动.图21秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗?如何比较它们转动的快慢?2秒针、分针和时针的周期分别是多大?答案 1不相同.根据角速度公式ω=知,在相同的时间内,秒针转过的角度最大,时针转过的角度最小,所以秒针转得最快.2秒针周期为60s,分针周期为60min,时针周期为12h.[知识深化]1.对角速度的理解1角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢,角速度越大,物体转动得越快.2角速度的大小ω=,Δθ代表在时间t内物体与圆心的连线转过的角度.3在匀速圆周运动中,角速度大小不变.2.对周期和频率转速的理解1周期描述了匀速圆周运动的一个重要特点——时间周期性.其具体含义是描述匀速圆周运动的一些变化的物理量,每经过一个周期时,大小和方向与初始时刻完全相同,如线速度等.2当单位时间取1s时,f=n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的,但频率具有更广泛的意义,两者的单位也不相同.3.周期、频率和转速间的关系T==.例2 多选一精准转动的机械钟表,下列说法正确的是 A.秒针转动的周期最长B.时针转动的转速最小C.秒针转动的角速度最大D.秒针的角速度为rad/s答案 BCD解析 秒针转动的周期最短,角速度最大,A错误,C正确;时针转动的周期最长,转速最小,B正确;秒针的角速度为ω=rad/s=rad/s,D正确.
三、描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系[导学探究] 线速度、角速度、周期都是用来描述圆周运动快慢的物理量,它们的物理含义不同,但彼此间却相互联系.1线速度与周期及转速的关系是什么?2角速度与周期及转速的关系是什么?3线速度与角速度什么关系?答案 1物体转动一周的弧长s=2πR,转动一周所用时间为t=T,则v===2πRn.2物体转动一周转过的角度为Δθ=2π,用时为T,则ω==2πn.3v=ωR.[知识深化]1.描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系1v===2πnR2ω===2πn3v=ωR2.描述匀速圆周运动的各物理量之间关系的理解1角速度、周期、转速之间关系的理解物体做匀速圆周运动时,由ω==2πn知,角速度、周期、转速三个物理量,只要其中一个物理量确定了,其余两个物理量也确定了.2线速度与角速度之间关系的理解由v=ωR知,R一定时,v∝ω;v一定时,ω∝;ω一定时,v∝R.例3 做匀速圆周运动的物体,10s内沿半径为20m的圆周运动100m,试求物体做匀速圆周运动时1线速度的大小;2角速度的大小;3周期的大小.答案 110m/s
20.5rad/s 34πs解析 1依据线速度的定义式v=可得v=m/s=10m/s.2依据v=ωR可得,ω=rad/s=
0.5rad/s.3T==s=4πs.针对训练1 一质点做匀速圆周运动,其线速度大小为4m/s,转动周期为2s,下列说法中不正确的是 A.角速度为
0.5rad/sB.转速为
0.5r/sC.运动轨迹的半径约为
1.27mD.频率为
0.5Hz答案 A解析 由题意知v=4m/s,T=2s,根据角速度与周期的关系可知ω==πrad/s≈
3.14rad/s.由线速度与角速度的关系v=ωR得R==m≈
1.27m.由v=2πnR得转速n==r/s=
0.5r/s.又由频率与周期的关系得f==
0.5Hz.故A错误,符合题意.
四、同轴转动和皮带传动问题[导学探究] 如图3为两种传动装置的模型图.图31甲图为皮带传动装置,试分析A、B两点的线速度及角速度关系.2乙图为同轴转动装置,试分析A、C两点的角速度及线速度关系.答案 1皮带传动时,在相同的时间内,A、B两点通过的弧长相等,所以两点的线速度大小相同,又v=Rω,当v一定时,角速度与半径成反比,半径大的角速度小,即vA=vB,ωAωB.2同轴转动时,在相同的时间内,A、C两点转过的角度相等,所以这两点的角速度相同,又因为v=Rω,当ω一定时,线速度与半径成正比,半径大的线速度大,即ωA=ωC,vAvC.[知识深化]常见的传动装置及其特点同轴转动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接皮带不打滑,A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点角速度、周期相同线速度大小相等线速度大小相等规律线速度与半径成正比=l角速度与半径成反比=.周期与半径成正比=角速度与半径成反比=.周期与半径成正比=例4 多选如图4所示的传动装置中,B、C两轮固定在一起绕同一轴转动,A、B两轮用皮带传动,三个轮的半径关系是rA=rC=2rB.若皮带不打滑,则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的 图4A.角速度之比为1∶2∶2B.角速度之比为1∶1∶2C.线速度大小之比为1∶2∶2D.线速度大小之比为1∶1∶2答案 AD解析 A、B两轮通过皮带传动,皮带不打滑,则A、B两轮边缘的线速度大小相等,B、C两轮固定在一起绕同一轴转动,则B、C两轮的角速度相等.a、b比较va=vb由v=ωR得,ωa∶ωb=RB∶RA=1∶2b、c比较ωb=ωc由v=ωR得,vb∶vc=rB∶rC=1∶2所以ωa∶ωb∶ωc=1∶2∶2va∶vb∶vc=1∶1∶2故A、D正确.传动问题是圆周运动部分的一种常见题型,在分析此类问题时,关键是要明确什么量相等,什么量不等,在通常情况下,应抓住以下两个关键点1绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等,而各点的线速度v=ωR与半径R成正比;2链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等,不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等,而角速度ω=与半径R成反比.针对训练2 多选如图5所示为一种齿轮传动装置,忽略齿轮啮合部分的厚度,甲、乙两个轮子的半径之比为1∶3,则在传动的过程中 图5A.甲、乙两轮的角速度之比为3∶1B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1C.甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1答案 AD解析 这种齿轮传动,与不打滑的皮带传动规律相同,即两轮边缘的线速度相等,故C错误;根据线速度的定义v=可知,弧长s=vt,故D正确;根据v=ωR可知ω=,又甲、乙两个轮子的半径之比R1∶R2=1∶3,故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2=R2∶R1=3∶1,故A正确;周期T=,所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2=ω2∶ω1=1∶3,故B错误.1.对匀速圆周运动的认识对于做匀速圆周运动的物体,下列说法中不正确的是 A.相等的时间内通过的路程相等B.相等的时间内通过的弧长相等C.相等的时间内通过的位移相同D.在任何相等的时间内,连接物体和圆心的半径转过的角度都相等答案 C解析 匀速圆周运动的线速度、角速度大小不变,因此在相等时间内通过的路程相等、弧长相等、转过的角度也相等,A、B、D项正确;相等时间内通过的位移大小相等,方向不一定相同,故C项错误.2.描述圆周运动各量的关系关于做匀速圆周运动的物体,下列说法正确的是 A.因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等,所以线速度恒定B.如果物体在
0.1s内转过30°角,则角速度为300rad/sC.若半径R一定,则线速度与角速度成反比D.若半径为R,周期为T,则线速度为v=答案 D解析 物体做匀速圆周运动时,线速度大小恒定,方向沿圆周的切线方向,在不断地改变,故选项A错误;角速度ω==rad/s=rad/s,选项B错误;线速度与角速度的关系为v=ωR,由该式可知,R一定时,v∝ω,选项C错误;由线速度的定义可得,在转动一周时有v=,选项D正确.
3.传动问题如图6所示是自行车传动结构的示意图,其中A是半径为r1的大齿轮,B是半径为r2的小齿轮,C是半径为r3的后轮,假设脚踏板的转速为nr/s,则自行车前进的速度为 图6A.B.C.D.答案 C解析 自行车的前进速度即为后轮的线速度,由题意可得ω1r1=ω2r2,ω3=ω2,又ω1=2πn,v=ω3r3,所以v=,选项C正确.4.圆周运动的周期性如图7所示,半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动,其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球,不计空气阻力,重力加速度为g,要使球与盘只碰一次,且落点为B,求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小.图7答案 R 2nπn=123…解析 设球在空中运动时间为t,此过程中圆盘转过θ角,则R=vt,h=gt2故初速度v=Rθ=n·2πn=123…又因为θ=ωt则圆盘角速度ω==2nπn=123….
一、选择题考点一 描述圆周运动的物理量的关系及计算1.一质点做匀速圆周运动时,圆的半径为r,周期为4s,那么1s内质点的位移大小和路程分别是 A.r和B.和C.r和rD.r和答案 D解析 质点在1s内转过了圈,画出运动过程的示意图可求出这段时间内的位移大小为r,路程为,所以选项D正确.2.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系,下面说法中正确的是 A.线速度大的角速度一定大B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小答案 D解析 由v=ωR可知,当R一定时,v与ω成正比;v一定时,ω与R成反比,故A、C均错误.由v=可知,当R一定时,v越大,T越小,B错误.由ω=可知,ω越大,T越小,故D正确.3.多选质点做匀速圆周运动时,下列说法中正确的是 A.因为v=ωr,所以线速度v与轨道半径r成正比B.因为ω=,所以角速度ω与轨道半径r成反比C.因为ω=2πn,所以角速度ω与转速n成正比D.因为ω=,所以角速度ω与周期T成反比答案 CD解析 当ω一定时,线速度v才与轨道半径r成正比,所以A错误.当v一定时,角速度ω才与轨道半径r成反比,所以B错误.在用转速或周期表示角速度时,角速度与转速成正比,与周期成反比,故C、D正确.4.多选甲、乙两个做匀速圆周运动的质点,它们的角速度之比为3∶1,线速度之比为2∶3,那么下列说法中正确的是 A.它们的半径之比为2∶9B.它们的半径之比为1∶2C.它们的周期之比为2∶3D.它们的周期之比为1∶3答案 AD解析 由v=ωR,得R=,==,A对,B错;由T=,得T甲∶T乙=∶=1∶3,C错,D对.考点二 传动问题5.如图1所示是一个玩具陀螺.a、b和c是陀螺上的三个点.当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时,下列表述正确的是 图1A.a、b和c三点的线速度大小相等B.a、b和c三点的角速度大小相等C.a、b的角速度比c的大D.c的线速度比a、b的大答案 B解析 同一物体上的三点绕同一竖直轴转动,因此角速度相同,c的半径最小,故它的线速度最小,a、b的半径相同,二者的线速度大小相等,故选B.6.两个小球固定在一根长为L的杆的两端,绕杆上的O点做圆周运动,如图2所示.当小球1的速度为v1时,小球2的速度为v2,则O点到小球2的距离是 图2A.B. C.D.答案 B解析 两球在同一杆上,旋转的角速度相等,均为ω,设两球的转动半径分别为r
1、r2,则r1+r2=L.又知v1=ωr1,v2=ωr2,联立得r2=,B正确.7.如图3所示的齿轮传动装置中,主动轮的齿数z1=24,从动轮的齿数z2=8,当主动轮以角速度ω顺时针转动时,从动轮的运动情况是 图3A.顺时针转动,周期为B.逆时针转动,周期为C.顺时针转动,周期为D.逆时针转动,周期为答案 B解析 主动轮顺时针转动,则从动轮逆时针转动,两轮边缘的线速度大小相等,由齿数关系知主动轮转一周时,从动轮转三周,故T从=,B正确.8.如图4所示的装置中,已知大轮的半径是小轮半径的3倍,A点和B点分别在两轮边缘,C点到大轮轴的距离等于小轮半径.若不打滑,则它们的线速度之比vA∶vB∶vC为 图4A.1∶3∶3B.1∶3∶1C.3∶3∶1D.3∶1∶3答案 C解析 A、C两点转动的角速度相等,由v=ωR可知,vA∶vC=3∶1;A、B两点的线速度大小相等,即vA∶vB=1∶1,则vA∶vB∶vC=3∶3∶
1.考点三 圆周运动的周期性9.某机器内有两个围绕各自的固定轴匀速转动的铝盘A、B,A盘固定一个信号发射装置P,能持续沿半径向外发射红外线,P到圆心的距离为28cm.B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q,Q到圆心的距离为16cm.P、Q转动的线速度相同,都是4πm/s.当P、Q正对时,P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口,如图5所示,则Q每隔一定时间就能接收到红外线信号,这个时间的最小值应为 图5A.
0.56sB.
0.28sC.
0.16sD.
0.07s答案 A解析 根据公式T=可求出,P、Q转动的周期分别为TP=
0.14s和TQ=
0.08s,根据题意,只有当P、Q同时转到题图所示位置时,Q才能接收到红外线信号,所以所求的最小时间应该是它们转动周期的最小公倍数,即
0.56s,所以选项A正确.10.如图6所示,一位同学做飞镖游戏,已知圆盘的直径为d,飞镖距圆盘L,且对准圆盘上边缘的A点水平抛出不计空气阻力,初速度为v0,重力加速度为g,飞镖抛出的同时,圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动,角速度为ω.若飞镖恰好击中A点,则下列关系正确的是 图6A.d=B.ω=n=0123…C.v0=ωD.ω2=n=0123…答案 B解析 依题意飞镖做平抛运动的同时,圆盘上A点做匀速圆周运动,恰好击中A点,说明A正好在最低点被击中,则A点转动的时间t=n=0123…,平抛运动的时间t=,则有=n=0123,…,B正确,C错误;平抛的竖直位移为d,则d=gt2,联立有dω2=gπ22n+12n=0123,…,A、D错误.
二、非选择题11.描述圆周运动的物理量一汽车发动机的曲轴每分钟转2400周,求1曲轴转动的周期与角速度的大小.2距转轴r=
0.2m的点的线速度的大小.答案 1s 80πrad/s 216πm/s解析 1由于曲轴每秒钟转=40周,周期T=s;而每转一周为2πrad,因此曲轴转动的角速度ω=2π×40rad/s=80πrad/s.2已知r=
0.2m,因此这一点的线速度v=ωr=80π×
0.2m/s=16πm/s.12.传动问题如图7所示为皮带传动装置,皮带轮的圆心分别为O、O′,A、C为皮带轮边缘上的点,B为AO连线上的一点,RB=RA,RC=RA,当皮带轮匀速转动时,皮带与皮带轮之间不打滑,求A、B、C三点的角速度大小之比、线速度大小之比.图7答案 2∶2∶3 2∶1∶2解析 由题意可知,A、B两点在同一皮带轮上,因此ωA=ωB,又皮带不打滑,所以vA=vC,故可得ωC===ωA,所以ωA∶ωB∶ωC=ωA∶ωA∶ωA=2∶2∶
3.又vB=RB·ωB=RA·ωA=,所以vA∶vB∶vC=vA∶vA∶vA=2∶1∶
2.13.圆周运动与其他运动的结合如图8所示,半径为R的圆轮在竖直面内绕O轴匀速转动,圆轮最低点距地面的高度为R,轮上a、b两点与O的连线相互垂直,a、b两点均粘有一个小物体,当a点转至最低位置时,a、b两点处的小物体同时脱落,经过相同时间落到水平地面上.不计空气阻力,重力加速度为g图81试判断圆轮的转动方向说明判断理由.2求圆轮转动的角速度大小.答案 见解析解析 1由题意知,a处物体做平抛运动,若与b处物体下落的时间相同,则b处物体必须做竖直下抛运动,故知圆轮转动方向为逆时针方向.2a处物体平抛R=gt2
①b处物体竖直下抛2R=v0t+gt2
②由
①②得v0=
③又因ω=
④由
③④解得ω=.。